2023年平凉市重点中学数学高二第二学期期末达标测试试题含解析

2022-2023高二下数学模拟试卷注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知O是的两条对角线的交点．若，其中，则（）A．-2 B．2 C． D．2．已知函数，若，均在［1，4］内，且，，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．3．已知函数是定义在上的奇函数，若对于任意的实数，都有，且当时，，则的值为()A．－1 B．－2 C．2 D．14．袋中装有6个红球和4个白球，不放回的依次摸出两球，在第一次摸到红球的条件下，第二次摸到红球的概率是A． B． C． D．5．若(3x-1x)A．-5B．5C．-405D．4056．设函数的定义域为R，满足，且当时．则当，的最小值是（）A． B． C． D．7．将函数的图象向左平移个单位长度后，所得图象的一个对称中心为（）A． B． C． D．8．下面有五个命题：①函数y=sin4x-cos4x的最小正周期是π；②终边在y轴上的角的集合是{α|α=kπA．①③ B．①④ C．②③ D．③④9．三个数，，之间的大小关系是()A． B．C． D．10．“”是“复数在复平面内对应的点在第一象限”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件11．随机变量，且，则（）A．0.20 B．0.30 C．0.70 D．0.8012．若复数满足，则的虚部是（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若正实数满足，则的最小值为______．14．将函数的图象向右平移个单位后,得到函数的图象，则的值是____.15．矩阵的逆矩阵为__________.16．甲、乙、丙、丁名同学被随机地分到三个社区参加社会实践，要求每个社区至少有一名同学，则甲、乙两人被分在同一个社区的概率是______________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）双曲线的左、右焦点分别为、，直线过且与双曲线交于、两点．（1）若的倾斜角为，，是等腰直角三角形，求双曲线的标准方程；（2），，若的斜率存在，且，求的斜率；（3）证明：点到已知双曲线的两条渐近线的距离的乘积为定值是该点在已知双曲线上的必要非充分条件．18．（12分）已知函数f(x)=axx2+1+a,(1)求函数f(x)的单调区间；(2)求证:当a>0时,对于任意x1,x19．（12分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），它与曲线C：（y－2）2－x2＝1交于A、B两点．（1）求|AB|的长；（2）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点P的极坐标为，求点P到线段AB中点M的距离．20．（12分）已知一次函数f(x)满足：f(1)=2,f(2x)=2f(x)-1.(1)求f(x)的解析式;(2)设,若|g(x)|－af(x)＋a≥0，求实数a的取值范围.21．（12分）已知函数，M为不等式的解集.（1）求M；（2）证明：当，.22．（10分）设函数．（1）若函数为奇函数，(0，)，求的值；（2）若＝，＝，(0，)，求的值．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】

由向量的线性运算，可得，即得解.【详解】由于，故所以故选：A【点睛】本题考查了平面向量的线性运算，考查了学生数形结合，数学运算的能力，属于基础题.2、D【解析】

先求导，利用函数的单调性，结合，确定;再利用，即，可得，，设，，确定在上递增，在有零点，即可求实数的取值范围．【详解】解：，当时，恒成立，则f（x）在（0，+∞）上递增，则f（x）不可能有两个相等的函数值．故；由题设，则＝考虑到，即，设，，则在上恒成立，在上递增，在有零点，则，，故实数的取值范围是．【点睛】本题考查了通过构造函数，转化为函数存在零点，求参数取值范围的问题，本题的难点是根据已知条件，以及，变形为，，然后构造函数转化为函数零点问题.3、A【解析】

利用函数的奇偶性以及函数的周期性转化求解即可．【详解】因为f（x）是奇函数，且周期为2，所以f（﹣2017）+f（2018）=﹣f（2017）+f（2018）=﹣f（1）+f（0）．当x∈[0，2）时，f（x）=log2（x+1），所以f（﹣2017）+f（2018）=﹣1+0=﹣1．故选：A．【点睛】本题考查函数的奇偶性以及函数的周期性的应用，考查计算能力．4、D【解析】

通过条件概率相关公式即可计算得到答案.【详解】设“第一次摸到红球”为事件A，“第二次摸到红球”为事件B，而，，故，故选D.【点睛】本题主要考查条件概率的相关计算，难度不大.5、C【解析】由题设可得2n=32⇒n=5，则通项公式Tr+1=C5r6、D【解析】

先求出函数在区间上的解析式，利用二次函数的性质可求出函数在区间上的最小值．【详解】由题意可知，函数是以为周期的周期函数，设，则，则，即当时，，可知函数在处取得最小值，且最小值为，故选D.【点睛】本题考查函数的周期性以及函数的最值，解决本题的关键就是根据周期性求出函数的解析式，并结合二次函数的基本性质求解，考查计算能力，属于中等题．7、B【解析】

