15届港尾中学高职班数学复习材料-概率

2005年普通高等学校招生全国统一考试数学分类整理-1-概率（高职班）第01节事件与概率（一）基础知识梳理：1。事件的概念：（1）事件：在一次试验中出现的试验结果，叫做事件。一般用大写字母A，B，C，…表示。（2）必然事件：在一定条件下，一定会发生的事件。（3）不可能事件：在一定条件下，一定不会发生的事件（4）确定事件：必然事件和不可能事件统称为确定事件。（5）随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件。2．随机事件的概率：（1）频数与频率：在相同的条件下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数为事件A出现的频数，称为事件A出现的频率。（2）概率：在相同的条件下，大量重复同一试验时，事件A发生的频率会在某个常数附近摆动，即随机事件A发生的频率具有稳定性。这个常数叫做随机事件A的概率，记作。3．概率的性质：必然事件的概率为，不可能事件的概率为，随机事件的概率为，必然事件和不可能事件看作随机事件的两个极端情形4。事件的和的意义:事件A、B的和记作A+B，表示事件A和事件B至少有一个发生。5。互斥事件:在随机试验中，把一次试验下不能同时发生的两个事件叫做互斥事件。当A、B为互斥事件时，事件A+B是由“A发生而B不发生”以及“B发生而A不发生”构成的，因此当A和B互斥时，事件A+B的概率满足加法公式：P(A+B)=P(A)+P(B)（A、B互斥）.一般地：如果事件中的任何两个都是互斥的，那么就说事件彼此互斥，此时，＝。6．对立事件:事件Ａ和事件B必有一个发生的互斥事件叫A、B对立，即事件A、B不可能同时发生，但A、B中必然有一个发生这时P(A+B)=P(A)+P(B)＝1即P(A+)=P(A)+P()=1当计算事件A的概率P（A）比较困难时，有时计算它的对立事件的概率则要容易些，为此有P（A）=1－P（）7.事件与集合：从集合角度来看，A、B两个事件互斥，则表示A、B这两个事件所含结果组成的集合的交集是空集.事件A的对立事件所含结果的集合正是全集U中由事件A所含结果组成集合的补集，即A∪=U，A∩=对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件（二）典型例题分析：例1．将一枚均匀的硬币向上抛掷10次，其中正面向上恰有5次是()A．必然事件B．随机事件C．不可能事件D．无法确定例2．从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（）A．至少有1个白球，都是白球B．至少有1个白球，至少有1个红球C．恰有1个白球，恰有2个白球D．至少有1个白球，都是红球例3．甲、乙两名围棋选手在一次比赛中对局，分析甲胜的概率比乙胜的概率高5％，和棋的概率为59％，则乙胜的概率为_____________．（三）基础训练：1．下列说法正确的是()A．任一事件的概率总在(0，1)内B．不可能事件概率不一定为0C．必然事件的概率一定是1D．以上均不对2．某地气象局预报说：明天本地降雨概率为80%，则下面解释正确的是（）A.明天本地有80%的区域下雨，20%的区域不下雨B.明天本地下雨的机会是80%C.明天本地有80%的时间下雨，20%的时间不下雨D.以上说法均不正确3．箱子中有2000个灯泡,随机选择100个灯泡进行测试,发现10个是坏的,预计整箱中有________个坏灯泡。4．对某电冰箱厂生产的电冰箱进行抽样检测数据如下表所示：抽取台数501002003005001000优等品数4692192285479950则估计该厂生产的电冰箱优等品的概率为（四）巩固练习：1．把红、黑、蓝、白4张纸牌随机的分发给甲、乙、丙、丁四个人，每人分得1张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是（）A．对立事件B．不可能事件C．互斥但不对立事件D．以上答案都不对2．下列四个命题中错误命题的个数是（）（1）对立事件一定是互斥事件（2）若A，B是互斥事件，则P（A）+P（B）<1（3）若事件A，B，C两两互斥，则P（A）+P（B）+P（C）=1（4）事件A，B满足P（A）+P（B）=1，则A，B是对立事件A．0B．1C．2D．33．抛掷一枚质地均匀的骰子，事件A表示“所得点数是1、2”，事件B表示“所得点数大于4则P（A+B）=____________.4.某射手射击1次射中10环，9环，8环，7环的概率分别是0.24，0.28，0.19，0.16，则这名射手射击1次,射中10环或9环的概率为________,至多射中6环的概率是__________.第02节古典概型（一）基础知识梳理：1．基本事件：一次试验连同其中可能出现的每一个结果,称为一个基本事件基本事件是试验中不能再分的最简单的随机事件。基本事件有以下两个特点：（1）任何两个基本事件是互斥的；（2）任何事件(除不可能事件)都可表示成基本事件的和。2．古典概型：具有以下两个特征的随机试验的概率模型称为古典概型。(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；(2)每个基本事件出现的可能性相等。3．古典概型的概率计算公式：对于古典概型，若试验的所有基本事件数为n，随机事件A包含的基本事件数为m，那么事件A的概率定义为。