考研高数全册小结论老师

tan ex ln[1 arcsin arctan 12(3).(1x)a (4).ax xln n(6).n1x n

(1

0x 0|x| 2sinxxtan如果limU1,limV则limUVelim(Uf(x)f

1cosx 2f(x)f 直线Lykxb为函数yf(x)klimf

blim[f(x)

这里的包括和

12常见函数的导数12(x)'

()x

)'

(sinx)(n)sin(xn (cosx)(n)cos(xn (sinkx)(n)knsin(xn (coskx)(n)kncos(xn (xn)(n) (ax)(n)(ax)(ln(ex)(n) (1)(n) t (t ( t

(t

[ln(t (t(tanx)2dxtanxx(cotx)2dxcotxx 1arctanxCx2x2

x2lnx2

1ln|x

x2a2 2a xa arcsinxCaa2arcsinxa2x2dx2 x2x2x2a2dx ln|x2

xa2eaxcosbxdx a2esinbxdx a222Swsinwxdx S'3wsinwxdxaaaa

f(x)dx

0[f(x)f(x)]dx

af(x)dx(如果f(x)为偶函数acoskxdxsinkxdx

(sinkx)2dx

设klN且klcoskxsinlxdxcoskxcoslxdxsinkxsinlxdx

f(x)dx

f(x)dx 2f2 f(x)dxeu2du eaxdx1(a

feptsinwtdt0

p2

(p0,weptcoswtdt (p0,w0)0sinxdx

p2

02f(sinxdx2f(cosx 特别的

02(sinx)ndx

2(cosx)n

f(sinx)dx

2f(sinx)dx

2f(cosx)0 特别的

(sinx)ndx

2(sinx)ndx

2(cosx)n(cosxndx n为奇数 22(cosx)n0

（n为偶数2(sinxndx n为奇数 42(sinx)n0

（n为偶数2(cosxndx n为奇数 42(cosx)n0

（n为偶数 2(sinx)ndx 2(cosx)n 2(sinx)ndx

n1n3n

n为正奇数 n2n n1n3n5.........1 n2n

n为正偶数xf(sinx)dx 2

f(sinxlimn!n limxlnxlimxxlimannf(x)

若f'(a0，只能得到结论：f(x)在a点严格增加。即x(aa)有f(xfx(aa)有f(x)

设f(x)=|x-a|g(x),其中g(x)在x=a处连续，则f(x)在x=a处可导显然为12 设f(x)在处n阶可导，且f )f )f )LLf(n1)(x 0f(n)(x) (20

n2k且f(n)(x000n2k且f(n)(x000

00 若fxfxLLf(n1)x0，f(nx00 则x0,fx0))设An1f(An),An 若f(x)在区间I上单调递

A2

注意：若f(x)在区间I题目中如果出现f''(x0f'(x)ln(x1x2 (x0nmxmo(xn0nmo(xmo(xno(xn当0nm 当mn0xmo(xno(xmno(xm)o(xn)o(xmn LL) (其中有无穷多个n kn (其中nk1,2,

1n2n

LL n!n! arctanxarctan1 ,0t

t21求A(ba|xb|dx1a 结论：当b 2 (b) (aa ba(xb

10lnxdx11xm(1x)ndx1xn(1 作用：1x(1x)9dx1x9(1

则af(x)dxaf(abbf(x)dx1b[f(x)f(ab 2 f(x)dx f(b bf(x)dx1b[f(x)f(b 2f(x)dx

f(1)dx1[f(x) 2f2

f( f(x)f'(x)dx

f(sinx)f(sinx)dx2f(sinx)dx bxf(sinx)dxnbf(sin n为偶 若f(x)bxf(sinx)dxnbf(sin bxf(cosx)dx bf(cos

f(cosLL

Lf(x,y)ds2Lf(x,a22Lf(x,ya22 I

解：I=(xyx2dsxydsx2ds02L 222a2cos2ad2 I (xy3)ds,L为x2y2L 解：I (xy3 y3ds=0+0= Lx0的半个区域，则：

LP(x,y)dx2LP(x,2LP(x,y)dx2

R2x2,方向为从左到解:I xy(ydxxdy) x2ydy0 ILx2ydy,其中L为双纽线的右半支：(x2+y2)2=a2(x2-y2),x0的逆时针方向 由于图像关于x轴对称，则I0

LP(x,y)dy0(上面讲到的就是用的这个结论LP(x,y)dy2L1P(x,例 I

例 I dxdy,其中ABCD是A(1,0)B(0,1)C(-1,0)D(0,-1)ABCD|x||y解：I ABCD|x||y ABCD|x||y |x||y2设分片光滑的曲面关于yoz平面对称，f(x,y,z)在上连续，是中x02,

f(x,y,z)dsf(x,y,z)ds=2f(x,y, 2例 I(xyz)ds,其中为球面x2y2z2a2上z（0<ha）的部关于yozxoz面对称，故Izdsa(a2h2例 I(xyyzzx)ds,其中为z

x2y2被柱面x2y22ax关于xoz面对称，故Izxds642 2设分片光滑的曲面关于yoz面对称，函数p(xyz)在上连续，是中x02

f(x,y,z)dydzf(x,y,z)dydz=2f(x,y, 2例 I xyzdxdy,其中是球面x2y2z21的外侧在x0,y25解关于xoy面对称，故I xyzdxdy2xyzdxdy25 2例 I=x2dydzy2dzdxz2dxdy,其中曲线弧段z=y2(x0,1z解：显然曲面关于yozzox面对称，故Iz2dxdy, f(x,y)dxdyf(y, 例 I(3x2y)dxdy,其中D为xy2与两坐标轴围D,I(3x2y)dxdy=(3y2x)dxdy5(xy)dxdy5xdxdy 2 例 I x2y2