利用函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，再结合余弦函数的图象的对称性，得出结论．【详解】将函数y＝sin（2x）的图象向左平移个单位长度后，可得函数y＝sin（2x）＝cos2x的图象．令2x＝kπ，求得x，k∈Z．令k＝0，可得x，故所得图象的一个对称中心为（，0），故选：B．【点睛】本题主要考查函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的图象的对称性，属于基础题．8、B【解析】

①先进行化简，再利用求周期的公式即可判断出是否正确；②对k分奇数、偶数讨论即可；③令h（x）=x﹣sinx，利用导数研究其单调性即可；④利用三角函数的平移变换化简求解即可．【详解】①函数y=sin4x﹣cos4x=（sin2x+cos2x）（sin2x﹣cos2x）=﹣cos2x，∴最小正周期T=2π2=π，∴函数y=sin4x﹣cos4x的最小正周期是π，故①②当k=2n（n为偶数）时，a=2nπ2=nπ，表示的是终边在x轴上的角，故②③令h（x）=x﹣sinx，则h′（x）=1﹣cosx≥0，∴函数h（x）在实数集R上单调递增，故函数y=sinx与y=x最多只能一个交点，因此③不正确；④把函数y=3sin（2x+π3）的图象向右平移π6得到y=3sin（2x﹣π3综上可知：只有①④正确．故选B．【点睛】本题综合考查了三角函数的周期性、单调性、三角函数取值及终边相同的角，利用诱导公式进行化简和利用导数判断单调性是解题的关键．9、A【解析】

利用指数函数、对数函数的单调性求解【详解】,故故选：A【点睛】本题考查三个数的大小的比较，是基础题，解题时要认真审题，注意指数函数、对数函数的单调性的合理运用．10、C【解析】

根据充分必要条件的定义结合复数与复平面内点的对应关系，从而得到答案．【详解】若复数在复平面内对应的点在第一象限，则解得，故“”是“复数在复平面内对应的点在第一象限”的充要条件.故选C.【点睛】本题考查了充分必要条件，考查了复数的与复平面内点的对应关系，是一道基础题．11、B【解析】分析：由及可得．详解：∵，∴．故选B．点睛：本题考查正态分布，若随机变量中，则正态曲线关于直线对称，因此有，（）．12、B【解析】由题意可得：，则：，即的虚部是.本题选择B选项.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、9【解析】

根据，展开后利用基本不等式求最值.【详解】等号成立的条件是，即，，解得：的最小值是9.【点睛】本题考查了基本不等式求最值的问题，属于简单题型.基本不等式求最值，需满足“一正，二定，三相等”，这三个要素缺一不可.14、1【解析】

利用函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再代入后可得g（）的值．【详解】解：将函数f（x）＝sin（2x+π）的图象向右平移个单位后，得到函数g（x）＝sin[2（x﹣）+π]＝cos2x的图象，则g（）＝cos（2×）＝1，故答案为1．【点睛】本题主要考查诱导公式的应用，函数y＝Asin（ωx+φ）的图象平移变换，属于基础题．15、【解析】

通过逆矩阵的定义构建方程组即可得到答案.【详解】由逆矩阵的定义知：,设，由题意可得：，即解得，因此.【点睛】本题主要考查逆矩阵的相关计算，难度不大.16、【解析】

可把甲乙看成一个整体，再分到三个社区，算出对应的方法种数，再由题意算出所有的分配种数，结合古典概型公式求解即可【详解】把甲乙看作一个整体，再与其他两人分到三个社区共有种方法，而所有的分配方法有种，则甲、乙两人被分在同一个社区的概率是故答案为：【点睛】本题考查排列组合公式的应用，古典概型的求法，属于基础题三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）；（3）见解析.【解析】

