2021-2022学年上海市杨浦区九年级(上)期末数学试卷(一模)

2021-2022学年上海市杨浦区九年级（上）期末数学试卷（一模）

一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）

1．（4分）（2021秋•杨浦区期末）将函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象向下平移2个单位，

下列结论中，正确的是（）

A．开口方向不变B．顶点不变

C．与x轴的交点不变D．与y轴的交点不变

2．（4分）（2021秋•杨浦区期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果∠A＝α，AC＝1，那么

AB等于（）

A．sinαB．cosαC．D．

3．（4分）（2021秋•杨浦区期末）已知和都是单位向量，下列结论中，正确的是（）

A．＝B．﹣＝C．||+||＝2D．+＝2

4．（4分）（2021秋•杨浦区期末）已知点P是线段AB上的一点，线段AP是PB和AB的比

例中项，下列结论中，正确的是（）

A．B．C．D．

5．（4分）（2021秋•杨浦区期末）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，过对角线交点O的直

线与两底分别交于点E、F，下列结论中，错误的是（）

A．B．C．D．

6．（4分）（2021秋•杨浦区期末）如图，点F是△ABC的角平分线AG的中点，点D、E分

别在AB、AC边上，线段DE过点F，且∠ADE＝∠C，下列结论中，错误的是（）

第1页（共31页）

A．B．C．D．

二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）

7．（4分）（2021秋•杨浦区期末）已知＝，那么＝．

8．（4分）（2021秋•杨浦区期末）计算：cos245°﹣tan30°sin60°＝．

9．（4分）（2021秋•杨浦区期末）抛物线y＝x2+3与y轴的交点坐标为．

10．（4分）（2021秋•杨浦区期末）二次函数y＝x2﹣4x图象上的最低点的纵坐标为．

11．（4分）（2021秋•杨浦区期末）已知的长度为2，的长度为4，且和方向相反，用

向量表示向量＝．

12．（4分）（2021秋•杨浦区期末）如果两个相似三角形对应边之比是4：9，那么它们的周

长之比等于．

13．（4分）（2021秋•杨浦区期末）已知在△ABC中，AB＝10，BC＝16，∠B＝60°，那么

AC＝．

14．（4分）（2021秋•杨浦区期末）已知在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点G

是△ABC的重心，那么点G到斜边AB的距离是．

15．（4分）（2021秋•杨浦区期末）在某一时刻，直立地面的一根竹竿的影长为3米，一根

旗杆的影长为25米，已知这根竹竿的长度为1.8米，那么这根旗杆的高度为米．

16．（4分）（2021秋•杨浦区期末）如图，海中有一个小岛A，一艘轮船由西向东航行，在

点B处测得小岛A在它的北偏东60°方向上，航行12海里到达点C处，测得小岛A在

它的北偏东30°方向上，那么小岛A到航线BC的距离等于海里．

17．（4分）（2021秋•杨浦区期末）新定义：已知三条平行直线，相邻两条平行线间的距离

相等，我们把三个顶点分别在这样的三条平行线上的三角形称为格线三角形．如图，已

知等腰Rt△ABC为“格线三角形”，且∠BAC＝90°，那么直线BC与直线c的夹角α的

余切值为．

第2页（共31页）

18．（4分）（2021秋•杨浦区期末）如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，将

△ABC绕点A逆时针旋转90°后得△ADE，点B落在点D处，点C落在点E处，联结

BE、CD，作∠CAD的平分线AN，交线段BE于点M，交线段CD于点N，那么的值

为．

三、解答题：（本大题共7题，满分78分）

19．（10分）（2021秋•杨浦区期末）如图，已知在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，

