2023年黑龙江省双城市兆麟中学数学高二第二学期期末达标检测模拟试题含解析

2022-2023高二下数学模拟试卷考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．二维空间中圆的一维测度（周长），二维测度（面积），观察发现；三维空间中球的二维测度（表面积），三维测度（体积），观察发现.则由四维空间中“超球”的三维测度，猜想其四维测度（）A． B． C． D．2．若函数在定义域内单调，则的取值范围是（）A． B． C． D．3．已知函数，若是函数的唯一极值点，则实数k的取值范围是（）A． B． C． D．4．对于复数，给出下列三个运算式子：（1），（2），（3）.其中正确的个数是（）A． B． C． D．5．古印度“汉诺塔问题”：一块黄铜平板上装着A,B,C三根金铜石细柱，其中细柱A上套着个大小不等的环形金盘，大的在下、小的在上.将这些盘子全部转移到另一根柱子上，移动规则如下：一次只能将一个金盘从一根柱子转移到另外一根柱子上，不允许将较大盘子放在较小盘子上面.若A柱上现有3个金盘（如图），将A柱上的金盘全部移到B柱上，至少需要移动次数为（）A．5 B．7 C．9 D．116．设f（x）＝＋x﹣4，则函数f（x）的零点位于区间（）A．（﹣1，0） B．（0，1） C．（1，2） D．（2，3）7．对变量x,y有观测数据(xi,yiA．变量x与y正相关，u与v正相关B．变量x与y正相关，u与v负相关C．变量x与y负相关，u与v正相关D．变量x与y负相关，u与v负相关8．设为虚数单位，若复数满足，则复数（）A． B． C． D．9．已知集合，，则（）A． B． C． D．10．下列四个命题中，真命题的个数是（）①命题：“已知，“”是“”的充分不必要条件”；②命题：“p且q为真”是“p或q为真”的必要不充分条件；③命题：已知幂函数的图象经过点（2，），则f（4）的值等于；④命题：若，则．A．1 B．2 C．3 D．411．在△ABC中，，，，则角B的大小为（）A． B． C． D．或12．在正方体中，过对角线的一个平面交于，交于得四边形，则下列结论正确的是（）A．四边形一定为菱形B．四边形在底面内的投影不一定是正方形C．四边形所在平面不可能垂直于平面D．四边形不可能为梯形二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知是虚数单位，则复数的实部为______.14．已知函数f(x)=kx3+3(k-1)x2-k2+1(k>0)在（0,4）上是减函数，则实数k的取值范围是____________15．从边长为10cm×16cm的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形，作成一个无盖的盒子，则盒子容积的最大值为______cm1．16．已知直线l的普通方程为x+y+1=0，点P是曲线上的任意一点，则点P到直线l的距离的最大值为______．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在中，，，的对边分别为，，，若，（1）求的大小；（2）若，，求，的值.18．（12分）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点也为抛物线：的焦点．（1）若，为椭圆上两点，且线段的中点为，求直线的斜率；（2）若过椭圆的右焦点作两条互相垂直的直线分别交椭圆于，和，，设线段，的长分别为，，证明是定值．19．（12分）已知直线的参数方程：（为参数），曲线的参数方程：（为参数），且直线交曲线于，两点．（1）将曲线的参数方程化为普通方程，并求时，的长度；（2）已知点，求当直线倾斜角变化时，的范围．20．（12分）已知函数（1）当时，求函数的单调区间；（2）若函数的值域为，求a的取值范围．21．（12分）已知数列的前项和为，且．（1）求数列的通项公式；（2）若数列的前项和为，证明：．22．（10分）如图，在正四棱锥中，为底面的中心，已知，点为棱上一点，以为基底，建立如图所示的空间直角坐标系．（1）若为的中点，求直线与平面所成角的正弦值；（2）设二面角的平面角为，且，试判断点的位置．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】

因为，，由此类比可得，，从而可得到结果.【详解】因为二维空间中圆的一维测度（周长），二维测度（面积），观察发现；三维空间中球的二维测度（表面积），三维测度（体积），观察发现.所以由四维空间中“超球”的三维测度，猜想其四为测度W，应满足，又因为，所以，故选A.【点睛】本题主要考查类比推理以及导数的计算.2、A【解析】

采用等价转化的思想，可得在恒成立，然后分离参数，对新函数的值域与比较，可得结果.【详解】，依题意可得：函数在定义域内只能单调递增，恒成立，即恒成立，，，故选：A【点睛】本题考查根据函数单调性求参数范围，熟练使用等价转化以及分离参数的方法，属基础题.3、A【解析】

