第七章 无穷级数

第七章无穷级数1第1页，共145页，2023年，2月20日，星期三

无穷级数的求和这一无穷过程困惑数学家长达几个世纪。是1，还是0，或是其它值？

无穷级数是一个威力强大的工具的基础，这个工具是我们能把许多函数表示成“无穷多项式”，并告诉我们把它截成“有限多项式”时带来多少误差。它不仅提供了可微函数的有效的多项式逼近，而且还有许多其它应用:借助级数表示很多有用的非初等函数；解微分方程；实数的近似计算。问题：1、无限多个实数相加是否存在和?2、如果存在，和等于什么?2第2页，共145页，2023年，2月20日，星期三第一节数项级数的概念与性质第七章无穷级数二.级数收敛的必要条件一.

数项级数的概念三.无穷级数的基本性质3第3页，共145页，2023年，2月20日，星期三一.数项级数的概念

引例1.

用圆内接正多边形面积逼近圆面积.依次作圆内接正边形,这个和逼近于圆的面积A.设a0

表示即内接正三角形面积,ak

表示边数增加时增加的面积,则圆内接正4第4页，共145页，2023年，2月20日，星期三引例2.(神秘的康托尔尘集)把[0,1]区间三等分,舍弃中间的开区间将剩下的两个子区间分别三等分,并舍弃在中间的开区间,如此反复进行这种“弃中”操作,问丢弃部分的总长和剩下部分的总长各是多少？丢弃的各开区间长依次为故丢弃部分总长剩余部分总长(剩余部分总长虽然为0,但康托尔证明了其成员和实数“一样多”,它们象尘埃一样散落在[0,1]区间上,人们称其为康托尔尘集.)01(此式计算用到后面的例1)5第5页，共145页，2023年，2月20日，星期三定义：给定一个数列将各项依即称上式为无穷级数，其中第

n

项叫做级数的一般项,级数的前

n

项和称为级数的部分和.次相加,简记为收敛,则称无穷级数并称S

为级数的和,记作6第6页，共145页，2023年，2月20日，星期三当级数收敛时,称差值为级数的余项.则称无穷级数发散.显然7第7页，共145页，2023年，2月20日，星期三例1.讨论等比级数

(又称几何级数)(q

称为公比)的敛散性.解：1)若从而因此级数收敛,从而则部分和因此级数发散.其和为8第8页，共145页，2023年，2月20日，星期三2)若因此级数发散;因此n为奇数n为偶数从而综合1)、2)可知,时,等比级数收敛;时,等比级数发散.则级数成为不存在,因此级数发散.9第9页，共145页，2023年，2月20日，星期三例2.

判别下列级数的敛散性:解：(1)所以级数(1)发散；技巧:利用“拆项相消”求和10第10页，共145页，2023年，2月20日，星期三(2)所以级数(2)收敛,其和为1.技巧:利用“拆项相消”求和11第11页，共145页，2023年，2月20日，星期三

例3.判别级数的敛散性.解：故原级数收敛,其和为12第12页，共145页，2023年，2月20日，星期三二.级数收敛的必要条件

设收敛级数则必有证：

可见：若级数的一般项不趋于0,则级数必发散.例如,其一般项为不趋于0,因此这个级数发散.13第13页，共145页，2023年，2月20日，星期三注意：并非级数收敛的充分条件.例如,调和级数虽然但此级数发散.事实上,假设调和级数收敛于S,则但矛盾!所以假设不真.14第14页，共145页，2023年，2月20日，星期三可以用定积分的定义来证明调和级数的发散性.15第15页，共145页，2023年，2月20日，星期三三.无穷级数的基本性质

性质1.

若级数收敛于S,则各项乘以常数

c

所得级数也收敛,证:令则这说明收敛,其和为cS.

说明：级数各项乘以非零常数后其敛散性不变.即其和为cS.16第16页，共145页，2023年，2月20日，星期三性质2.

设有两个收敛级数则级数也收敛,其和为证：令则这说明级数也收敛,其和为17第17页，共145页，2023年，2月20日，星期三说明：(2)若两级数中一个收敛一个发散,则必发散.但若二级数都发散,不一定发散.例如,

(1)性质2表明收敛级数可逐项相加或减.(用反证法可证)18第18页，共145页，2023年，2月20日，星期三性质3.在级数前面加上或去掉有限项,不会影响级数的敛散性.证：将级数的前k项去掉,的部分和为数敛散性相同.当级数收敛时,其和的关系为类似可证前面加上有限项的情况.极限状况相同,故新旧两级所得新级数19第19页，共145页，2023年，2月20日，星期三性质4.