DE∥BC，且DE＝BC．

（1）如果AC＝6，求AE的长；

（2）设＝，＝，试用、的线性组合表示向量．

20．（10分）（2021秋•杨浦区期末）已知二次函数y＝2x2﹣4x+5．

（1）用配方法把二次函数y＝2x2﹣4x+5化为y＝a（x+m）2+k的形式，并指出这个函数

图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；

（2）如果将该函数图象沿y轴向下平移5个单位，所得新抛物线与x轴正半轴交于点A，

与y轴交于点B，顶点为C，求△ABC的面积．

21．（10分）（2021秋•杨浦区期末）如图，已知在△ABC中，CD⊥AB，垂足为点D，AD

第3页（共31页）

＝2，BD＝6，tan∠B＝，点E是边BC的中点．

（1）求边AC的长；

（2）求∠EAB的正弦值．

22．（10分）（2021秋•杨浦区期末）如图，为了测量建筑物AB的高度，先从与建筑物AB

的底部B点水平相距100米的点C处出发，沿斜坡CD行走至坡顶D处，斜坡CD的坡

度i＝1：3，坡顶D到BC的距离DE＝20米，在点D处测得建筑物顶端A点的仰角为

50°，点A、B、C、D、E在同一平面内，根据测量数据，请计算建筑物AB的高度（结

果精确到1米）（参考数据：sin50°≈0.77；cos50°≈0.64；tan50°≈1.19）

23．（12分）（2021秋•杨浦区期末）已知，如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠BCD，点

E在边BC上，AE∥CD，DE∥AB，过点C作CF∥AD，交线段AE于点F，联结BF．

（1）求证：△ABF≌△EAD；

（2）如果射线BF经过点D，求证：BE2＝EC•BC．

24．（12分）（2021秋•杨浦区期末）已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c

与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C（0，2），点P是该抛物线在第一象

第4页（共31页）

限内一点，联结AP、BC，AP与线段BC相交于点F．

（1）求抛物线的表达式；

（2）设抛物线的对称轴与线段BC交于点E，如果点F与点E重合，求点P的坐标；

（3）过点P作PG⊥x轴，垂足为点G，PG与线段BC交于点H，如果PF＝PH，求线

段PH的长度．

25．（14分）（2021秋•杨浦区期末）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝

5，点D为射线AB上一动点，且BD＜AD，点B关于直线CD的对称点为点E，射线AE

与射线CD交于点F．

（1）当点D在边AB上时，

①求证：∠AFC＝45°；

②延长AF与边CB的延长线相交于点G，如果△EBG与△BDC相似，求线段BD的长；

（2）联结CE、BE，如果S＝12，求S的值．

△ACE△ABE

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2021-2022学年上海市杨浦区九年级（上）期末数学试卷（一模）

参考答案与试题解析

一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）

1．（4分）（2021秋•杨浦区期末）将函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象向下平移2个单位，

下列结论中，正确的是（）

A．开口方向不变B．顶点不变

C．与x轴的交点不变D．与y轴的交点不变

【分析】由于抛物线平移后的形状不变，对称轴不变，a不变，抛物线的增减性不变．

【解答】解：A、将函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象向下平移2个单位，a不变，开口

方向不变，故正确．

B、将函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象向下平移2个单位，顶点的横坐标不变，纵坐标

改变，故错误；

C、将函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象向下平移2个单位，形状不变，顶点改变，与x

轴的交点改变，故错误．

D、将函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象向下平移2个单位，与y轴的交点也向下平移两

个单位，故错误．

故选：A．

【点评】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，注意：抛物线平

移后的形状不变，开口方向不变，顶点坐标改变．

2．（4分）（2021秋•杨浦区期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果∠A＝α，AC＝1，那么