（二）典型例题分析：例1.如果从不包括大小王的52张扑克牌中随机抽取1张，那么抽到红心的概率为________，取到方片的概率是_______．取到红色牌的概率是_______,取到黑色牌的概率是________.例2.在15瓶饮料中，有5瓶已过保质期。从中任取1瓶，取到已过保质期饮料的概率是_______；若前三次取到的3瓶饮料都已过了保质期，则第四次取到已过保质期的饮料的概率是______.例3.一个盒子里装有标号为1,2,3的3个小球，随机的选取两个小球，根据下列条件求两个小球上的数字之和为偶数的概率。（1）小球的选取是有放回的；（2）小球的选取是无放回的。8.（2009福建文）袋中有大小、形状相同的红、黑球各一个，现一次有放回地随机摸取3次，每次摸取一个球（I）试问：一共有多少种不同的结果？请列出所有可能的结果；（Ⅱ）若摸到红球时得2分，摸到黑球时得1分，求3次摸球所得总分为5的概率。第03节随机数与几何概型（一）基础知识梳理：1.几何概型的概念：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成正比，则称这样的概率模型为几何概型。2.几何概型试验的两个基本特征：（1）无限性：指在一次试验中，可能出现的结果有无限多个；（2）等可能性：每个结果的发生具有等可能性。3.几何概型事件的概率计算公式：（二）典型例题分析：例1.取一根长度为3m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得的两段绳子的长度都不小于1m的概率是___________.16cm例2.如图，在墙上挂着一块边长为16cm的正方形木板，上面画了小、中、大三个同心圆，半径分别为2cm，4cm，6cm，某人在在3m外向此板投镖，设投镖击中线上或没有投中木板时都不算，可重投，问：16cm（1）投中小圆内的概率是多少？（2）投中大圆与中圆形成的圆环的概率是多少？（3）投中大圆之外的概率是多少？例3.某篮球爱好者，做投篮练习，假设其每次投篮命中的概率是40%，用随机模拟的方法来估计连续三次投篮中，恰有两次投中的概率.若我们用1，2，3，4表示投中，用5，6，7，8，9，0表示未投中，这样可以体现投中的概率是40%。因为是投篮三次，所以每三个随机数作为一组。例如，产生20组随机数：

812，932，569，683，271，989，730，537，925，

907，113，966，191，431，257，393，027，556．则三次投篮中恰有两次投中的概率近似为。例4.在如图的正方形中随机撒一把芝麻,

用随机模拟的方法来估计圆周率的值.如果撒了1000个芝麻,落在圆内的芝麻总数是776颗,那么这次模拟中的估计值是_______.（三）基础训练：1．在500mL的水中有一个草履虫,现从中随机取出2mL水样放到显微镜下观察,则发现草履虫的概率是（）A．0.5B．0.4C2．一个路口的红绿灯，红灯时间为30秒，黄灯时间为5秒，绿灯时间为40秒，当某人到达路口时看见红灯的概率是（）A．B．C．D．3.某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台报时，他等待的时间不多于10分钟的概率是_________。4.在长为12cm的线段AB上任取一点M，并以线段AM为边作正方形，试求正方形面积介于到81之间的概率是_____________。5．取一个边长为2a的正方形及其内切圆如图所示，随机向正方形内丢一粒豆子，则豆子落入圆内概率是______________。6.在△ABC内任取一点P，则△ABP与△ABC的面积之比大于时的概率为（四）巩固练习：1.（2013陕西理）如图,在矩形区域ABCD的A,C两点处各有一个通信基站,假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF(该矩形区域内无其他信号来源,基站工作正常).若在该矩形区域内随机地选一地点,则该地点无信号的概率是（） A． B． C． D．2.（2012北京理2）设不等式组，表示平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（）（A）（B）（C）（D）3.(2008佛山一模理)如图，矩形长为6，宽为4，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆数为96颗，以此实验数据为依据可以估计出椭圆的面积约为()A．B．C．D．4.（2009福建文）点A为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B，则劣弧AB的长度小于1的概率为。概率（高职班）参考答案第01讲事件与概率（参考答案）（二）典型例题分析：BC__18%__．（三）基础训练：CB2000.95．（四）巩固练习：CD0.52,0.13.第02讲古典概型（参考答案）（二）典型例题分析：例1.，，，例2..例3.提示：表格法。（1）；（2）。例4.解：（1）所有基本事件有：（正，正，正），（正，正，反），（正，反，正），（正，反，反），（反，正，正），（反，正，反），（反，反，正），（反，反，反）共8个（2）“出现一枚正面朝上，两枚反面朝上”这一事件包含了3个基本事件：（正，反，反），（反，正，反），（反，反，正）；（3）由古典概率的计算公式，事件“出现一枚正面朝上，两枚反面朝上”的概率是.