由的导函数形式可以看出，需要对k进行分类讨论来确定导函数为0时的根．【详解】解：∵函数的定义域是∴，∵是函数的唯一一个极值点∴是导函数的唯一根，∴在无变号零点，即在上无变号零点，令，因为，所以在上单调递减，在上单调递增所以的最小值为，所以必须，故选：A．【点睛】本题考查由函数的导函数确定极值问题．对参数需要进行讨论．4、D【解析】分析：根据复数的几何意义可得（1）正确；根据复数模的公式计算可得到（2）正确；根据复数乘法运算法则可判断（3）正确，从而可得结果.详解：根据复数的几何意义，由三角形两边之和大于第三边可得，（1）正确；设，则，，（2）正确；根据复数乘法的运算法则可知，（3）正确，即正确命题的个数是，故选D.点睛：本题主要考查复数模的公式、复数的几何意义、复数乘法的运算法则，意在考查基础知识掌握的熟练程度，以及综合运用所学知识解决问题的能力，属于难题.5、B【解析】

设细柱A上套着n个大小不等的环形金盘，至少需要移动次数记为an，则a【详解】设细柱A上套着n个大小不等的环形金盘，至少需要移动次数记为an要把最下面的第n个金盘移到另一个柱子上，则必须把上面的n-1个金盘移到余下的一个柱子上，故至少需要移动an-1把第n个金盘移到另一个柱子上后，再把n-1个金盘移到该柱子上，故又至少移动an-1次，所以aa1=1，故a2【点睛】本题考查数列的应用，要求根据问题情境构建数列的递推关系，从而解决与数列有关的数学问题.6、C【解析】

根据零点的判定定理，结合单调性直接将选项的端点代入解析式判正负即可．【详解】∵f（x）＝2x+x﹣4中，y＝2x单增，y=x-4也是增函数，∴f（x）＝2x+x﹣4是增函数，又f（1）＝﹣1＜0，f（2）＝2＞0，故选C．【点睛】本题考查了函数零点存在定理的应用，考查了函数单调性的判断，属于基础题．7、C【解析】试题分析：由散点图1可知，点从左上方到右下方分布，故变量x与y负相关；由散点图2可知，点从左下方到右上方分布，故变量u与v正相关，故选C考点：本题考查了散点图的运用点评：熟练运用随机变量的正负相关的概念是解决此类问题的关键，属基础题8、D【解析】

先由题意得到，，根据复数的除法运算法则，即可得出结果.【详解】因为，所以.故选：D【点睛】本题主要考查复数的运算，熟记除法运算法则即可，属于基础题型.9、B【解析】

先求出集合A，B，由此能求出A∩B．【详解】因为所以.故选：B【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．10、C【解析】

命题①单位圆x2+y2＝1上或圆外任取一点P（a，b），满足“a2+b2≥1”，根据三角形两边之和大于第三边，一定有“|a|+|b|≥1”，在单位圆内任取一点M（a，b），满足“|a|+|b|≥1”，但不满足“a2+b2≥1”，从而判断命题的真假性；命题②先由“p且q为真”推出p、q的真假，然后判断“p或q”的真假，反之再加以判断；命题③直接把点的坐标代入幂函数求出α，然后把x＝4代入求值即可；命题④构造函数f（x）＝x﹣1+lnx，其中x＞0，利用导数判断函数的单调性，从而判断命题的真假性；【详解】命题①如图在单位圆x2+y2＝1上或圆外任取一点P（a，b），满足“a2+b2≥1”，根据三角形两边之和大于第三边，一定有“|a|+|b|≥1”，在单位圆内任取一点M（a，b），满足“|a|+|b|≥1”，但不满足，“a2+b2≥1”，故a2+b2≥1是“|a|+|b|≥1”的充分不必要条件，故命题①正确；命题②“p且q为真”，则命题p、q均为真，所以“p或q为真”．反之“p或q为真”，则p、q都为真或p、q一真一假，所以不一定有“p且q为真”.所以命题“p且q为真”是“p或q为真”的充分不必要条件，故命题②不正确；命题③由幂函数f（x）＝xα的图象经过点（2，），所以2α＝，所以α＝﹣，所以幂函数为f（x）＝，所以f（4）＝，所以命题③正确；命题④若x+lnx＞1，则x﹣1+lnx＞0，设f（x）＝x﹣1+lnx，其中x＞0，∴＞0恒成立，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，且f（1）＝0，∴f（x）＞0时x＞1，即x+lnx＞1时x＞1，所以命题④正确.故选：C【点睛】本题考查命题的真假判断，充分不必要条件，幂函数，构造函数，利用导数判断函数的单调性，考查学生的计算能力，知识综合性强，属于中档题．11、A【解析】

首先根据三角形内角和为，即可算出角的正弦、余弦值，再根据正弦定理即可算出角B【详解】在△ABC中有,所以,所以,又因为,所以，所以,因为，，所以由正弦定理得，因为,所以。所以选择A【点睛】本题主要考查了解三角形的问题，在解决此类问题时常用到：1、三角形的内角和为。2、正弦定理。3、余弦定理等。属于中等题。12、D【解析】对于A，当与两条棱上的交点都是中点时，四边形为菱形，故A错误；对于B,四边形在底面内的投影一定是正方形,故B错误；对于C,当两条棱上的交点是中点时，四边形垂直于平面,故C错误；对于D，四边形一定为平行四边形，故D正确.故选：D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】，