AB等于（）

A．sinαB．cosαC．D．

【分析】在Rt△ABC中，根据∠A的余弦即可解答．

【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果∠A＝α，AC＝1，

那么：cosA＝＝，

∴AB＝，

故选：D．

第6页（共31页）

【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握正弦，余弦和正切的区别是解题的

关键．

3．（4分）（2021秋•杨浦区期末）已知和都是单位向量，下列结论中，正确的是（）

A．＝B．﹣＝C．||+||＝2D．+＝2

【分析】根据单位向量的定义逐一判断即可．

【解答】解：根据单位向量的定义可知：和都是单位向量，但是这两个向量并没有

明确方向，

∴A，B，D错误，C正确，

故选：C．

【点评】本题考查了平面向量中的单位向量知识，熟练掌握单位向量的定义是解题的关

键．

4．（4分）（2021秋•杨浦区期末）已知点P是线段AB上的一点，线段AP是PB和AB的比

例中项，下列结论中，正确的是（）

A．B．C．D．

【分析】根据黄金分割的定义判断即可．

【解答】解：∵点P是线段AB上的一点，线段AP是PB和AB的比例中项，

∴AP2＝PB•AB，

∴点P是AB的黄金分割点，

∴＝，

故选：C．

【点评】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义，找出黄金分割中成比例的对

应线段是解题的关键．

5．（4分）（2021秋•杨浦区期末）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，过对角线交点O的直

