四川省蓬溪县蓬南中学2023年数学高二第二学期期末质量检测模拟试题含解析

2022-2023高二下数学模拟试卷注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若一个直三棱柱的所有棱长都为1，且其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）．A． B． C． D．2．若，则，.设一批白炽灯的寿命（单位：小时）服从均值为1000，方差为400的正态分布，随机从这批白炽灯中选取一只，则（）A．这只白炽灯的寿命在980小时到1040小时之间的概率为0.8186B．这只白炽灯的寿命在600小时到1800小时之间的概率为0.8186C．这只白炽灯的寿命在980小时到1040小时之间的概率为0.9545D．这只白炽灯的寿命在600小时到1800小时之间的概率为0.95453．若复数满足，则在复平面内，对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．（）A．9 B．12 C．15 D．35．函数的定义域（）A． B．C． D．6．6名学生站成一排,若学生甲不站两端,则不同站法共有()A．240种 B．360种 C．480种 D．720种7．为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（）A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度8．把边长为的正沿边上的高线折成的二面角,则点到的距离是()A． B． C． D．9．函数在区间上的最大值是2，则常数（）A．-2 B．0 C．2 D．410．已知随机变量服从正态分布,,则A． B． C． D．11．已知函数在区间上恰有一个最大值点和一个最小值点，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．12．设集合,，则（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．某四棱锥的三视图如图所示，那么该四棱锥的体积为____．14．某地区共有4所普通高中，这4所普通高中参加2018年高考的考生人数如下表所示：学校高中高中高中高中参考人数80012001000600现用分层抽样的方法在这4所普通高中抽取144人，则应在高中中抽取的学生人数为_______．15．双曲线的虚轴长为，其渐近线夹角为__________.16．在正方体中，为的中点，为底面的中心，为棱上任意一点，则直线与直线所成的角是____________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为万元，每生产千件需另投入万元．设该公司一年内共生产该品牌服装千件并全部销售完，每千件的销售收入为万元，且.（1）写出年利润（万元）关于年产量（千件）的函数解析式；（2）年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得利润最大？（注：年利润=年销售收入-年总成本）18．（12分）已知．（1）求函数的单调递增区间与对称轴方程；（2）当时，求的最大值与最小值．19．（12分）在平面直角坐标系中，直线，以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.设直线与曲线交于，两点，点在点的下方.（Ⅰ）当时，求，两点的直角坐标；（Ⅱ）当变化时，求线段中点的轨迹的极坐标方程.20．（12分）已知函数，。（1）求的解析式；（2）求在处的切线方程.21．（12分）在以直角坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，已知点到直线的距离为.（1）求实数的值；（2）设是直线上的动点，点在线段上，且满足，求点轨迹的极坐标方程.22．（10分）已知函数.（1）若函数与相切于点，求的值；（2）若是函数图象的切线，求的最小值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】

根据题意画出其立体图形.设此直三棱柱两底面的中心分别为,则球心为线段的中点,利用勾股定理求出球的半径,即可求得该球的表面积．【详解】画出其立体图形:直三棱柱的所有棱长都为1,且每个顶点都在球的球面上，设此直三棱柱两底面的中心分别为,则球心为线段的中点，设球的半径为，在中是其外接圆半径,由正弦定理可得:,,即在中∴球的表面积.故选:B.【点睛】本题主要考查空间几何体中位置关系、球和正棱柱的性质.解决本题的关键在于能想象出空间图形,并能准确的判断其外接球的球心就是上下底面中心连线的中点．2、A【解析】

先求出，，再求出和，即得这只白炽灯的寿命在980小时到1040小时之间的概率.【详解】∵，，∴，，所以，，∴.故选：A【点睛】本题主要考查正态分布的图像和性质，考查指定区间的概率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.3、A【解析】

由题先解出，再利用来判断位置【详解】，在复平面对应的点为，即在第一象限，故选A【点睛】本题考查复数的除法，复数的概念及几何意义，是基础题.4、A【解析】分析：直接利用排列组合的公式计算.详解：由题得.故答案为A.点睛：（1）本题主要考查排列组合的计算，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和基本的运算能力.(2)排列数公式：==(，∈，且)．组合数公式：===(∈，，且)5、A【解析】

解不等式即得函数的定义域.【详解】由题得所以函数的定义域为.故选A【点睛】本题主要考查函数的定义域的求法，考查对数函数和幂函数的定义域，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.6、C【解析】

先选2人（除甲外）排在两端，其余的4人任意排，问题得以解决．【详解】先选2人(除甲外)排在两端,其余的4人任意排,故种，故选：C.【点睛】本题考查排列、组合及简单计数问题，常用的方法有元素优先法、插空法、捆绑法、分组法等，此题考查元素优先法，属于简单题.7、D【解析】

通过变形，通过“左加右减”即可得到答案.【详解】根据题意，故只需把函数的图象上所有的点向右平移个单位长度可得到函数的图象，故答案为D.【点睛】本题主要考查三角函数的平移变换，难度不大.8、D【解析】

取中点，连接，根据垂直关系可知且平面，通过三线合一和线面垂直的性质可得，，从而根据线面垂直的判定定理知平面，根据线面垂直性质知，即为所求距离；在中利用勾股定理求得结果.【详解】取中点，连接，如下图所示：为边上的高，即为二面角的平面角，即且平面为正三角形为正三角形又为中点平面，平面又平面即为点到的距离又，本题正确选项：【点睛】本题考查立体几何中点到直线距离的求解，关键是能够通过垂直关系在立体图形中找到所求距离，涉及到线面垂直的判定定理和性质定理的应用，属于中档题.9、C【解析】分析：求出函数的导数，得到函数的单调区间，求出函数的最大值是，则值可求．详解：令，解得：或，