收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数的和.证：设收敛级数若按某一规律加括弧,则新级数的部分和序列为原级数部分和序列的一个子序列,推论：若加括弧后的级数发散,则原级数必发散.注意：收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.但发散.因此必有例如，用反证法可证例如20第20页，共145页，2023年，2月20日，星期三例4.判断级数的敛散性:解：考虑加括号后的级数发散,从而原级数发散.21第21页，共145页，2023年，2月20日，星期三例5.

判断下列级数的敛散性,若收敛求其和:解：(1)令则故从而这说明级数(1)发散.22第22页，共145页，2023年，2月20日，星期三因进行拆项相消这说明原级数收敛,其和为(2)23第23页，共145页，2023年，2月20日，星期三这说明原级数收敛,其和为3.(3)24第24页，共145页，2023年，2月20日，星期三第二节正项级数敛散性的判别25第25页，共145页，2023年，2月20日，星期三若定理1.

正项级数收敛部分和序列有界.若收敛,∴部分和数列有界,故从而又已知故有界.则称为正项级数

.单调递增,收敛,也收敛.证：“”“”26第26页，共145页，2023年，2月20日，星期三都有定理2(比较审敛法).设且存在对一切有(1)若强级数则弱级数(2)若弱级数则强级数证：设对一切收敛,也收敛;发散,也发散.分别表示弱级数和强级数的部分和,则有是两个正项级数,(常数k>0),因在级数前加、减有限项不改变其敛散性,故不妨27第27页，共145页，2023年，2月20日，星期三(1)若强级数则有因此对一切有由定理1可知,则有(2)若弱级数因此这说明强级数也发散.也收敛.发散,收敛,弱级数28第28页，共145页，2023年，2月20日，星期三例1.

讨论

p

级数(常数p>0)的敛散性.解：1)若因为对一切而调和级数由比较审敛法可知p

级数发散.发散,29第29页，共145页，2023年，2月20日，星期三因为当故考虑强级数的部分和故强级数收敛,由比较审敛法知

p

级数收敛.时,2)若30第30页，共145页，2023年，2月20日，星期三调和级数与

p级数是两个常用的比较级数.若存在对一切31第31页，共145页，2023年，2月20日，星期三证明级数发散.证：因为而级数发散,根据比较审敛法可知,所给级数发散.例2.32第32页，共145页，2023年，2月20日，星期三定理3

(比较审敛法的极限形式).则有两个级数同时收敛或发散;(2)当

l=

0

(3)当

l=∞

证：据极限定义,设两正项级数满足(1)当0<l<∞

时,33第33页，共145页，2023年，2月20日，星期三由定理

2

可知同时收敛或同时发散;(3)当l=∞时,即由定理2可知,若发散,(1)当0<l<∞时,(2)当l=

0时,由定理2知收敛,若34第34页，共145页，2023年，2月20日，星期三是两个正项级数,(1)当时,两个级数同时收敛或发散;2)特别取可得如下结论：对正项级数(2)当且收敛时,(3)当且发散时,也收敛;也发散.注：1)un,vn均为无穷小时,l

的值反映了它们不同阶的比较.35第35页，共145页，2023年，2月20日，星期三的敛散性.

～例3.

判别级数的敛散性.

解：

根据比较审敛法的极限形式知例4.

判别级数解：根据比较审敛法的极限形式知～36第36页，共145页，2023年，2月20日，星期三定理4(比值审敛法(D’alembert判别法))设为正项级数,且则(1)当(2)当证：(1)收敛,时,级数收敛；或时,级数发散.由比较审敛法可知，37第37页，共145页，2023年，2月20日，星期三因此所以级数发散.时(2)当说明：当时,级数可能收敛也可能发散.例如,

p–级数但级数收敛；级数发散.从而38第38页，共145页，2023年，2月20日，星期三例5.

