苏教版-必修五-第二章 数列-2.3 等比数列 公开课比赛一等奖

《等比数列的前n项和》教学设计一、教学目标会用等比数列求和公式进行求和，灵活应用公式与性质解决一些相关问题；培养学生的综合能力，提高学生的数学修养.二、教学重难点重点：1.等比数列的前n项和公式.2.等比数列的前n项和公式的推导.难点：灵活应用公式解决有关问题.三、教学过程（一）复习回顾前面我们一起学习有关等比数列的定义、通项公式及性质.(1)定义式：eq\f(an,an－1)＝q(n≥2，q≠0)(2)通项公式：an＝a1qn－1(a1，q≠0)(3)性质：①a，G，b成等比数列G2＝ab②在等比数列{an}中，若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq（二）讲授新课前面我们一起探讨了等差数列的求和问题，等比数列的前n项和如何求?下面我们先来看引言.引言中提到的问题是这样的：求数列1，2，4，…，263的各项和.可看出，这一数列为一以a1＝1，q＝2的等比数列.这一问题相当于求此数列的前64项的和.1.前n项和公式一般地，设有等比数列a1，a2，a3，…，an，…，它的前n项和是Sn＝a1＋a2＋…＋an.刚才问题即为求：S64＝a1＋a2＋…＋a64＝1＋2＋4＋…＋263 ①我们发现，若在①式两边同乘以2，则得2S64＝2＋4＋…＋263＋264 ②由②－①可得：S64＝264－1同理，可知，若Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an又∵在等比数列中，an＝a1qn－1，∴a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－2＋a1qn－1,qSn＝a1q＋a1q2＋a1q3＋…＋a1qn－1＋a1qn不妨将上两式相减可得(1－q)Sn＝a1－a1qn（1）当q＝1，Sn＝na1（2）当q≠1时，Sn＝eq\f(a1（1－qn）,1－q) ①或Sn＝eq\f(a1－anq,1－q) ②若已知a1，q，n，则选用公式①；当已知a1，q，an时，则选用公式②.2.例题讲解［例1］求等比数列1，2，4，…从第5项到第10项的和.分析：等比数列的第5项到第10项可组成一新等比数列.解法一：由1，2，4，…可知：a1＝1，q＝2∴an＝2n－1，∴a5＝24＝16，a10＝29＝512.从第5项到第10项共有6项，它们的和为：eq\f(16（1－26）,1－2)＝1008.答案：从第5项到第10项的和为1008.解法二：从第5项到第10项的和为：a5＋a6＋a7＋a8＋a9＋a10＝S10－S4由a1＝1，q＝2得Sn＝eq\f(a1（1－qn）,1－q)＝2n－1，∴S10＝210－1＝1023S4＝24－1＝15，S10－S4＝1008.答：从第5项到第10项的和为1008.［例2］一条信息，若一人得知后用一小时将信息传给两个人，这两个人又用一小时各传给未知此信息的另外两人，如此继续下去，一天时间可传遍多少人?分析：得知信息的人数可组成一以1为首项，公比为2的等比数列.解：根据题意可知，获知此信息的人数依次为1，2，4，8，…是一以a1＝1，q＝2的等比数列.一天内获知此信息的总人数为即为此数列的前24项之和S24＝eq\f(1－224,1－2)＝224－1答：一天时间可传遍224－1人.评述：应先将所遇问题数学化，然后用有关知识加以解决.（三）课堂练习课本P54练习1，2，3，4（四）课时小结等比数列求和公式：Sn＝eq\f(a1（1－qn）,1－q)或Sn＝eq\f(a1－an