一节数学活动课渗透的数学思想 论文

12022年安徽省中小学教育教学论文评选一节数学活动课渗透的数学思想、摘要：沪科版九年级数学上册22.3节相似三角形的性质课后有一节数学活动课，课题是《矩形对角线穿过的小正方形的个数》。我在教学这一节课的时候，格外认真，精心备课，认真组织教学，收到了很好的教学效果。通过这一节课发展了学生的数学思维，同时这一节数学活动中渗透着我们数学中很多的数学思想，有从简单到复杂思想，有数形结合思想，有转化和化归的思想。所以从这一节课的教学中，我收获很多，也引发了我的思考。这一节数学活动课发展学生的数学思维，渗透了重要的数学思想。是非常好的一节数学活动课，值得我们每位老师认真思考并实践到平时的课堂教学中。关键词：数学活动课猜想证明转化数学思想引言：教学中，数学活动课是一项重要的教学内容，在其中渗透着很多的数学思想与方法。所以数学活动课值得我们去认真研究，认真备课，认真去进行教学，下面我就以沪科版数学九年级上册数学一节数学活动课《矩形对角线穿过的小正方形的个数》为例来进行阐述。一、题目和解题过程展示我先把这节数学活动课的研究内容展示出来。 在由m×n个小正方形组成的矩形网格中，研究它的一条对角线所穿过（至少要经过小正方形内部的一个点）的小正方形个数f。(1）猜想：当m、n互质（m、n除1外无其他公因数）时，观察下列图形并完成下表122022年安徽省中小学教育教学论文评选(2）猜想：当m、n互质时，在m×n的矩形网格中，一条对角线所穿过的小正方形的个数f与m、n的关系式是______________________________（不需要证明）。请再画几个与上面不同的图形，验证你猜想的关系式是否成立。（3）如果你猜想的关系式对一般情况都是合适的，请证明他的正确性；如果你能找到反例说明你猜想的关系式部成立，请修改你的猜想，再进行证明（如果你在证明时有困难，可先观察一条对角线所穿过的小正方形个数f与该对角线被纵横网格线分成的段数之间的对应关系）。（4）当m、n不互质时，请画图验证你猜想的关系式是否依然成立。（5）画出2×4和3×6的矩形网格，分别观察它们的一条对角线所穿过的小正方形个数，并与1×2的矩形网格中它的一条对角线所穿过的小正方形个数进行比较，将2×4和3×6的情况转化为1×2的情况，求出f的值。（6）当m,n不互质时，说说此时你求f值的方法。以上是这个问题的全部内容，下面我们先来解答一下，然后逐一解析其中渗透的数学思想方法。232022年安徽省中小学教育教学论文评选解：（1）第一题很简单，从几个简单的例子出发，让学生对照图形直接数一数，从而得到问题的答案，如下表：mnm+nf12321343235424763576 这个问题比较简单，从几个简单的例子出发，从得出问题的答案，由浅入深，从特殊到一般 （2）这个问题，可以通过第（1）问中表格中的数据，来推理猜想得出结论f=m+n-1，然后可以让学生再画几个图形，来验证公式的正确性，（3）第三问让学生去证明猜想是否正确，如果不正确，可以举出反例。如果成立，可以进行证明。并且给出了证明提示：如果你在证明时有困难，可先观察一条对角线所穿过的小正方形个数f与该对角线被纵横网格线分成的段数之间的对应关系。学生思考，师生共同按照题目提示写出证明过程：a、先证明当m.n互质时，对角线不经过矩形网格中除端点以外的格点.设每个小正方形边长为1，因为m.n互质,所以分数m/n为最简分数.若长为m，宽为n的矩形对角线还经过除端点之外的某个格点，不妨设该格点P到相邻两边的距离分别为m'、n'（m'、n'是正整数)，如图5，则有些m/n=m'/n'，而n'<n,m'<m，这与m.n互质矛盾，所以当m、n互质时，矩形对角线不经过矩形网格中除端点以外的格点.342022年安徽省中小学教育教学论文评选图5b.证明：当m、n互质时，f=m+n-1图6当m.n互质时，如图6所示，在由m×r(rxn>1)个小正方形组成的矩形网格中,对角线与矩形网格的横线有(m+1)个交点;与矩形网格的竖线有(n+1)个交点，其中对角线两个端点被重复计算一次,所以对角线与矩形网格线的交点总数为(m＋1)＋(n+1)-2=m+n.所以对角线被这些点分成(m+n-1)个小线段，每个小线段属于一个“对角线穿过的小正方形”，所以对角线穿过的小正方形个数为f=m+n-1.（4）当m、n不互质时，上述结论不成立，用一个反例证明。如图2×4. 此时的m=2,n=4,而f=4,m+n-1=2+4-1=5≠f,从而证明：当m、n不互质时，f=m+n-1是不成立的.(5)此题通过两个特殊的例子，画出2×4和3×6的矩形网格，分别观察它们的一条对角线所穿过的小正方形个数。如图452022年安徽省中小学教育教学论文评选a,可以观察图像得出2×4和3×6相应的f值分别是4和6，