讨论级数的敛散性.解：

根据定理4可知：级数收敛；级数发散；39第39页，共145页，2023年，2月20日，星期三解：40第40页，共145页，2023年，2月20日，星期三(比值审敛法失效,改用比较审敛法)41第41页，共145页，2023年，2月20日，星期三对任意给定的正数定理5(根值审敛法(Cauchy判别法)).设为正项则证明提示：

即分别利用上述不等式的左,右部分,可推出结论正确.级数,且42第42页，共145页，2023年，2月20日，星期三时,级数可能收敛也可能发散.例如

,p–

级数说明：但级数收敛；级数发散.43第43页，共145页，2023年，2月20日，星期三例7.研究级数的敛散性.解：由于所以级数是收敛的.说明：可以证明：比值判别法成立根值判别法成立是否就不需要比值判别法了？请看讲过的例子.试用比值判别法判断这个级数敛散性.44第44页，共145页，2023年，2月20日，星期三第三节任意项级数敛散性的判别一.交错级数及其审敛法二.绝对收敛与条件收敛45第45页，共145页，2023年，2月20日，星期三常数项级数正项级数交错级数任意项级数一般项级数46第46页，共145页，2023年，2月20日，星期三一.交错级数及其审敛法

则各项符号正负相间的级数称为交错级数.定理1(Leibnitz判别法).若交错级数满足条件：则级数收敛,且其和其余项满足47第47页，共145页，2023年，2月20日，星期三证：是单调递增有界数列,又故级数收敛于S,且故48第48页，共145页，2023年，2月20日，星期三收敛收敛用Leibniz

判别法判别下列级数的敛散性：收敛上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛?发散收敛收敛49第49页，共145页，2023年，2月20日，星期三二.绝对收敛与条件收敛

定义：对任意项级数若若原级数收敛,但取绝对值以后的级数发散,收敛,数为条件收敛.均为绝对收敛.例如，绝对收敛；则称原级数条件收敛

.则称原级50第50页，共145页，2023年，2月20日，星期三定理2.

绝对收敛的级数一定收敛.证：设根据比较审敛法显然收敛,收敛也收敛且收敛,令51第51页，共145页，2023年，2月20日，星期三证：则对发散.则(1)当l

<1时,级数绝对收敛;(2)当l>1时,级数发散.定理3.若任意项级数满足条件52第52页，共145页，2023年，2月20日，星期三例1.证明下列级数绝对收敛：证：(1)而收敛,收敛因此，绝对收敛.53第53页，共145页，2023年，2月20日，星期三(2)令因此收敛,绝对收敛.小结54第54页，共145页，2023年，2月20日，星期三注意：(2)若用他法判定发散时,就只能断定需进一步用其他方法来判定的敛散性.而不能断定它必为发散。非绝对收敛,此时，(1)若用比值法和根值法判别级数,得出级数发散,则可断言级数一定发散.一定发散.因为例如，55第55页，共145页，2023年，2月20日，星期三内容小结2.判别正项级数敛散性的方法与步骤必要条件不满足发散满足比值审敛法根值审敛法收敛发散不定比较审敛法用他法判别部分和极限56第56页，共145页，2023年，2月20日，星期三3.任意项级数审敛法为收敛级数Leibniz判别法：则交错级数收敛概念：绝对收敛条件收敛57第57页，共145页，2023年，2月20日，星期三No

Diverges

YesMaybeNoYesNoYesNoYesYesYesNoNo利用级数收敛的定义与的性质判断级数敛散性的流程Maybe比值法或根值法、比较法58第58页，共145页，2023年，2月20日，星期三思考与练习1.设正项级数收敛,能否推出收敛?提示：由比较判敛法可知收敛.注意：反之不成立.例如,收敛,发散.59第59页，共145页，2023年，2月20日，星期三2.判别级数的敛散性：解：(1)发散,故原级数发散.不是p–级数(2)发散,故原级数发散.60第60页，共145页，2023年，2月20日，星期三3.则级数(A)发散;(B)绝对收敛;(C)条件收敛;(D)收敛性根据条件不能确定.分析：∴(B)错;又C61第61页，共145页，2023年，2月20日，星期三4.若级数均收敛,且证明级数收敛.证：

则由题设收敛收敛收敛62第62页，共145页，2023年，2月20日，星期三5.判别下列级数的敛散性:提示：(1)据比较审敛法的极限形式,原级数发散.63第63页，共145页，2023年，2月20日，星期三∴原级数发散故原级数收敛发散,收敛,用洛必达法则,原级数发散64第64页，共145页，2023年，2月20日，星期三时收敛；时,为p级数时收敛；时发散.时发散.65第65页，共145页，2023年，2月20日，星期三6.设正项级数和也收敛.法1：由题设根据比较审敛法的极限形式知结论正确.都收敛,证明级数法2：因故存在N>0,当n>N时从而,再利用比较法可得结论.66第66页，共145页，2023年，2月20日，星期三7.设级数收敛,且是否也收敛？说明理由.但对任意项级数却不一定收敛.问级数提示：对正项级数,由比较判别法可知级数收敛,收敛,级数发散.例如,