线与两底分别交于点E、F，下列结论中，错误的是（）

第7页（共31页）

A．B．C．D．

【分析】根据相似三角形的判定得出△AOE∽△COF，△DEO∽△BFO，△AOD∽△COB，

再根据相似三角形的性质得出比例式，最后根据比例的性质得出即可．

【解答】解：A．∵AD∥BC，

∴△AOE∽△COF，

∴＝，故本选项不符合题意；

B．∵AD∥BC，

∴△AOE∽△COF，△DEO∽△BFO，

∴＝，＝，

∴＝，

∴＝，故本选项符合题意；

C．∵AD∥BC，

∴△AOE∽△COF，△AOD∽△COB，

∴＝，＝，

∴＝，故本选项不符合题意；

D．∵AD∥BC，

∴△DEO∽△BFO，△AOD∽△COB，

∴＝，＝，

∴＝，

∴＝，故本选项不符合题意；

故选：B．

【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定，平行线分线段成比例定理和比例的性质

等知识点，能熟记相似三角形的性质定理和判定定理是解此题的关键．

6．（4分）（2021秋•杨浦区期末）如图，点F是△ABC的角平分线AG的中点，点D、E分

别在AB、AC边上，线段DE过点F，且∠ADE＝∠C，下列结论中，错误的是（）

第8页（共31页）

A．B．C．D．

【分析】通过证明△EAF∽△BAG，可得＝，通过证明△ADF∽△ACG，可得

，即可求解．

【解答】解：∵AG平分∠BAC，

∴∠BAG＝∠CAG，

∵点F是AG的中点，

∴AF＝FG＝，

∵∠ADE＝∠C，∠DAE＝∠BAC，

∴△DAE∽△CAB，

∴∠AEB＝∠B，

又∵∠BAG＝∠CAG，

∴△EAF∽△BAG，

∴＝，

∵∠ADE＝∠C，∠BAG＝∠CAG，

∴△ADF∽△ACG，

∴，

故选：D．

【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关

键．

二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）

7．（4分）（2021秋•杨浦区期末）已知＝，那么＝．

【分析】利用设k法解答即可．

第9页（共31页）

【解答】解：∵＝，

∴设x＝4k，y＝3k，

∴＝＝＝，

故答案为：．

【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握设k法是解题的关键．

8．（4分）（2021秋•杨浦区期末）计算：cos245°﹣tan30°sin60°＝0．

【分析】原式利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果．

【解答】解：cos245°﹣tan30°sin60°＝﹣×＝﹣＝0，

故答案为：0．

【点评】此题考查了特殊角的三角函数值，实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的

关键．

9．（4分）（2021秋•杨浦区期末）抛物线y＝x2+3与y轴的交点坐标为（0，3）．

【分析】把x＝0代入解析式求出y，根据y轴上点的坐标特征解答即可．

【解答】解：当x＝0时，y＝3，

则抛物线y＝x2+3与y轴交点的坐标为（0，3），

故答案为：（0，3）

【点评】本题考查的是二次函数图象上点的坐标特征，掌握y轴上点的横坐标为0是解

题的关键．

10．（4分）（2021秋•杨浦区期末）二次函数y＝x2﹣4x图象上的最低点的纵坐标为﹣4．

【分析】将二次函数解析式化为顶点式求解．

【解答】解：∵y＝x2﹣4x＝（x﹣2）2﹣4，

∴抛物线最低点坐标为﹣4．

故答案为﹣4．

【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是熟练掌握二次函数一般式与顶点式的转

化．

11．（4分）（2021秋•杨浦区期末）已知的长度为2，的长度为4，且和方向相反，用

向量表示向量＝﹣2．

第10页（共31页）

【分析】根据与的长度与方向即可得出结果．

【解答】解：∵的长度为2，的长度为4，且和方向相反，

∴，

