上海市四中2022-2023学年数学高二第二学期期末教学质量检测试题含解析

2022-2023高二下数学模拟试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于，两点，若，则的面积为()A． B． C． D．2．如图，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，已知小正方形的外接圆恰好是大正方形的内切圆，现在大正方形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（）A． B． C． D．3．若函数的图象的顶点在第一象限，则函数的图像是（）A． B．C． D．4．已知f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数，若f(1)<1，f(5)＝，则实数a的取值范围为()A．(－1,4) B．(－2,0) C．(－1,0) D．(－1,2)5．已知命题在上递减；命题，且是的充分不必要条件，则m的取值范围为（）A． B． C． D．6．函数f(x)=3A． B． C． D．7．已知命题p：“∀x∈[1,e]，a>lnx”，命题q：“∃x∈R，x2-4x+a=0””若“A．(1,4] B．(0,1] C．[-1,1] D．(4,+∞)8．已知函数，如果，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．9．设函数，若a=),，则（）A． B． C． D．10．二维空间中圆的一维测度（周长），二维测度（面积），观察发现；三维空间中球的二维测度（表面积），三维测度（体积），观察发现.则由四维空间中“超球”的三维测度，猜想其四维测度（）A． B． C． D．11．下面是利用数学归纳法证明不等式（，且的部分过程：“……，假设当时，＋＋…＋，故当时，有，因为，故＋＋…＋，……”，则横线处应该填（）A．＋＋…＋+＜，B．＋＋…＋，C．2＋＋…＋+，D．2＋＋…＋，12．已知函数，则的解集为（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．在区间[]上随机取一个实数，则事件“”发生的概率为____．14．已知数列的前项和为，，且满足，若，，则的最小值为__________．15．已知满足约束条件则的最小值为______________.16．已知函数，若，则的值是_____.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）设抛物线Γ的方程为y2＝4x，点P的坐标为（1，1）．（1）过点P，斜率为﹣1的直线l交抛物线Γ于U，V两点，求线段UV的长；（2）设Q是抛物线Γ上的动点，R是线段PQ上的一点，满足2，求动点R的轨迹方程；（3）设AB，CD是抛物线Γ的两条经过点P的动弦，满足AB⊥CD．点M，N分别是弦AB与CD的中点，是否存在一个定点T，使得M，N，T三点总是共线？若存在，求出点T的坐标；若不存在，说明理由．18．（12分）命题：函数的两个零点分别在区间和上；命题：函数有极值.若命题，为真命题的实数的取值集合分别记为，.（1）求集合，；（2）若命题“且”为假命题，求实数的取值范围.19．（12分）从6名男生和4名女生中任选4人参加比赛，设被选中女生的人数为随机变量，求：(1)的分布列；(2)所选女生不少于2人的概率.20．（12分）2018年6月14日，第二十一届世界杯足球赛将在俄罗斯拉开帷幕.为了了解喜爱足球运动是否与性别有关，某体育台随机抽取100名观众进行统计，得到如下列联表.（1）将列联表补充完整，并判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为喜爱足球运动与性别有关？（2）在不喜爱足球运动的观众中，按性别分别用分层抽样的方式抽取6人，再从这6人中随机抽取2人参加一台访谈节目，求这2人至少有一位男性的概率.21．（12分）树立和践行“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环.据此，某网站推出了关于生态文明建设进展情况的调查，大量的统计数据表明，参与调查者中关注此问题的约占80%.现从参与调查的人群中随机选出人，并将这人按年龄分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示(1)求的值(2)现在要从年龄较小的第1,2,3组中用分层抽样的方法抽取人，再从这人中随机抽取人进行问卷调查，求在第1组已被抽到人的前提下，第3组被抽到人的概率；（3）若从所有参与调查的人中任意选出人，记关注“生态文明”的人数为，求的分布列与期望.22．（10分）某小组共有10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动1次的有2人、2次的有4人、3次的有4人.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.（I）设为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件发生的概率；（II）设为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量的分布列和数学期望.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】

设直线的方程为，与抛物线联立，设，由，所以，结合韦达定理可得，，由可得解.【详解】因为抛物线的焦点为所以，设直线的方程为，将代入，可得，设，则，，因为，所以，所以，，所以，即，所以，所以的面积，故选C．【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，考查了设而不求的思想，由转化为是解题的关键，属于基础题.2、B【解析】分析：设大正方形的边长为1，其内切圆的直径为1，则小正方形的边长为，从而阴影部分的面积为，由此利用几何概型能求出在大正方形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率.详解：设大正方形的边长为1，其内切圆的直径为1，则小正方形的边长为，所以大正方形的面积为1，圆的面积为，小正方形的面积为，则阴影部分的面积为，所以在大正方形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率.点睛：本题主要考查了面积比的几何概型及其概率的计算问题，其中根据题意，准确求解阴影部分的面积是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，以及函数与方程思想的应用，属于基础题.3、A【解析】