复数的实部为1．

故答案为：1．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，属于容易题．14、.【解析】分析：先求导，再根据导函数零点分布确定不等式，解不等式得结果.详解：因为，所以因为函数f(x)=kx3+3(k-1)x2-k2+1(k>0)在（0,4）上是减函数，所以点睛：函数单调性问题，往往转化为导函数符号是否变号或怎样变号问题，即转化为方程或不等式解的问题（有解，恒成立，无解等），而不等式有解或恒成立问题，又可通过适当的变量分离转化为对应函数最值问题.15、144【解析】

设小正方形的边长为xcm，【详解】设小正方形的边长为xcm则盒子的容积V=V当0<x<2时，V'>0，当2<x<5∴x=2时，V取得极大值，也是最大值，V=故答案为144【点睛】本题主要考查了导数在解决实际问题中的应用，考查了学生的阅读理解能力和利用数学知识解决问题的能力，属于基础题目．16、【解析】

根据曲线的参数方程，设，再由点到直线的距离以及三角函数的性质，即可求解．【详解】由题意，设，则到直线的距离，故答案为．【点睛】本题主要考查了曲线的参数方程的应用，其中解答中根据曲线的参数方程设出点的坐标，利用点到直线的距离公式和三角函数的性质求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2），或，.【解析】分析：（1）利用正弦定理把化成，即为，从而解得.（2）利用余弦定理及构建关于的方程，解出.详解：（1）由已知得，∴.∵，∴.∵，所以，∴，所以（2）∵，即，∴∴，又∵，∴，或，点睛：三角形中共有七个几何量（三边三角以及外接圆的半径），一般地，知道其中的三个量（除三个角外），可以求得其余的四个量.（1）如果知道三边或两边及其夹角，用余弦定理；（2）如果知道两边即一边所对的角，用正弦定理（也可以用余弦定理求第三条边）；（3）如果知道两角及一边，用正弦定理.18、（1）（2）解:因为抛物线的焦点为,所以,故.所以椭圆.(1)设,则两式相减得，又的中点为,所以.所以.显然,点在椭圆内部,所以直线的斜率为.(2)椭圆右焦点.当直线的斜率不存在或者为时,.当直线的斜率存在且不为时,设直线的方程为，设,联立方程得消去并化简得，因为，所以，.所以同理可得.所以为定值.【解析】分析：（1）先利用抛物线的焦点是椭圆的焦点求出，进而确定椭圆的标准方程，再利用点差法求直线的斜率；（2）设出直线的方程，联立直线和椭圆的方程，得到关于的一元二次方程，利用根与系数的关系进行求解.详解：因为抛物线的焦点为，所以，故.所以椭圆.（1）设，，则两式相减得，又的中点为，所以，.所以.显然，点在椭圆内部，所以直线的斜率为.（2）椭圆右焦点.当直线的斜率不存在或者为时，.当直线的斜率存在且不为时，设直线的方程为，设，，联立方程得消去并化简得，因为，所以，.所以，同理可得.所以为定值.点睛：在处理直线与椭圆相交的中点弦问题，往往利用点差法进行求解，比联立方程的运算量小，另设直线方程时，要注意该直线的斜率不存在的特殊情况，以免漏解.19、(1)(2)【解析】分析：（1）联立直线和椭圆方程得到，∴，由点点距离公式得到AB的长度；（2）联立直线和椭圆得到t的二次方程，根据韦达定理得到，进而得到范围.详解：（1）曲线的参数方程：（为参数），曲线的普通方程为．当时，直线的方程为，代入，可得，∴.∴；（2）直线参数方程代入，得．设对应的参数为，∴．点睛：这个题目考查了参数方程化为普通方程的方法，极坐标化为直角坐标的方法，以及极坐标中极径的几何意义，极径代表的是曲线上的点到极点的距离，在参数方程和极坐标方程中，能表示距离的量一个是极径，一个是t的几何意义，其中极径多数用于过极点的曲线，而t的应用更广泛一些.20、（1）增区间是，单调减区间是；（2）或【解析】

（1）利用导数求出的单调区间以及，时的范围，即可得到函数的单调区间；（2）先利用有解求出的大致范围，再证明在该范围内即可。【详解】（1）当，，所以，由于，可得．当时，，是减函数；当时，，是增函数；因为当时，；当时，所以函数的单调增区间是，单调减区间是（2）由题意知必有解，即有解，所以，即直线与曲线有交点．则，令得和；令得和．所以和，为增函数；和，为减函数．，当时，恒成立；所以时，；当时，，所以时，；，即时，，的图像如图所示．直线与曲线有交点，即或，所以或，下证，先证，设，则，当时，，函数h（x）单调递减，当时，，函数单调递增，所以，即；当时，若，因为在时的值域是，又因为函数连续，所以：；当时，若，，当时，，时；所以时，又因为