故答案为：﹣2

【点评】本题考查了平面向量的基本知识，熟练掌握平面向量的定义和性质是解题的关

键．

12．（4分）（2021秋•杨浦区期末）如果两个相似三角形对应边之比是4：9，那么它们的周

长之比等于4：9．

【分析】根据相似三角形的性质得出即可．

【解答】解：∵两个相似三角形对应边之比是4：9，

∴它们的周长之比等于4：9，

故答案为：4：9．

【点评】本题考查了相似三角形的性质，能熟记相似三角形的周长之比等于相似比是解

此题的关键．

13．（4分）（2021秋•杨浦区期末）已知在△ABC中，AB＝10，BC＝16，∠B＝60°，那么

AC＝14．

【分析】过A作AD⊥BC于D，解直角三角形求出BD和AD，求出CD，再根据勾股定

理求出AC即可．

【解答】解：过A作AD⊥BC于D，则∠ADB＝∠ADC＝90°，

∵∠B＝60°，

∴sin60°＝，cos60°＝，

∵AB＝10，

∴＝，＝，

∴BD＝5，AD＝5，

第11页（共31页）

∵BC＝16，BD＝5，

∴CD＝BC﹣BD＝11，

由勾股定理得：AC＝＝＝14，

故答案为：14．

【点评】本题考查了解直角三角形和勾股定理，能熟记锐角三角形函数的定义和勾股定

理解此题的关键．

14．（4分）（2021秋•杨浦区期末）已知在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点G

是△ABC的重心，那么点G到斜边AB的距离是．

【分析】过C点作CE⊥AB于E，过G点作GH⊥AB于H，如图，先利用勾股定理计算

出AB，再利用面积法求出CE＝，根据G是△ABC的重心得到DG＝CD，然后证

明△DHG∽△DEC，利用相似比可求出GH的长度．

【解答】解：过C点作CE⊥AB于E，过G点作GH⊥AB于H，如图．

在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，

∴AB＝＝＝10，

∵CE•AB＝AC•BC，

∴CE＝＝，

∵G是△ABC的重心，

∴DG＝CG，

∴DG＝CD，

∵CE⊥AB，GH⊥AB，

∴GH∥CE，

∴△DHG∽△DEC，

∴＝＝，

∴GH＝CE＝×＝．

故答案为：．

第12页（共31页）

【点评】此题考查了三角形重心的性质：三角形的重心到顶点的距离是它到对边中点的

距离的2倍，也考查了勾股定理，三角形的面积，相似三角形的判定与性质．

15．（4分）（2021秋•杨浦区期末）在某一时刻，直立地面的一根竹竿的影长为3米，一根

旗杆的影长为25米，已知这根竹竿的长度为1.8米，那么这根旗杆的高度为15米．

【分析】根据同一时刻，物高与影长成正比即可列出等式．

【解答】解：根据同一时刻，物高与影长成正比得，旗杆的高度：1.8＝25：3，

∴旗杆的高度为15米，

故答案为：15．

【点评】本题主要考查了相似三角形的应用，熟练掌握平行投影的基本特征：物高与影

长成正比是解题的关键．

16．（4分）（2021秋•杨浦区期末）如图，海中有一个小岛A，一艘轮船由西向东航行，在

点B处测得小岛A在它的北偏东60°方向上，航行12海里到达点C处，测得小岛A在

它的北偏东30°方向上，那么小岛A到航线BC的距离等于6海里．

【分析】过点A作AE⊥BC交BC的延长线于点E，由三角形的外角性质得∠BAC＝∠ABC，

再由等腰三角形的判定得AC＝BC，锐角由锐角三角函数定义求出AE的长即可．

【解答】解：过点A作AE⊥BC交BC的延长线于点E，

由题意得：BC＝12海里，∠ABC＝90°﹣60°＝30°，∠ACE＝90°﹣30°＝60°，

∴∠BAC＝∠ACE﹣∠ABC＝30°，

∴∠BAC＝∠ABC，

∴AC＝BC＝12海里，

在Rt△ACE中，sin∠ACE＝，

第13页（共31页）

∴AE＝AC•sin∠ACE＝12×＝6（海里），

即小岛A到航线BC的距离是6海里，

故答案为：6．

【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣方向角问题，掌握方向角的概念，正确作

出辅助线构造直角三角形是解题的关键．