取67第67页，共145页，2023年，2月20日，星期三8.讨论下列级数的绝对收敛性与条件收敛性提示：(1)p>1时,绝对收敛；0<p≤1时,条件收敛；p≤0

时,发散.故原级数绝对收敛.(2)68第68页，共145页，2023年，2月20日，星期三(3)因单调递减,且但对所以原级数仅条件收敛

.由Leibniz审敛法知级数收敛；69第69页，共145页，2023年，2月20日，星期三(4)因所以原级数绝对收敛.70第70页，共145页，2023年，2月20日，星期三第四节幂级数一.函数项级数的概念二.幂级数及其收敛性三.幂级数的运算71第71页，共145页，2023年，2月20日，星期三一.函数项级数的概念设为定义在区间I上的函数项级数.对若常数项级数敛点,所有收敛点的全体称为其收敛域；若常数项级数为定义在区间I上的函数,称收敛,发散,所有为其收为其发散点,发散点的全体称为其发散域

.72第72页，共145页，2023年，2月20日，星期三为级数的和函数

,并写成若用令余项则在收敛域上有表示函数项级数前n

项的和,即称它在收敛域上,函数项级数的和是

的函数73第73页，共145页，2023年，2月20日，星期三例如,

等比级数它的收敛域是它的发散域是或写作又如,

级数级数发散；所以级数的收敛域仅为有和函数74第74页，共145页，2023年，2月20日，星期三二.幂级数及其收敛性

形如的函数项级数称为幂级数,其中数列下面着重讨论例如,

幂级数为幂级数的系数

.即是此种情形.的情形,即称75第75页，共145页，2023年，2月20日，星期三收敛发散定理1(Abel定理).若幂级数则对满足不等式的一切x

幂级数都绝对收敛.反之,若当的一切x,该幂级数也发散.时该幂级数发散,则对满足不等式证：设收敛,则必有于是存在常数M>0,使发散发散收敛阿贝尔76第76页，共145页，2023年，2月20日，星期三当时,收敛,故原幂级数绝对收敛.也收敛,反之,若当时该幂级数发散,下面用反证法证之.假设有一点满足不等式所以若当满足且使级数收敛,面的证明可知,级数在点故假设不真.的x,原幂级数也发散.时幂级数发散,则对一切则由前也应收敛,与所设矛盾,证毕77第77页，共145页，2023年，2月20日，星期三几何说明：收敛区域发散区域发散区域推论：o（证明超出大纲）78第78页，共145页，2023年，2月20日，星期三用±R

表示幂级数收敛与发散的分界点,则R=0时,幂级数仅在x=0收敛；幂级数在(－∞,+∞)收敛；R=+

时,幂级数在(－R,R)收敛；(－R,R)加上收敛的端点称为收敛域.R称为收敛半径，可能收敛也可能发散.在[－R,R]外发散；(－R,R)称为收敛区间.问题：如何求幂级数的收敛半径?79第79页，共145页，2023年，2月20日，星期三定理2.若的系数满足证：1)若≠0,则根据比值审敛法可知：当原级数收敛；当原级数发散.即时,1)当≠0时,2)当＝0时,3)当＝+∞时,即时,则80第80页，共145页，2023年，2月20日，星期三2)若则根据比值审敛法可知,绝对收敛,3)若则对除x=0以外的一切x原级发散,对任意

x原级数因此因此的收敛半径为说明：据此定理因此级数的收敛半径81第81页，共145页，2023年，2月20日，星期三对端点x=－1,

的收敛半径及收敛域.解：对端点x=1,收敛;级数为发散.故收敛域为例1.求幂级数

级数为交错级数82第82页，共145页，2023年，2月20日，星期三例2.求下列幂级数的收敛域：解：(1)所以收敛域为(2)所以级数仅在x=0处收敛.规定：0!=183第83页，共145页，2023年，2月20日，星期三例3.的收敛半径.解：级数缺少奇次幂项,不能直接应用定理2,比值审敛法求收敛半径.时级数收敛时级数发散故收敛半径为故直接由84第84页，共145页，2023年，2月20日，星期三例4.的收敛域.解：令级数变为当t=2

时,级数为此级数发散；当t=–2时,级数为此级数条件收敛；因此，级数的收敛域为故原级数的收敛域为即85第85页，共145页，2023年，2月20日，星期三三.幂级数的运算定理3.

