四川省德阳中学2023年数学高二第二学期期末学业质量监测模拟试题含解析

2022-2023高二下数学模拟试卷考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．如图，在三棱锥中，点D是棱的中点，若，，，则等于（）A． B． C． D．2．把10个苹果分成三堆，要求每堆至少1个，至多5个，则不同的分法共有（）A．4种 B．5种 C．6种 D．7种3．在等差数列中，，则（）A．45 B．75 C．180 D．3604．若，满足约束条件，则的最大值是（）A． B． C．13 D．5．在如图所示的“茎叶图”表示的数据中，众数和中位数分别（）.A．23与26 B．31与26 C．24与30 D．26与306．已知函数，若，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．7．在数列中，，则等于（）A．9 B．10 C．27 D．818．已知，则不等式的解集为（）A． B． C． D．9．已知函数（为自然对数的底数），，若对于任意的，总存在，使得成立，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．10．已知函数在区间上是单调递增函数，则的取值范围为（）A． B． C． D．11．设fx=sinxcosA．12 B．32 C．-12．计算：（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．曲线在点处的切线方程为________．14．已知，则_________.15．已知公比不为1的等比数列的首项，前项和为，若是与的等差中项，则__________．16．若一个球的体积为，则该球的表面积为_________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在中，内角对边的边长分别是，已知，．（Ⅰ）若的面积等于，求；（Ⅱ）若，求的面积．18．（12分）设函数.(1)求不等式的解集；(2)若存在使不等式成立，求实数的取值范围19．（12分）近年来，共享单车已经悄然进入了广大市民的日常生活，并慢慢改变了人们的出行方式.为了更好地服务民众，某共享单车公司在其官方中设置了用户评价反馈系统，以了解用户对车辆状况和优惠活动的评价.现从评价系统中选出条较为详细的评价信息进行统计，车辆状况的优惠活动评价的列联表如下：对优惠活动好评对优惠活动不满意合计对车辆状况好评对车辆状况不满意合计（1）能否在犯错误的概率不超过的前提下认为优惠活动好评与车辆状况好评之间有关系？（2）为了回馈用户，公司通过向用户随机派送每张面额为元，元，元的三种骑行券.用户每次使用扫码用车后，都可获得一张骑行券.用户骑行一次获得元券，获得元券的概率分别是，，且各次获取骑行券的结果相互独立.若某用户一天使用了两次该公司的共享单车，记该用户当天获得的骑行券面额之和为，求随机变量的分布列和数学期望.参考数据：参考公式：，其中.20．（12分）遇龙塔建于明代万历年间，简体砖石结构，屹立于永州市城北潇水东岸，为湖南省重点文物保护单位之一．游客乘船进行观光，到达潇水河河面的处时测得塔顶在北偏东45°的方向上，然后向正北方向行驶后到达处，测得此塔顶在南偏东的方向上，仰角为，且，若塔底与河面在同一水平面上，求此塔的高度．21．（12分）某厂生产的产品在出厂前都要做质量检测，每一件一等品都能通过检测，每一件二等品通过检测的概率为．现有10件产品，其中7件是一等品，3件是二等品.（1）随机选取1件产品，求能够通过检测的概率；（2）随机选取3件产品，（i）记一等品的件数为，求的分布列；（ii）求这三件产品都不能通过检测的概率．22．（10分）在极坐标系中，O为极点，点在曲线上，直线l过点且与垂直，垂足为P.（1）当时，求及l的极坐标方程；（2）当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】

利用向量的三角形法则，表示所求向量，化简求解即可．【详解】解：由题意在三棱锥中，点是棱的中点，若，，，可知：，，，．故选：．【点睛】本题考查向量的三角形法则，空间向量与平面向量的转化，属于基础题．2、A【解析】试题分析：分类：三堆中“最多”的一堆为5个，其他两堆总和为5，每堆最至少1个，只有2种分法．三堆中“最多”的一堆为4个，其他两堆总和为6，每堆最至少1个，只有2种分法．三堆中“最多”的一堆为3个，那是不可能的．考点：本题主要考查分类计数原理的应用．点评：本解法从“最多”的一堆分情况考虑开始，分别计算不同分法，然后求和．用列举法也可以，形象、直观易懂．3、C【解析】