17．（4分）（2021秋•杨浦区期末）新定义：已知三条平行直线，相邻两条平行线间的距离

相等，我们把三个顶点分别在这样的三条平行线上的三角形称为格线三角形．如图，已

知等腰Rt△ABC为“格线三角形”，且∠BAC＝90°，那么直线BC与直线c的夹角α的

余切值为3．

【分析】过B作BE⊥直线a于E，延长EB交直线c于F，过C作CD⊥直线a于D，根

据全等三角形的判定得出△CDA≌△AEB，根据全等三角形的性质得出AE＝CD＝2d，

AD＝BE＝d，求出CF＝DE＝AE+AD＝3d，再解直角三角形求出答案即可．

【解答】解：过B作BE⊥直线a于E，延长EB交直线c于F，过C作CD⊥直线a于D，

则∠CDA＝∠AEB＝90°，

∵直线a∥直线b∥直线c，相邻两条平行线间的距离相等（设为d），

∴BF⊥直线c，CD＝2d，

∴BE＝BF＝d，

∵∠CAB＝90°，∠CDA＝90°，

第14页（共31页）

∴∠DCA+∠DAC＝90°，∠EAB+∠DAC＝90°，

∴∠DCA＝∠EAB，

在△CDA和△AEB中，

，

∴△CDA≌△AEB（AAS），

∴AE＝CD＝2d，AD＝BE＝d，

∴CF＝DE＝AE+AD＝2d+d＝3d，

∵BF＝d，

∴cotα＝＝＝3，

故答案为：3．

【点评】本题考查了解直角三角形，等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定，

平行线间的距离等知识点，能正确作出辅助线是解此题的关键．

18．（4分）（2021秋•杨浦区期末）如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，将

△ABC绕点A逆时针旋转90°后得△ADE，点B落在点D处，点C落在点E处，联结

BE、CD，作∠CAD的平分线AN，交线段BE于点M，交线段CD于点N，那么的值

为．

【分析】先根据题目条件作出图象，由∠C＝90°和tanA＝设BC＝5k，AC＝12k，然

后由旋转的性质得到AE＝AC＝12k，ED＝BC＝5k，AB＝AD＝13k，以点C为原点、BC

和AC所在直线分别为x轴和y轴建立平面直角坐标系，则A（0，12k），B（﹣5k，0），

E（12k，12k），D（12k，7k），过点N作NF⊥AC于点F，交BE于点P，NH⊥AD于点

H，得到NF＝NH，得到＝＝，然后由高相等的两个三角形的面积之比为

第15页（共31页）

底边长之比得到的值，进而用含有k的式子表示点N的坐标，再求得直线BE的解析

式，然后求得点P的坐标得到NP的长，最后通过△MAE∽△MNP得到的值，即可

得到的值．

【解答】解：由∠C＝90°和tanA＝可设BC＝5k，AC＝12k，

∴AB＝13k，

由旋转得，AE＝AC＝12k，ED＝BC＝5k，AB＝AD＝13k，

如图，以点C为原点，BC和AC所在直线分别为x轴和y轴，建立平面直角坐标系，则

A（0，12k），B（﹣5k，0），

∵旋转角为90°，

∴E（12k，12k），D（12k，7k），

过点N作NF⊥AC于点F，NH⊥AD于点H，

∵AN平分∠CAD，

∴NF＝NH，

∴＝＝，

又∵△ANC在边CN上的高和△AND在边DN上的高相等，

∴＝＝，

∴点N的坐标为（，），

设直线BE的解析式为y＝mx+n，则

，解得：，

∴直线BE的解析式为y＝x+，

当y＝时，x+＝，

解得：x＝﹣，

∴P（﹣，），

第16页（共31页）

∴NP＝﹣（﹣）＝6k，

∵NF⊥AC，∠EAC＝90°，

∴AE∥NP，

∴△MAF∽△MNP，

∴＝2，

∴＝，

故答案为：．

【点评】本题考查了旋转的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、角平分线的性

质定理、三角形的面积，解题的关键是通过旋转的性质建立平面直角坐标系．

三、解答题：（本大题共7题，满分78分）

19．（10分）（2021秋•杨浦区期末）如图，已知在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，