(y2x2 x2y2

(y2x2)dxdy x2y2

(x2y2dxdyI,故I f(x,y,z)dvf(y,x, 求(xyz)dv,为x0,y0,z0,x2y2z2 (xyz)dv3zdv3 求I(zx2y2)dv,为zx2y2和zhh0）围成的区I(zx2y2)dv(zy2x2)dv12zdv 2 f(x,y)ds f(y, 例 I x3ds,L为星形线x3y3aL解：显然L对x,y22 223y333I 1(x 13y333 2 例 求(x2z)ds,F是圆周x2y2z2R2,xyzF解：F关于x,y,zx2ds=y2ds= xds=yds=1 1

1

故(xz)ds (xyz)ds (xyz)ds ds 轮换对称性，f(x,y)在L上连续，则： f(x,y)dsf(y, 或者f(xy)ds+fyx)ds I ydxxdy,L为xyR上A(R,0)到B(0,R)的一段L解：L对坐标xy具有轮换对称性，故ydxL I y3dxy3dx,L为双纽线(x2y2)22a2xy位于第一象限部L 解：L关于xy具有轮换对称性，则y3dxx3Lf(x,y,z)dsf(y,x, 例 I(x21y21z2)ds,:x2y2z2 解：x2dsy2ds I(x21y21z2)ds(111) 4(111)1(x2y2z2)ds7 43 例 I(axbycz)ds,:x2y2z2R2位于第一挂限部解：xdsyds I(abc)zds1R3(ab f(x,y,z)dydzf(y,x, x2例 I(yz)dydz(zx)dzdx(xy)dxdy,x2(0zh),(y (x (xy)dxdy(yx)dydx 所以I例 Ixydydzyzdzdxzxdxdy,为平面xyz1位于第一挂限的外,xydydzzydydx I3xydydz

f(x)

f则： 使得f'()f(x|x|在x0f(x)f(x)

xx 应用：设f(0)0,则f(x)在x0

f(1ehhlimf(hsinh)存 (D)limf(2h)f(h)存 若 ', '且lim

若 ', '且lim 设f(x)为()上的连续，函数F(x)为f(x)f(x)为奇函数f(x)任意原函数F(xxf(x)为偶函数f(x)的原函数只有一个是奇函数,即为0ff(x)任意原函数F(x)为周期函数f(x)Tf(x)以T为周期的函数且0f(x)dx0f(x)任意原函数F(x)以T若lima 则lima1a2Lann 若limaa且an

则limna1a2Lan若limana且a 则 a a

但要注意：若 a且a0，不能推出liman 反例：an2(n为偶数3(n为奇数

n

必在函数yx上不一定都在函数yx上例如：yx2,阶乘不等式在极限证n

nn!e(( 应用：证明limn!nn证明:n!e2)

,n

li n证明liman0(a为任意实数na0,0|an|| e

|a|e|() n |a|e0,(|a|e)n 根据准则

an

limnn1设p2且p为实常数，则nnp()yf(x)满足f(a)f在区间(a,b)内至少存在一点使得f'(yf(x)在区间(a,b)内可导

f(x)

f在区间(a,b)内至少存在一点使得f'(yf(x)满足在区间(a,b)内至少存在一点使得f'(f(x)及F(x)满足

f(b)fb在区间(a,b)内至少存在一点f(bf(a)F(b)F

f'(1.f(x)存在原函数，但其不一定可积，例如f(x)1x(0,xf(x)在[ab]上可积，但f(x) P(x是既约真分式，Q(x)在复数范围内可以分解为(xa)n(xa)nL(xa)n,

b b L ]

] (xa (xa)n1 (xa (xa (xa)n2 (xa

]

(xa (xa)ni (xa (xa (xa)nr (xa 其中bj(i12,Lr;j1,2,Ln

f(j1)(a 设fi(x(xa)n(xa)nL(xa)n(xa)n

,且bii

(j (x1)(x

解：令f(x) ,则f(1) (x f(x)

,则

'(1)3,

(1)2 = (x1)(x 4x (x x 2xx(x1)(x

解：f(x) 2x ,f(0) (x1)(x f(x)2x7 x(x

f(1) f(x)2x7 f(3) x(x 2x =7 x(x1)(x 4(x 12(x9x324x2 (x1)(x9x324x2解：f1(x)

(x9x324x2

,f1(1)

ff2(x)

,f2(2)24,f2'(2)12, (x f2'''(2)9x324x248x

(x1)(x (x (x (x )) a 2xln(1ex

ff(x)f 1