B,也可以把2×4的情况转化为两个1×2的情况，从得出f=2×（1+2-1）=2+4-2=4，可以把3×6的情况转化为三个1×2的情况，从得出f=3×（1+2-1）=3+6-3=6，（6）根据第（5）问的解答，可以进行猜想。当m、n不互质时，f=m+n-k(其中k是m、n的最大公约数)，然后提醒学生用转化的数学思想进行证明：如图7当m.n不互质时，设m、n最大公约数为k，因为矩形的一个顶点的坐标为(m,n),所以矩形对角线的解析式为y=nx/m,当x=m/k,y=n/k时,以m/k和n/k为横、纵坐标的点必为格点，矩形被分成k个m/k×n/k的小矩形，∵m/k,n/k的最大公约数为1，即m/k,n/k互质，∴每个小矩形的对角线穿过的正方形个数

f'=m/k+n/k-1（利用前面的问题得到互质时的公式），∴整个大矩形的对角线穿过的小正方形个数f=kf'=k×（m/k+n/k-1）=m+n-k,从而得到问题的证明。这个问题在证明时就很巧妙地利用了转化的数学思想，通过把不互质的情况转化为互质的情况来研究，然后一步步的推理论证，从而得到问题的解答，体现了化未知为已知和化繁为简的转化思想。562022年安徽省中小学教育教学论文评选现在针对于这节数学活动课，我来阐述一下它是怎样渗透数学思想的。本节课通过一个数学活动，提出问题，得出答案，提出猜想，分类讨论，转化类比，进行证明，等等环节，逐步深入。经历了提出问题、分析问题、解决问题这几步，从而得到问题的答案。二、题目分析及其渗透的数学思想首先，这节课先是提出问题：矩形对角线穿过的小正方形的个数，然后第一个问题，通过让学生活动，即数一数，完成表格。这一环节，比较简单，第二个问题是让学生根据表格中得到的数据，寻找规律，让学生进行猜想，进而得到f=m+n-1的结论。并要求学生再画几个与上面不同的图形来验证猜想的关系式是否成立，通过让学生活动发现，猜想的结论依然成立。这体现和渗透了从特殊到一般的数学思想。然后第三问，提出了让学生用数学的方法和数学语言去证明猜想的正确性，即证明f=m+n-1的正确性。这体现和渗透了数学的严谨思想。并且这个问题的证明也用到了这个数学活动所在的第22章学习的相似和位似的相关知识。这体现了知识间的相互联系，相互渗透。前三个问题都是在m、n互质的情况下研究的，从第四个问题开始是在m、n不互质的情况下研究的，这体现和渗透了数学的分类讨论思想。第四个问题，当m、n不互质时，请画图验证你猜想的关系式是否依然成立。学生通过画图，得出数据，从而验证f=m+n-1这个式子在当m、n不互质时，是不成立的。这里渗透和体现了从简单到复杂的数学思想。在证明这个式子不成立时，用到了反例，这说明要证明一个命题错误只需要举出一个反例即可。体现了反例的作用，以及数学中逆向思维的重要性。第五个问题，让学生画画出2×4和3×6的矩形网格，分别观察它们的一条对角线所穿过的小正方形个数，并与1×2的矩形网格中它的一条对角线所穿过的小正方形个数进行类比和比较。从而建立知识间的联系，化未知为已知，利用前面的知识类比解决这个问题，体现和渗透了数学中的转化和化归的思想。最后一个问题，通过类比，让学生说说此时你求f值得方法。学生根据前面的类比分析得出猜想f=m+n-k，然后教师引导学生进行公式的推理和证明，体现了数学知识之间的相互联系。教师根据前面的分析引导，师生共同写出证明过程，从而用数学语言证明f=m+n-k的正确性。从而使这堂数学课得到升华，锻炼了学生的思维，提升了数学解题能力，体现和渗透学生的数学思想，发展了学生的核心素养。672022年安徽省中小学教育教学论文评选总之，这节数学活动课安排的特别好，对于发展学生的数学思维，提升学生的数学核心素养，都有很大的促进作用。这堂课也符合学生的认知规律，从特殊到一般，从简单到复杂，从分类讨论思想和转化、化归思想的运用，类比思想的运用。所以说不仅使学生获益良多，也使老师获益良多，真的是教学相长。这节课值得每一位老师和学生去认真研究，仔细揣