DE∥BC，且DE＝BC．

（1）如果AC＝6，求AE的长；

（2）设＝，＝，试用、的线性组合表示向量．

【分析】（1）根据相似三角形的性质得出等式求解即可；

（2）根据平面向量的加减运算法则即可求解．

第17页（共31页）

【解答】解：（1）∵DE∥BC，

∴△ADE∽△ABC，

∴，

∵DE＝，

∴AE＝4；

（2）由（1）知，，

∴DE＝，

∵，

∴＝．

【点评】本题考查了平面向量，相似三角形的性质等知识，熟练掌握平面向量的加减运

算法则是解题的关键．

20．（10分）（2021秋•杨浦区期末）已知二次函数y＝2x2﹣4x+5．

（1）用配方法把二次函数y＝2x2﹣4x+5化为y＝a（x+m）2+k的形式，并指出这个函数

图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；

（2）如果将该函数图象沿y轴向下平移5个单位，所得新抛物线与x轴正半轴交于点A，

与y轴交于点B，顶点为C，求△ABC的面积．

【分析】（1）利用配方法把一般式化为顶点式，根据二次函数的性质解答．

（2）首先求得抛物线y＝2x2﹣4x+5沿y轴向下平移5个单位后解析式，利用配方法求得

C的坐标，令y＝0求得A、B的坐标，然后根据三角形面积公式求解即可．

【解答】解：（1）y＝2x2﹣4x+5

＝2（x2﹣2x）+5

＝2（x2﹣2x+1﹣1）+5

＝2（x﹣1）2+3，

∴开口向上，对称轴为直线x＝1，顶点（1，3）．

（2）抛物线y＝2x2﹣4x+5沿y轴向下平移5个单位后解析式是y＝2x2﹣4x+5﹣5，即y

＝2x2﹣4x．

∵y＝2x2﹣4x＝2（x﹣1）2﹣2，

∴顶点C的坐标是（1，﹣2）．

第18页（共31页）

在y＝2x2﹣4x中令y＝0，则2x2﹣4x＝0，

解得x＝0或2，

∴A（2，0），B（0，0），

∴△ABC的面积为：＝2．

【点评】本题考查的是二次函数三种形式的转化，抛物线与x轴的交点，二次函数的图

象与几何变换，三角形的面积，掌握配方法、平移的规律是解题的关键．

21．（10分）（2021秋•杨浦区期末）如图，已知在△ABC中，CD⊥AB，垂足为点D，AD

＝2，BD＝6，tan∠B＝，点E是边BC的中点．

（1）求边AC的长；

（2）求∠EAB的正弦值．

【分析】（1）利用∠B的正切值先求出CD，再利用勾股定理求出AC；

（2）过点E作EF⊥AB，垂足为F．先判断EF是三角形的中位线，再求出EF、DF、

AF及AE，最后求出∠EAB的正弦值．

【解答】解：（1）∵CD⊥AB，

∴△ACD、△BCD均为直角三角形．

在Rt△CDB中，

∵BD＝6，tan∠B＝＝，

∴CD＝4．

在Rt△CDA中，

AC＝

＝

＝2．

（2）过点E作EF⊥AB，垂足为F．

第19页（共31页）

∵CD⊥AB，EF⊥AB，

∴CD∥EF．

又∵点E是边BC的中点，

∴EF是△BCD的中位线．

∴DF＝BF＝3，EF＝CD＝2．

∴AF＝AD+DF＝5．

在Rt△AEF中，

AE＝

＝

＝．

∴sin∠EAB＝

＝

＝．

【点评】本题主要考查了解直角三角形和勾股定理，掌握直角三角形的边角间关系以及

三角形的中位线定理是解决本题的关键．

22．（10分）（2021秋•杨浦区期末）如图，为了测量建筑物AB的高度，先从与建筑物AB

的底部B点水平相距100米的点C处出发，沿斜坡CD行走至坡顶D处，斜坡CD的坡

度i＝1：3，坡顶D到BC的距离DE＝20米，在点D处测得建筑物顶端A点的仰角为

50°，点A、B、C、D、E在同一平面内，根据测量数据，请计算建筑物AB的高度（结

果精确到1米）（参考数据：sin50°≈0.77；cos50°≈0.64；tan50°≈1.19）

第20页（共31页）

【分析】过D作DF⊥AB于F，由坡度的定义求出CE＝3DE＝60（米），则DF＝EB＝

40（米），再解直角三角形求出AF的长，即可得出答案

【解答】解：过D作DF⊥AB于F，

则DF＝EB，FB＝DE＝20米，

∵斜坡CD的坡度i＝1：3＝DE：CE，坡顶D到BC的距离DE＝20米，

∴CE＝3DE＝60（米），

∴DF＝EB＝BC﹣CE＝100﹣60＝40（米），

在Rt△ADF中，∠ADF＝50°，

∵tan∠ADF＝＝tan50°≈1.19，

∴AF≈1.19DF＝1.19×40＝47.6（米），

∴AB＝AF+BF≈47.6+20≈68（米），

即建筑物AB的高度约为68米．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题、坡度坡角问题，正确作出辅

助线构造直角三角形是解题的关键．

23．（12分）（2021秋•杨浦区期末）已知，如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠BCD，点

E在边BC上，AE∥CD，DE∥AB，过点C作CF∥AD，交线段AE于点F，联结BF．

（1）求证：△ABF≌△EAD；

（2）如果射线BF经过点D，求证：BE2＝EC•BC．

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【分析】（1）先证AB＝AE，DE＝DC，再证四边形ADCF是平行四边形，得出AF＝CD，