由，利用等差数列的性质求出，再利用等差数列的性质可得结果.【详解】由，得到，则．故选C.【点睛】本题主要考查等差数列性质的应用，属于基础题.解与等差数列有关的问题时，要注意应用等差数列的性质：若，则.4、C【解析】

由已知画出可行域，利用目标函数的几何意义求最大值．【详解】解：表示可行域内的点到坐标原点的距离的平方，画出不等式组表示的可行域，如图，由解得即点到坐标原点的距离最大，即．故选：．【点睛】本题考查线性规划问题，考查数形结合的数学思想以及运算求解能力，属于基础题．5、B【解析】

根据茎叶图的数据，结合众数与中位数的概念，即可求解，得到答案.【详解】根据茎叶图中的数据，可得众数是数据中出现次数最多的数据，即众数为，又由中位数的定义，可得数据的中位数为，故选B.【点睛】本题主要考查了茎叶图的应用，其中解答中正确读取茎叶图的数据，以及熟记众数、中位数的概念是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.6、A【解析】

代入特殊值对选项进行验证排除，由此得出正确选项.【详解】若，符合题意，由此排除C,D两个选项.若，则不符合题意，排除B选项.故本小题选A.【点睛】本小题主要考查分段函数函数值比较大小，考查特殊值法解选择题，属于基础题.7、C【解析】

利用题设中递推公式，构造等比数列，求得等比数列的通项公式，即可求解.【详解】由题意，在数列中，，即可得数列表示首项，公比的等比数列，所以，故选C.【点睛】本题主要考查了等比数列的定义，以及等比数列的通项公式的应用，其中解答中熟记等比数列的定义和等比数列的通项公式，准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.8、A【解析】

利用导数判断出在上递增，而，由此将不等式转化为，然后利用单调性列不等式，解不等式求得的取值范围.【详解】由，故函数在上单调递增，又由，故不等式可化为，，得，解得．故选A.【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查对数不等式的解法，属于基础题.9、A【解析】，在区间上为增函数，在区间上为减函数.，，又，则函数在区间上的值域为.当时，函数在区间上的值域为.依题意有，则有，得.当时，函数在区间上的值域为，不符合题意.当时，函数在区间上的值域为.依题意有，则有，得.综合有实数的取值范围为.选A.点睛：利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.10、A【解析】分析：由函数在区间上是单调递增函数，得，进而分离参数得；构造函数，研究函数的值域特征，进而得到的单调性，最后求得的取值范围。详解：因为在区间上是单调递增函数所以，而在区间上所以，即令，则分子分母同时除以，得令，则在区间上为增函数所以所以在区间上恒成立即在区间上恒成立所以函数在区间上为单调递减函数所以所以选A点睛：本题考查了函数与导函数的综合应用，分离参数、构造函数法在解决单调性、最值问题中的应用，综合性强，对分析问题、解决问题的能力要求较高，属于难题。11、A【解析】

曲线在点π6,fπ【详解】∵f∴f【点睛】本题考查函数求导及导数的几何意义，属于基础题.12、B【解析】

直接利用组合数公式求解即可．【详解】由组合数公式可得.故选：B.【点睛】本题考查组合数公式的应用，是基本知识的考查．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

求出函数的导数，可得切线的斜率，运用斜截式方程可得切线的方程．【详解】曲线y＝（1﹣3a）ex在点（1，1），可得：1＝1﹣3a，解得a＝1，函数f（x）＝ex的导数为f′（x）＝ex，可得图象在点（1，1）处的切线斜率为1，则图象在点（1，1）处的切线方程为y＝x+1，即为x﹣y+1＝1．故答案为：x﹣y+1＝1．【点睛】本题考查导数的运用：求切线的方程，正确求导和运用斜截式方程是解题的关键，属于基础题．14、【解析】