求导，根据导函数的性质解题。【详解】，斜率为正，排除BD选项。的图象的顶点在第一象限其对称轴大于0即b<0,选A【点睛】本题考查根据已知信息选导函数的大致图像。属于简单题。4、A【解析】

根据函数的奇偶性和周期性将条件进行转化，利用不等式的解法即可得到结论．【详解】∵f（x）是定义在R上的以3为周期的偶函数，∴f（5）=f（5﹣6）=f（﹣1）=f（1），∴由f（1）＜1，f（5）=，得f（5）=＜1，即﹣1＜0，＜0，即（a﹣4）（a+1）＜0，解得：﹣1＜a＜4，故选：A．【点睛】本题主要考查不等式的解法，利用函数的奇偶性和周期性进行转化是解决本题的关键．5、A【解析】

由题意可得当时不成立，当时，满足求出的范围，从而求出，再求出，根据是的充分不必要条件，即可求解.【详解】由命题在上递减，当时，，不满足题意，当时，则，所以：，由命题，则：，由因为是的充分不必要条件，所以.故选：A【点睛】本题考查了由充分不必要条件求参数的取值范围以及考查了二次函数的图像与性质，同时考查了学生的逻辑推理能力，属于中档题.6、B【解析】

取特殊值排除得到答案.【详解】f(x)=3x+1故答案选B【点睛】本题考查了函数图像的判断，特殊值可以简化运算.7、A【解析】

通过判断命题p和q的真假，从而求得参数的取值范围.【详解】解：若命题p：“∀∈[1,e]，a>ln则a>ln若命题q：“∃x∈R，x2则Δ=16-4a≥0，解得a≤4，若命题“p∧q”为真命题，则p，q都是真命题，则a>1a≤4解得：1<a≤4．故实数a的取值范围为(1,4]．故选A．【点睛】本题主要考查复合命题与简单命题之间的关系，利用条件先求出命题p，q的等价条件是解决本题的关键．8、A【解析】

由函数，求得函数的单调性和奇偶性，把不等式，转化为，即可求解．【详解】由函数，可得，所以函数为单调递增函数，又由，所以函数为奇函数，因为，即，所以，解得，故选A．【点睛】本题主要考查了函数的单调性与奇偶性的应用，其中解答中熟练应用函数的单调性与函数的奇偶性，合理转化不等式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．9、D【解析】

把化成,利用对数函数的性质可得再利用指数函数的性质得到最后根据的单调性可得的大小关系.【详解】因为且,故,又在上为增函数,所以即.故选:.【点睛】本题考查对数的大小比较,可通过寻找合适的单调函数来构建大小关系,如果底数不统一,可以利用对数的运算性质统一底数,不同类型的数比较大小,应找一个中间数,通过它实现大小关系的传递,难度较易.10、A【解析】

因为，，由此类比可得，，从而可得到结果.【详解】因为二维空间中圆的一维测度（周长），二维测度（面积），观察发现；三维空间中球的二维测度（表面积），三维测度（体积），观察发现.所以由四维空间中“超球”的三维测度，猜想其四为测度W，应满足，又因为，所以，故选A.【点睛】本题主要考查类比推理以及导数的计算.11、A【解析】

由归纳假设，推得的结论，结合放缩法，便可以得出结论．【详解】假设当时，＋＋…＋，故当时，＋＋…＋+＜，因为，＋＋…＋，故选A．【点睛】本题主要考查数学归纳法的步骤，以及放缩法的运用，意在考查学生的逻辑推理能力．12、C【解析】

根据分段函数的表达式，讨论当和时，不等式的解，从而得到答案。【详解】因为，由，得：①或②；解①得;；解②得：；所以的解集为；故答案选C【点睛】本题考查指数不等式与对数不等式的解法，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题。二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

由，得﹣2≤x≤0，由此利用几何概型概率计算公式能求出事件“”发生的概率．∵，∴﹣2≤x≤0，∵在区间[﹣3，5]上随机取一个实数x，∴由几何概型概率计算公式得：事件“”发生的概率为p==．故答案为：．【点睛】本题考查了几何概型概率的求法；在利用几何概型的概率公式来求其概率时，几何“测度”可以是长度、面积、体积、角度等，其中对于几何度量为长度，面积、体积时的等可能性主要体现在点落在区域Ω上任置都是等可能的，而对于角度而言，则是过角的顶点的一条射线落在Ω的区域（事实也是角）任一位置是等可能的．14、-14【解析】分析：由，即利用等差数列的通项公式可得：当且仅当时，．即可得出结论．详解：由由，即．