设幂级数及的收敛半径分别为令则有：其中(以上结论可用部分和的极限证明)86第86页，共145页，2023年，2月20日，星期三说明：两个幂级数相除所得幂级数的收敛半径可能比原来两个幂级数的收敛半径小得多.例如,设它们的收敛半径均为但是其收敛半径只是87第87页，共145页，2023年，2月20日，星期三1、(和函数的连续性)其和函数S(x)注：此性质说明极限符号lim与无穷和符号∑可交换2、(逐项微分)在收敛域内连续定理4.若幂级数的收敛半径S(x)在(－R,R)内可微,且88第88页，共145页，2023年，2月20日，星期三3、(逐项积分)S(x)在收敛域内可积,且注：幂级数经逐项求导和逐项积分后所得的新幂级数在x=±R

处的收敛问题,一般有：

(1)

若在x=R

或x=-R

处发散,则逐项求导后的新幂级数一定在x=R或x=-R处发散.若在x=R

或x=-R

处收敛,则逐项求导后的新幂级数不一定仍在x=R或x=-R处收敛.89第89页，共145页，2023年，2月20日，星期三例如，它们的收敛半径都是1,但它们的收敛域各是(2)若在

x=R

或x=-R

处收敛,则逐项积分后必在x=R

或x=-R

处收敛.的新幂级数若在

x=R

或x=-R

处发散,则逐项积分后未必在x=R

或x=-R

处发散.的新幂级数90第90页，共145页，2023年，2月20日，星期三解：由例2可知级数的收敛半径R＝+∞.例5.则故有故得的和函数.因此得设91第91页，共145页，2023年，2月20日，星期三两边积分得解：易求出幂级数的收敛半径为1,收敛,x=1时级数发散。92第92页，共145页，2023年，2月20日，星期三故ln(1+x)在x=1单侧连续.93第93页，共145页，2023年，2月20日，星期三例7.的和函数解：易求出幂级数的收敛半径为1,x＝±1时级数发散,94第94页，共145页，2023年，2月20日，星期三例8.求级数的和函数解：易求出幂级数的收敛半径为1,收敛,x=1时级数发散,95第95页，共145页，2023年，2月20日，星期三因此由和函数的连续性得:而x=0时级数收敛于1,及且96第96页，共145页，2023年，2月20日，星期三例9.解：设则97第97页，共145页，2023年，2月20日，星期三而故98第98页，共145页，2023年，2月20日，星期三阿贝尔(1802–1829)挪威数学家,近代数学发展的先驱者.他在22岁时就解决了用根式解5次方程的不可能性问题,他还研究了更广的一并称之为阿贝尔群.在级数研究中,他得到了一些判敛准则及幂级数求和定理.论的奠基人之一,他的一系列工作为椭圆函数研究开拓了道路.数学家们工作150年.类代数方程,他是椭圆函数C.埃尔米特曾说：阿贝尔留下的思想可供后人发现这是一类交换群,第99页，共145页，2023年，2月20日，星期三内容小结1.求幂级数收敛域的方法1)对标准型幂级数：先求收敛半径,再讨论端点的收敛性.2)对非标准型幂级数(缺项或通项为复合式)：求收敛半径时直接用比值法或根值法,2.幂级数的性质两个幂级数在公共收敛区间内可进行加、减与也可通过换元化为标准型再求.乘法运算.例3例4100第100页，共145页，2023年，2月20日，星期三2)在收敛域内幂级数的和函数连续;3)幂级数在收敛区间内可逐项求导和求积分.思考与练习1.

已知处条件收敛,问该级数收敛半径是多少?答:根据Abel定理可知,级数在收敛,时发散.故收敛半径为例63.求和函数的常用方法—利用幂级数的性质例7101第101页，共145页，2023年，2月20日，星期三2.

在幂级数中,n

为奇数n

为偶数能否确定它的收敛半径不存在?答:

不能.

因为当时级数收敛,时级数发散,102第102页，共145页，2023年，2月20日，星期三

通过上节的学习知道：任何一个幂级数在其收敛区间内,均可表示成一个函数(即和函数)。(3)展开后的幂级数是否唯一?

