专题81直线的倾斜角与斜率方程教师版备战2020高考数学新一轮复习提分策略纸间书屋

理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算直线的斜率、直线的方程、两直线的位置关系及距离是高考考查的重点内容，一般不单独命题，而是【素养本讲内容主要考查数算的素养xll的倾斜角斜率

坐标式：P(x，y)，P(x，y)lx≠xl

1

2

xxy－y1 x－x1y2－y＝ 【体验直线x＋3y＋m＝0(m∈R)的倾斜角为( ＝－【解析】由k＝tan ＝－l

l的方程为 ，且斜率为－4

3 或 D．1或

若点A(4,3)，B(5，a)，C(6,5)三点共线，则a的值 【解析】 ＝a－3.由于A，B，C三点共线，所以a－3＝1，即 【考法拓展•题型

2，π 【例1】(1)直线2xcosα－y－3＝0α∈6，3的倾斜角的取值范围是

D.4，3

【解析】(1)2xcosα－y－3＝0k＝2cosα 3≤cos

k＝2cosα∈[1，3]θtanθ∈[1，3]2

θ∈4，3，即倾斜角的取值范围是， 【答案】(－∞，－【解析】如图，因为

＝－3k∈(－∞，－

考法 直线方程的求归纳总结:210(1)直线过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为10(3)直线过点(5,10)5.＝设倾斜角为α，则sin 10＝

cos

3k＝tan

101

1

±10x＋3y＋4＝0

y 4 又直线过点 a＝－4

4x－y＋16＝0x＋3y－9＝0.(3)x－5＝0；由点到直线的距离 ＝5，解得

3x－5＝0 3(1)l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋40＜a＜2l1，l2与两坐标轴围a的值．(2)lP(3,2)x轴、yA，B两点，如图所示，求△ABO的面积的最l的方程．【解析】(1)l1，l2P(2,2)l1y2－al2x

a＋2S＝2×2×(2－a)＋2×2a＋2)＝a－a＋4＝－24a＝2

lkk<0，ly－2＝k(x－3)(k<0)， A所以

112＋－9k＋4——

－9k·4＝1×(12＋12) ＝当且仅当 4，即k＝

故△ABO12，l2x＋3y－12＝0.易错点【典例】(1)过点(5,2)，且在x轴上的截距是在y轴上的截距的2倍的直线方程是 B．2x＋y－12＝02x－5y＝0D．x＋2y－9＝02x－5y＝0(2)如图，已知圆M：(x－1)2＋(y－1)2＝4，直线l过点C(2,3)且与圆M交于A，B两点，且|AB|＝23，则直线l的方程为 【错解】：(1)设直线在y轴上的截距为b，则在x轴上的截距为2b，故可设直线方程为x

(5,2)代入得

＝2(2)r＝2，|AB|＝2M(1,1)l

30，也满足条件，但这时方程不可以用截距式来求；问题(2)中，当斜率不存在时，也有可能满足【正解答案】：(1)D(2)x＝2轴上的截距为b，则在x轴上的截距为2b，故可设直线方程为x (2)r＝2，|AB|＝2M(1,1)l

lxl当直线l不垂直于x轴时，设其方程为y－3＝k(x－2)，即kx－y＋(3－2k)＝0，所 ＝3

lx＝2【误区防范】：求直线方程谨防三种【训练】设直线l的方程为 a＞－1lx轴、yM，N两点，O为坐标原点，则△OMN对应的方程 【答案】(1)x－y＝0或 【解析】(1)la＋2＝0a＝－2，此l的方程为－x＋y＝0x－y＝0la≠－2a≠－1时，由直线在两坐标轴上的截距相等可得a＝2＋aa＝0lx＋y－2＝0.l1－y＝0

1

1[a＋1a1a＝a1a＝

＝1a1

2

1，即a＝0时，等号成立．此时直2

≥a≥

l直线x＋(a2＋1)y＋1＝0的倾斜角的取值范围是

A.

B.4

C.

D.4，2∪4【答案】 1x 1，所以斜率k＝－1 1

— ，所以－1≤tanα<04≤α<π，即倾斜角的取值范围是4，π.a过点P(3，1)，且比直线l：x＋3y－1＝0的倾斜角小30°的直线方程 【答案】3l：x＋3y－1＝0的斜率为－3

k＝－3.P(3，1)y－1＝－3(x－3)，即当k＞0时，两直线kx－y＝0,2x＋ky－2＝0与x轴围成的三角形面积的最大值 【答案】4

2x＋ky－2＝0x轴交于点(1,0)，由

2k2

0,2x＋ky－2＝0与x轴围成的三角形面积为1×1×2k＝11 2 2

2 4kk已知直线x＋2y＝2分别与x轴、y轴相交于A，B两点，若动点P(a，b)段AB上，则ab的最大 1x【解析】直线方程可化为2＋y＝1xA(2,0)yB(0,1)

AB0≤b≤1a＋2b＝2a＝2－2bab＝(2－2b)b＝－2b＋2b＝－2－2 ab取得最大值 1l3x＋3y－1＝0l的倾斜角为)【答案】＝－【解析】由直线l的方程为3x＋3y－1＝0可得直线l的斜率为 3，设直线l的倾斜角为＝－ 2y1＝sin2x12x1∈，2y2＝x2＋3，则(x1－x2) π＋18

的最小值为 A. π＋18

π－33＋15 【答案】z＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2zy1＝sin 2x1∈，2y1′＝2cos2x1.y2＝x2＋31y1′＝2cos2x1＝1

26y1＝0，即函数在6，0y2＝x2＋32

.所以(x1－x2) ＋3 ＋3 2 2

π＋18 .l1，l2，l3k1，k2，k3，则()【答案】l1α1k1＜0l2l3α2α3α2＞α3若k，－1，b三个数成等差数列，则直线y＝kx＋b必经过定点( 【答案】k，－1，bk＋b＝－2b＝－2－ky＝kx－k－2y＋2＝k(x－1)，故直线必过定点(1，－2)．5．(2019·陕西师大附中月考)如果AB＞0，且BC＜0，则直线Ax＋By＋C＝0不经过的象限是( C．第三象 【答案】Ax＋By＋C＝0

设点A(－2,3)，B(3,2)，若直线ax＋y＋2＝0与线段AB没有交点，则a的取值范围是

【答案】【解析】直线ax＋y＋2＝0恒过点M(0，－2)，且斜率为

32

23

l过原点且平分▱ABCDB(1,4)，D(5,0)l 【答案】 lABCDlBD的中点(3,2)

2【答案】

＝－3x【解析】当直线过原点时，直线方程为 y＝1，即x－y＝ ＝－ 若ab>0，且A(a,0)，B(0，b)，C(－2，－2)三点共线，则ab的最小值 【答案】

a＋所以－2(a＋b)＝ab.ab＞0a＜0，b＜0.ab＝－2(a＋b)≥4ab，可得ab≤0(舍去)ab≥4ab≥16a＝b＝－4ab【解析】(1)x，ya.a＝0，

＋y－7＝0.4x－3y＝0＝0【解析】(1)ly＝k(x＋2)＋1kl总过定点

k≥0k的取值范围是(2)mx 2m

m2－2m－3,2m2＋m－10m≠－1.m≠－1.(2)x轴垂直， 所以2

＝2时，直线过原点，在两坐标轴上的截距均 2m－5