∴数列为等差数列，首项为-5，公差为1．可得：，

当且仅当时，．

已知，

则最小值为即答案为-14.点睛：本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式与求和公式、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15、8【解析】

由题意画出可行域，利用图像求出最优解，再将最优解的坐标代入目标函数即可求出的最小值.【详解】由题意画出约束条件的可行域如图所示，由图像知，当过点时，取得最小值，联立，解得，代入目标函数，.故答案为：8【点睛】本题主要考查简单的线性规划问题，考查学生数形结合的思想，属于基础题.16、【解析】

当时，，求出；当时，无解.从而，由此能求出结果.【详解】解：由时，是减函数可知，当，则，所以，由得，解得，则.故答案为：.【点睛】本题考查函数值的求法，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）4（2）（3y﹣1）2＝8（3x﹣1）（3）存在，T（3，0）【解析】

（1）根据条件可知直线l方程为x+y﹣2＝0，联立直线与抛物线，根据弦长公式可得结果；（2）设R（x0，y0），Q（x，y），根据2可得x，y，将其代入抛物线方程即可得到结果；（3）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），设AB的方程为y＝k（x﹣1）+1，联立，根据韦达定理和中点公式可得点的坐标，同理可得的坐标，由斜率公式得的斜率，由点斜式可得的方程，根据方程可得结果.【详解】（1）根据条件可知直线l方程为y＝﹣（x﹣1）+1，即x+y﹣2＝0，联立，整理得x2﹣8x+4＝0，则xU+xV＝8，xUxV＝4，所以线段UV•|xU﹣xV|•4；（2）设R（x0，y0），Q（x，y），则（x0﹣1，y0﹣1），（x﹣x0，y﹣y0），根据2，则有2（x﹣x0）＝x0﹣1，2（y﹣y0）＝y0﹣1，所以x，y，因为点Q在抛物线Γ上，所以（）2＝4•，整理得（3y0﹣1）2＝8（3x0﹣1），即点R的运动轨迹方程为（3y﹣1）2＝8（3x﹣1）；（3）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），根据题意直线AB，CD的斜率存在且不为0，不妨设AB的方程为y＝k（x﹣1）+1，联立，整理得k2x2﹣2（k2﹣k+2）x+（1﹣k）2＝0，则x1+x2，所以可得M（，），同理可得N（1+k+2k2，﹣k），则kMN所以直线MN的方程为y[x﹣（1+k+2k2）]﹣k（x﹣3），即直线MN过点（3，0），故存在一个定点T（3，0），使得M，N，T三点总是共线．【点睛】本题考查了直线与抛物线的交点问题，考查了弦长公式，考查了字母运算能力，考查了代入法求动点的轨迹方程，考查了斜率公式，考查了直线方程的点斜式，考查了直线过定点问题，属于较难题.18、（1），或；（2）或【解析】

（1）通过函数的零点，求解的范围；利用函数的极值求出的范围，即可．（2）利用复合函数的真假推出两个命题的真假关系，然后求解即可．【详解】（1）命题：函数的两个零点分别在区间和上；可得：，解得命题：函数有极值，由2个不相等的实数根，所以，可得或．命题，为真命题的实数的取值集合分别记为，．所以集合，或；（2）命题“且”为假命题，可知两个命题至少1个是假命题，当“且”为真命题时，实数的取值范围为集合，“且”为假命题时，实数的取值范围为或．【点睛】本题考查命题的真假的判断与应用，函数的零点以及函数的导数的应用，考查计算能力．19、（1）见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）依题意，ξ的可能取值为0，1，2，3，4，ξ股从超几何分布，，由此能求出ξ的分布列．

（2）所选女生不少于2人的概率为，由此能求出结果．试题解析：(1)依题意，的取值为0，1，2，3，4.服从超几何分布，，.，，，，.故的分布列为：01234(2)方法1：所选女生不少于2人的概率为：.方法2：所选女生不少于2人的概率为：.20、(1)答案见解析；(2).【解析】分析：读懂题意，补充列联表，代入公式求出的值，对照表格，得出结论；（2）根据古典概型的特点，采用列举法求出概率。详解：（1）补充列联表如下：由列联表知故可以在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为喜爱足球运动与性别有关.