（三）基础训练：CADB,.8.提示：表格法.（1）；（2）。（四）巩固练习：BBB6.（1）由茎叶图可知：甲班身高集中于之间，而乙班身高集中于之间。因此乙班平均身高高于甲班;(2)甲班的样本方差为＝57（3）设身高为176cm的同学被抽中的事件为A；从乙班10名同学中抽中两名身高不低于173cm的同学有：（181，173）（181，176）（181，178）（181，179）（179，173）（179，176）（179，178）（178，173）(178,176)（176，173）共10个基本事件，而事件A含有4个基本事件；；7.【答案】8.解：（I）一共有8种不同的结果，列举如下：（红、红、红）、（红、红、黑）、（红、黑、红）、（红、黑、黑）、（黑、红、红）、（黑、红、黑）、（黑、黑、红）、（黑、黑、黑）（Ⅱ）记“3次摸球所得总分为5”事件A包含的基本事件有（红、红、黑）、（红、黑、红）、（黑、红、红），共3个由（I）可知，所有基本事件总数为8，所以事件A的概率为第03讲随机数与几何概型（二）典型例题分析：例1.例3.25%例4.3.104例2.记A={投标击中小圆内}，B={投标击中大圆与中圆形成的圆环}，C={投标击中大圆之外}正方形的面积为，小圆的面积为，中圆的面积为，大圆的面积为。所以（1）投中小圆内的概率是；（2）投中大圆与中圆形成的圆环的概率是（3）投中大圆之外的概率是（三）基础训练：CB（四）巩固练习：ADB统计与概率高考解答题（1）1.（2010山东文）一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，编号分别为1，2，3，4.（Ⅰ）从袋中随机抽取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；（Ⅱ）先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求的概率.2.（2012广东文17）某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图4所示，其中成绩分组区间是：，，，，.（1）求图中的值；（2）估计这100名学生语文成绩的平均分；变式：估计这100名学生语文成绩的众数，3.（2011北京文）如图茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵树.乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示. （1）如果X=8，求乙组同学植树棵树的平均数和方差；（2）如果X=9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数为19的概率.（注：方差）4.（2011福建文19）某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数X依次为1．2．3．4．5．现从一批该日用品中随机抽取20件，对其等级系数进行统计分析，得到频率分布表如下：X12345fa0．20．45bC（I）若所抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，等级系数为5的恰有2件，求a、b、c的值；（11）在（1）的条件下，将等级系数为4的3件日用品记为x1,x2,x3，等级系数为5的2件日用品记为y1,y2，现从x1,x2,x3,y1,y2,这5件日用品中任取两件（假定每件日用品被取出的可能性相同），求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率。5.（2013福建文）某工厂有25周岁以上(含25周岁)工人300名,25周岁以下工人200名.为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关.现采用分层抽样的方法,从中抽取了100名工人,先统计了他们某月的日平均生产件数,然后按工人年龄在“25周岁以上(含25周岁)”和“25周岁以下”分为两组,在将两组工人的日平均生产件数加以统计,得到如图所示的频率分布直方图.(1)从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人,求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的频率.(2)规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”,请你根据已知条件完成的列联表,并判断是否有的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”?生产能手非生产能手合计周岁以上组周岁以下组合计统计与概率高考解答题（1）答案1.2.（1）依题意得，，解得。（2）这100名学生语文成绩的平均分为：（分）。3.解（1）当X=8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8，8，9，10，所以平均数为方差（Ⅱ）记甲组四名同学为A1，A2，A3，A4，他们植树的棵数依次为9，9，11，11