（1）将代入双曲线的方程，得出，由是等腰直角三角形，可得出，再将代入可得出的值，由此可得出双曲线的标准方程；（2）先求出双曲线的标准方程，并设直线的方程为，将该直线的方程与双曲线的方程联立，列出韦达定理，并求出线段的中点的坐标，由得出，转化为，利用这两条直线斜率之积为，求出实数的值，可得出直线的斜率；（3）设点，双曲线的两条渐近线方程为，利用点到直线的距离公式、双曲线的方程以及必要不充分条件的定义，即可得证.【详解】（1）直线的倾斜角为，，可得直线，代入双曲线方程可得，是等腰直角三角形可得，即有，解得，，则双曲线的方程为；（2）由，，可得，直线的斜率存在，设为，设直线方程为，，可得，由，联立双曲线方程，可得，可得，线段的中点为，由，可得，解得，满足，故直线的斜率为；（3）证明：设，双曲线的两条渐近线为，可得到渐近线的距离的乘积为，即为，可得，可得在双曲线或上，即有点到已知双曲线的两条渐近线的距离的乘积为定值是该点在已知双曲线上的必要非充分条件．【点睛】本题考查双曲线的方程与性质，考查直线与双曲线的位置关系，同时也考查为韦达定理和中点坐标公式、两直线垂直的条件、点到直线的距离公式以及必要不充分条件的判断，解题时要结合相应条件进行转化，考查化归与转化、以及方程思想的应用，属于难题.18、（1）当a>0时,f(x)的单调递增区间为(-1,1),单调递减区间为(-∞,-1),(1,+∞)；当a<0时,f(x)的单调递增区间为(-∞,-1),(1,+∞),单调递减区间为(-1,1)；（2）详见解析.【解析】试题分析：（I）首先求出函数f(x)的导数，对字母a进行分类讨论，根据f'(x)>0，可知f(x)函数单调递增，f'(x)<0时f(x)函数单调递减可得答案．（Ⅱ）要证当a＞0时，对于任意x1，x2∈（0，e]，总有g(x1)＜f(x试题解析解：（Ⅰ）函数f(x)的定义域为R，f'当a>0时，当x变化时，f'(x)，x

(-∞,-1)

-1

(-1,1)

1

(1,+∞)

f'-

0

+

0

-

f(x)

↘

↗

↘

当a<0时，当x变化时，f'(x)，x

(-∞,-1)

-1

(-1,1)

1

(1,+∞)

f'+

0

-

0

+

f(x)

↗

↘

↗

综上所述，当a>0时，f(x)的单调递增区间为(-1,1)，单调递减区间为(-∞,-1)，(1,+∞)；当a<0时，f(x)的单调递增区间为(-∞,-1)，(1,+∞)，单调递减区间为(-1,1).5分（2）由（1）可知，当a>0时，f(x)在(0,1)上单调递增，f(x)>f(0)；f(x)在(1,e]上单调递减，且f(e)=aee2+1+a>a.所以x∈(0,e]时，f(x)>a令g'(x)=0，得①当0<a<e时，由g'(x)>0，得0<x<a；由g'所以函数g(x)在(0,a)上单调递增，在(a,e]上单调递减.所以g(x)因a-(alna-a)=a(2-lna)>a(2-ln②当a≥e时，g'(x)≥0在所以函数g(x)在(0,e]上单调递增，g(x)所以对于任意x1,x综上所述，对于任意x1,x考点：1.利用导数研究函数的单调性；2.函数单调性的性质．19、（1）；（2）【解析】试题分析：（1）直线的参数方程是标准参数方程，因此可把直线参数方程代入曲线的方程，由利用韦达定理可得；（2）把点极坐标化为直角坐标，知为直线参数方程的定点，因此利用参数的几何意义可得．试题解析：（1）把直线的参数方程对应的坐标代入曲线方程并化简得7t2+60t﹣125=0设A，B对应的参数分别为t1，t2，则．∴．（2）由P的极坐标为，可得，．∴点P在平面直角坐标系下的坐标为（﹣2，2），根据中点坐标的性质可得AB中点M对应的参数为．∴由t的几何意义可得点P到M的距离为．点睛：过点，倾斜角为的直线的标准参数方程为参数），其中直线上任一点参数的参数具有几何意义：，且方向向上时，为正，方向向下时，为负．20、(1)f(x)=x+1.(2)a≤0.【解析】分析：（1）待定系数法即可求得f(x)的解析式；（2）分类讨论、分离参数、数形结合都可以解决.详解：(1)设f(x)=kx+b，则解得：k=b=1,故f(x)=x+1.(2)由(1)得:g(x)＝|g(x)|－af(x)＋a≥0可化为|g(x)|≥ax.∵|g(x)|＝∴由|g(x)|≥ax可分两种情况：(I)恒成立若x＝0，不等式显然成立；若x<0时，不等式等价于x－2≤a.∵x－2<－2，∴a≥－2.(II)恒成立方法一[分离参数]：可化为a≤在(0,＋∞)上恒成立。令h(x)=,则h′(x)==令t(x)=x－(x+1)ln(x+1),则由t′(x)=-ln(x+1)<0知t(x)在(0,＋∞)上单调递减,故t(x)<t(0)=0，于是h′(x)<0从而h(x)在(0,＋∞)上单调递减又当x>0时,恒有h(x)=>0于是a≤0.方法二[分类讨论]：ln(x+1)≥axln(x+1)－ax≥0令φ(x)=ln(x+1)－ax，则φ