根据二项式定理，，推导出，由，能求出．【详解】解：，，，由，解．故答案为1．【点睛】本题考查实数值的求法，考查组合数公式等基础知识，考查推理能力与计算能力，考查函数与方程思想，是基础题．15、2017【解析】由题设可得，又，故，则，应填答案．16、【解析】由题意，根据球的体积公式，则，解得，又根据球的表面积公式，所以该球的表面积为.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（Ⅰ），．（Ⅱ）的面积．【解析】试题分析：（1）由余弦定理及已知条件得，a2＋b2－ab＝4，…………2分又因为△ABC的面积等于，所以absinC＝，得ab＝4.…………4分联立方程组解得a＝2，b＝2.…………5分（2）由题意得sin(B＋A)＋sin(B－A)＝4sinAcosA，即sinBcosA＝2sinAcosA，…………7分当cosA＝0时，A＝，B＝，a＝，b＝，…………8分当cosA≠0时，得sinB＝2sinA，由正弦定理得b＝2a，联立方程组解得a＝，b＝.…………10分所以△ABC的面积S＝absinC＝.…………11分考点：本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，三角形内角和定理，两角和差的三角函数．点评：典型题，本题在考查正弦定理、余弦定理的应用，三角形内角和定理，两角和差的三角函数的同时，考查了函数方程思想，在两道小题中，均通过建立方程组，以便求的a,b,c等．18、（1）；（2）【解析】

本题需要分类讨论，对去绝对值的两种情况分类讨论。可以先令，在对进行分类讨论求出最小值，最后得出的取值范围。【详解】(1)由得，∴∴不等式的解集为(2)令则，∴∵存在x使不等式成立，∴【点睛】在遇到含有绝对值的不等式的时候，一定要根据函数解析式去绝对值的几种情况进行分类讨论。19、(1)在犯错误的概率不超过的前提下，不能认为优惠活动好评与车辆状况好评有关系.(2)分布列见解析；（元）.【解析】试题分析：（1）由题意求得的值，然后即可确定结论；

（2）由题意首先求得分布列，然后求解数学期望即可．试题解析（1）由列联表的数据，有.因此，在犯错误的概率不超过的前提下，不能认为优惠活动好评与车辆状况好评有关系.（2）由题意，可知一次骑行用户获得元的概率为.的所有可能取值分别为，，，，.∵，，，，，∴的分布列为：的数学期望为（元）.20、【解析】

根据正弦定理求得，然后在直角三角形中求得，即可得到答案．【详解】由题意，在中，，故又，故由正弦定理得：，解得，因为，所以，所以．【点睛】本题主要考查了解三角形的实际应用问题，其中解答中熟练应用正弦定理和直角三角形的性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．21、（1）（2）（ⅰ）见解析（ⅱ）见解析【解析】

（1）设随机选取一件产品，能通过检测的事件为,，事件等于事件“选取一等品都通过或者选取二等品通过检测”，由此能求出随机选取1件产品，能够通过检测的概率；（2）（i）随机变量的取值有：0，1，2，3，分别求出其概率即可．（ii）设随机选取3件产品都不能通过检测的事件为，事件等于事件“随机选取3件产品都是二等品且都不能通过检测”，由此能求这三件产品都不能通过检测的概率．【详解】（1）设随机选取一件产品，能通过检测的事件为,事件等于事件“选取一等品都通过或者选取二等品通过检测”，则.（2）（i）的可能取值为.，，，.故的分布列为0123（ii）设随机选取3件产品都不能通过检测的事件为，事件等于事件“随机选取3件产品都是二等品且都不能通过检测”，所以【点睛】本题考查等可能事件的概率，考查离散型随机变量的分布列，，考查独立重复试验的概率公式，本题是一个概率的综合题目．2