令，解得：

∴在递增，在递减，，

故答案为：2点睛：本题考查利用导数求函数在闭区间上的最值，考查了导数的综合应用，属于基础题．10、D【解析】

，选D.11、B【解析】

首先利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用正弦型函数的性质的应用求出结果．【详解】由题意，函数，令，所以，在区间上恰有一个最大值点和最小值点，则函数恰有一个最大值点和一个最小值点在区间，则，解答，即，故选B．【点睛】本题主要考查了三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．12、C【解析】

先求出集合、，再利用交集的运算律可得出集合.【详解】，，因此，，故选C.【点睛】本题考查集合的交集运算，考查学生对于集合运算律的理解应用，对于无限集之间的运算，还可以结合数轴来理解，考查计算能力，属于基础题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

先还原几何体，再根据四棱锥体积公式求结果.【详解】由三视图知该几何体如图，V＝＝故答案为：【点睛】本题考查三视图以及四棱锥的体积，考查基本分析求解能力，属基础题.14、24【解析】

计算出高中人数占总人数的比例，乘以得到在高中抽取的学生人数.【详解】应在高中抽取的学生人数为．【点睛】本小题主要考查分层抽样，考查频率的计算，属于基础题.15、60°．【解析】

计算出的值，得出渐近线的斜率，得出两渐近线的倾斜角，从而可得出两渐近线的夹角.【详解】由题意知，双曲线的虚轴长为，得，所以，双曲线的渐近线方程为，两条渐近线的倾斜角分别为、，因此，两渐近线的夹角为，故答案为.【点睛】本题考查双曲线渐近线的夹角，解题的关键就是求出渐近线方程，根据渐近线的倾斜角来求解，考查运算求解能力，属于基础题.16、90°【解析】

直线在平面内的射影与垂直．【详解】如图，分别是的中点，连接，易知在上，，又在正方形中，是的中点，∴（可通过证得），又正方体中，而，∴，，∴，∴直线与直线所成的角是90°．故答案为90°．【点睛】本题考查两异面直线所成的角，由于它们所成的角为90°，因此可通过证明它们相互垂直得到，这又可通过证明线面垂直得出结论，当然也可用三垂线定理证得．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装生产中获利最大【解析】试题分析：解：（Ｉ）当时，；当时，．∴年利润（万元）关于年产量（千件）的函数关系式为（Ⅱ）当时，由，即年利润在上单增，在上单减∴当时，取得最大值，且（万元）．当时，，仅当时取“=”综上可知，当年产量为千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大，最大值为万元．考点：本试题考查了函数模型在实际生活中的的运用。点评：解决应用题，首先是审清题意，然后利用已知的关系式表述出利润函数：收入-成本=利润。将实际问题转换为代数式，然后利用函数的性质，或者均值不等式来求解最值，但是要注明定义域，属于中档题。18、（1）单调递增区间为，k∈Z．对称轴方程为，其中k∈Z．（2）f（x）的最大值为2，最小值为–1．【解析】（1）因为，由，求得，k∈Z，可得函数f（x）的单调递增区间为，k∈Z．由，求得，k∈Z．故f（x）的对称轴方程为，其中k∈Z．（2）因为，所以，故有，故当即x=0时，f（x）的最小值为–1，当即时，f（x）的最大值为2．19、（Ⅰ），；（Ⅱ）.【解析】

（Ⅰ）根据题意，可将直线与曲线C联立求得，两点的直角坐标；（II）（解法一）当变化时，，于是可知点的轨迹为圆，从而得到其轨迹方程；（解法二）设，可用相关点法表示出的坐标，代入，于是得到轨迹方程.【详解】解：（Ⅰ）当时，直线，曲线的普通方程为：，由解得或，∵点在点的下方，所以，两点的直角坐标为：，.（II）（解法一）当变化时，，所以点的轨迹是以为直径的圆（点除外），因为曲线是圆心为的圆，则以为直径的圆的圆心坐标，半径为2.所以点轨迹的直角坐标方程为，所以点轨迹的极坐标方程为.（解法二）设，因为点是线段中点，是极点，所以点的坐标为，代入中，得，因为，不重合，所以，所以点轨迹的极坐标方程为.【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，轨迹方程.意在考查学生的转化能力，计算能力，逻辑推理能力，难度中等.20、（1）；（2）【解析】分析：（1）求出函数的导数，利用已知条件列出方程，求解即可；（2）求出切线的斜率，然后求解切线方程．详解：（1）依题意有①②由①②解有所以的解析式是（2）在处的切线的斜率所以有即故所求切线的方程为.点睛：这个题目考查了利用导数求函数在某一点处的切线方程；步骤一般为：一，对函数求导，代入已知点得到在这一点处的斜率；二，求出这个点的横纵坐标；三，利用点斜式写出直线方程.21、（1）;（2）.【解析】

（1）分别求出的直角坐标与直线的直角坐标方程，再由点到直线的距离公式列式求得值；（2）设，，则，结合在直线上即可求得点轨迹的极坐标方程．【详解】解：（1）由点，得的直角坐标为，由直线，得，即．则，解