进而得出AF＝DE，再由平行线性质得∠AED＝∠BAF，进而证得结论；

（2）通过证明△BEF∽△BCD，△DEF∽△BAF，可得，即可得结论．

【解答】证明：（1）∵AE∥CD，

∴∠AEB＝∠BCD，

∵∠ABC＝∠BCD，

∴∠ABC＝∠AEB，

∴AB＝AE，

∵DE∥AB，

∴∠DEC＝∠ABC，∠AED＝∠BAF，

∵∠ABC＝∠BCD，

∴∠DEC＝∠BCD，

∴DE＝DC，

∵CF∥AD，AE∥CD，

∴四边形ADCF是平行四边形，

∴AF＝CD，

∴AF＝DE，

在△ABF和△EAD中，

，

∴△ABF≌△EAD（SAS）；

（2）如图，连接FD，

第22页（共31页）

∵射线BF经过点D，

∴点B，点F，点D三点共线，

∵AE∥DC，

∴△BEF∽△BCD，

∴，，

∵DE∥AB，

∴△DEF∽△BAF，

∴，

∴，

∵CD＝AF，

∴，

∴BE2＝EC•BC．

【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形

的判定和性质，利用相似三角形的性质得到线段的关系是解题的关键．

24．（12分）（2021秋•杨浦区期末）已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c

与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C（0，2），点P是该抛物线在第一象

限内一点，联结AP、BC，AP与线段BC相交于点F．

（1）求抛物线的表达式；

（2）设抛物线的对称轴与线段BC交于点E，如果点F与点E重合，求点P的坐标；

（3）过点P作PG⊥x轴，垂足为点G，PG与线段BC交于点H，如果PF＝PH，求线

段PH的长度．

第23页（共31页）

【分析】（1）将点A（﹣1，0）和点C（0，2）代入y＝﹣x2+bx+c，即可求解；

（2）分别求出B（4，0）和直线BC的解析式为y＝﹣x+2，可得E（，），再求直

线AE的解析式为y＝x+，联立，即可求点P（3，2）；

（3）设P（t，﹣t2+t+2），则H（t，﹣t+2），则PH＝﹣t2+2t，用待定系数法求

出直线AP的解析式为y＝x+，联立，可求出F（，），

直线AP与y轴交点E（0，），则CE＝，再由PF＝PH，可得CE＝EF，则有方程

（）2＝（）2+（﹣）2，求出t＝，即可求PH＝﹣t2+2t＝．

【解答】解：（1）将点A（﹣1，0）和点C（0，2）代入y＝﹣x2+bx+c，

∴，

∴，

∴y＝﹣x2+x+2；

（2）∵y＝﹣x2+x+2，

第24页（共31页）

∴对称轴为直线x＝，

令y＝0，则﹣x2+x+2＝0，

解得x＝﹣1或x＝4，

∴B（4，0），

设直线BC的解析式为y＝kx+m，

∴，

∴，

∴y＝﹣x+2，

∴E（，），

设直线AE的解析式为y＝k'x+n，

∴，

∴，

∴y＝x+，

联立，

∴x＝3或x＝﹣1（不符合题意，舍去），

∴P（3，2）；

（3）设P（t，﹣t2+t+2），则H（t，﹣t+2），

∴PH＝﹣t2+2t，

设直线AP的解析式为y＝k1x+b1，

∴，

第25页（共31页）

∴，

∴y＝x+，

联立，

∴x＝，

∴F（，），

直线AP与y轴交点E（0，），

∴CE＝2﹣＝，

∵PF＝PH，

∴∠PFH＝∠PHF，

∵PG∥y轴，

∴∠ECF＝∠PHF，

∵∠CFE＝∠PFH，

∴∠CEF＝∠CFE，

∴CE＝EF，

∴（）2＝（）2+（﹣）2，

∴（4﹣t）2+4＝（5﹣t）2，

∴t＝，

∴PH＝﹣t2+2t＝．

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【点评】本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，会求函数的交点

坐标，本题计算量较大，准确的计算是解题的关键．

25．（14分）（2021秋•杨浦区期末）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝

5，点D为射线AB上一动点，且BD＜AD，点B关于直线CD的对称点为点E，射线AE

与射线CD交于点F．

（1）当点D在边AB上时，

①求证：∠AFC＝45°；

②延长AF与边CB的延长线相交于点G，如果△EBG与△BDC相似，求线段BD的长；

（2）联结CE、BE，如果S＝12，求S的值．

△A