但在实际中为了便于研究和计算，常常需将一个函数在某点附近表示成一个幂级数。这正好和原来“求一个幂级数的和函数”问题相反。本节将解决这样一些问题：(1)对于给定的函数ƒ(x),在什么条件下它才能展开成幂级数?(2)如果可以展开,怎样求这个幂级数的系数？103第103页，共145页，2023年，2月20日，星期三第五节函数的幂级数展开一.泰勒(Taylor)级数与麦克劳林(Maclaurin)级数二.泰勒公式三.函数展开成幂级数104第104页，共145页，2023年，2月20日，星期三定理1.设函数在的某邻域内有任意阶导数，且在处的幂级数展开式为则有则称为此函数可以幂级数展开；称此幂级数为该函数的幂级数展开式.定义1.若一个函数ƒ(x)能表示成一个幂级数一.泰勒级数105第105页，共145页，2023年，2月20日，星期三证明：逐项求导任意次,得106第106页，共145页，2023年，2月20日，星期三问题：定义2不一定.泰勒级数在收敛域内是否收敛于?107第107页，共145页，2023年，2月20日，星期三二.泰勒(Taylor)公式

特点：以直代曲在微分应用中已知近似公式:需要解决的问题：如何提高精度?如何估计误差?x

的一次多项式其误差为演示108第108页，共145页，2023年，2月20日，星期三

多项式对数值计算和理论分析都十分方便,所以在研究某些复杂函数时,常常希望将它们表示为一个多项式。假设在内能够近似表示为一个多项式,问题：(1)多项式的系数应如何确定呢?(2)又为多少呢?109第109页，共145页，2023年，2月20日，星期三假设在

内表示为的多项式下面对分两种情形来讨论：1.泰勒公式的建立因多项式函数具有任意阶的连续导数,则可对上式两边求的1至n阶导数,有(1)若为一个关于的多项式,即110第110页，共145页，2023年，2月20日，星期三在上列各式中,令,则得由从而,111第111页，共145页，2023年，2月20日，星期三并记与之误差为

从而有当

很小且在允许的误差范围之内时,就可用

去近似代替,即有

(2)若不是多项式,而是一个在内具有直到(n+1)阶导数的一般函数,则我们可仿照上式构造一个关于的多项式112第112页，共145页，2023年，2月20日，星期三令(称为余项),则有1.泰勒公式的建立

如何估计余项？113第113页，共145页，2023年，2月20日，星期三114第114页，共145页，2023年，2月20日，星期三公式①称为的n

阶泰勒公式

.公式②称为n

阶泰勒公式的拉格朗日余项

.定理2(泰勒(Taylor)定理)阶的导数,时,有①其中②则当泰勒115第115页，共145页，2023年，2月20日，星期三特例：(1)当n=0时,泰勒公式变为拉格朗日中值定理(2)当n=1时,泰勒公式变为可见误差116第116页，共145页，2023年，2月20日，星期三称为麦克劳林(Maclaurin)公式.则有在泰勒公式中若取麦克劳林由此得近似公式117第117页，共145页，2023年，2月20日，星期三定理3.

则在该邻域内能展开成泰勒级数的充要各阶导数,条件是

的泰勒公式余项满足：证明：令内具有设函数在点x0的某一邻域118第118页，共145页，2023年，2月20日，星期三2.几个初等函数的麦克劳林公式其中麦克劳林公式119第119页，共145页，2023年，2月20日，星期三其中麦克劳林公式120第120页，共145页，2023年，2月20日，星期三麦克劳林公式类似可得其中121第121页，共145页，2023年，2月20日，星期三其中麦克劳林公式122第122页，共145页，2023年，2月20日，星期三已知其中因此可得麦克劳林公式123第123页，共145页，2023年，2月20日，星期三三.函数展开成幂级数

1.直接展开法由泰勒级数理论可知,第一步求函数及其各阶导数在x=0处的值；第二步写出麦克劳林级数,并求出其收敛半径R；第三步判别在收敛区间(－R,R)内是否骤如下：展开方法直接展开法—利用泰勒公式间接展开法—利用已知其级数展开式为0.的函数展开124第124页，共145页，2023年，2月20日，星期三例1.

将函数展开成x

的幂级数.解：

其收敛半径为对任何有限数

x,其余项满足故(在0与x之间)故得级数125第125页，共145页，2023年，2月20日，星期三例2.

将展开成x

的幂级数.解：得级数:其收敛半径为对任何有限数

x,其余项满足126第126页，共145页，2023年，2月20日，星期三对上式两边求导可推出：127第127页，共145页，2023年，2月20日，星期三例3.

将函数展开成x

的幂级数,其中m为任意常数.解：易求出于是得级数由于级数在开区间(－1,1)内收敛.因此对任意常数m,128第128页，共1