第9章直线与圆的方程理科

2.（2013yAlOxxOyA(0,3，直线l:y2x4.设圆C的半径为1，圆心在yAlOx若圆心Cyx1A作圆C若圆CMMA2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围3（2015 A2xy50或2xy5C2xy50或2xy5

B．2xy 0或2xy 5555D．2xy 0或2xy 5555223.解析设所求切线方程为2xyc0，依题意 2255所以所求切线的方程为2xy 0或2xy 0．故选55104两直线位置关系的判定——1（2015 A2xy50或2xy5C2xy50或2xy5

B．2xy 0或2xy 5555D．2xy 0或2xy 555522解析设所求切线方程为2xyc0，依题意 2255所以所求切线的方程为2xy 0或2xy 0．故选55105

201413）已知直线axy20与圆心为C的圆x12ya24A,B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a 2.（2014216）Mx0,1，若在圆Ox2y21N使得OMN45，则x0的取值范围 Px 3.（201416）如图，圆O的半径为1AP是圆MM到直线OPxfPx y

11111 4.（2014福建理6）直线lykx1与圆Ox2y21AB两点，则"k11 A.充分而不必要条 B.必要而不充分条C.充分必要条 D.既不充分又不必要条5（2015 A2xy50或2xy5C2xy50或2xy5

B．2xy 0或2xy 5555D．2xy 0或2xy 555522解析设所求切线方程为2xyc0，依题意 2255所求切线的方程为2xy 0或2xy 0．故选556（2015mxy2m10mR相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程 21212解析解法一（几何意义：动直线mxy2m10整理得mx2y10，21212从而r

，故标准方程为x12y22m2mm2mm22mm22

rd 111 mm

，当且仅当m1时，取1 2mm故标准方程为x11 2mm解法三（代数法判别式

rd

m2m2mm22mm2设t

，则t1

2mt10

2，即d的最大值 27（20152（BA的上方AB2圆C的方程 A任作一条直线与圆Ox2y21M①

；

2；

22 .（写出所有正确结论的序号AB2

2)222（2）在(x1)2(y2

2)22x0

22cos2(sin2cos2(sin222cos2(sin2cos2(sin24222(21)4222(21)2(22(221

22

1，

122

1228（2015 122

66

B. C.

D.6解析由题意得6

321， 273，所以 1 1 4

AB66半径为5，所以外接圆方程为(x1)2(y2)225，令x0，则有y 266

9（2015 20）已知过原点的动直线l与圆C1xy6x50 A，BABM的轨迹C是否存在实数k,使得直线lyk(x4)与曲线Ck的取

x2y26x50得x32y24C的圆心坐标为3011MxyMAB中点，即C1MAB，所以kC11

kAB1即 y1，所以线段AB的中点M的轨迹的方程为x

y2

x

3x3

由（2）M的轨迹是以C3,0r3EF（ 两端点E525F525．又直线l:ykx4D40 3 3 k34 当直线l与圆C相切时，由 3得k k2 k22 2522227

3

33

25又

，所以当k

,

4 3

44 7直线l:ykx4与曲线C10（2015x52y2r2r0MMAB中点，若这样的直线l4条，则r的取值范围是

2,

2,1t1t 2.设直线lxtymy24ty4m0，16t216m0.M2t2m2t，则kk1m32t2.代入16t216m，可得3t21t1t 2.又由圆心到直线的距离等于半径，可得dr

22t21t由0t23，可得r241t11.（2015重庆理8）已知直线l：xay10aR是圆C:x2y24x2y10的对称轴.过点A4,a作圆C的一条切线，切点为B，则AB（ 2A. D.2解析易知圆的标准方程Cx22y124，圆心O为2,1又因为直线lxay10242OA2得知a1242OA2OA

210,OB2,

612.（2016甲理4）圆x2y22x8y130的圆心到直线axy10的距离为则a 3

4

3 解析x2y22x8y130x12y4243a2a4 1，解得a2a43 理3）l1:2xy10，l2:2xy10，则l1，l2的距离 2

解析由题意d

252511221122314.（2016丙理16）已知直线l:mxy3m 0与圆x233AB分别做lx轴交于CDAB3

A34解析解法一：根据直线与圆相交弦长3

AB r2d

3333

到直线l：mxy3m 的距离d

3因此直线ly

3x333

.所以直线l的倾斜角为

.如图所示，过点C

CD

cos

cos

23 2yyBAE x3解法二：直线l：mxy3m 0，知直线l过定点A3,3，又AB 3所以△OAB为等边三角形,A3,3，所以AOC

，又知AOB60,By轴上（l的斜率存在）.l的倾斜角为30.第2 圆的方106求圆的方程——1.（201412）若圆C1，其圆心与点10yx对称，则圆 2（2015mxy2m10mR相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程 21212解析解法一（几何意义：动直线mxy2m10整理得mx2y10，21212从而r

，故标准方程为x12y22m2mm2mm22mm22： 2111 mm

，当且仅当m1时，取1 2mm故标准方程为x11 2mm解法三（代数法判别式

rd

m2m2mm22mm2设t

，则t1

2mt10，因为mR所以224t12…0，解得0

2，即d的最大值 23（20152（BA的上方AB2圆C的方程 A任作一条直线与圆Ox2y21MN①

；

2；

22AB2

2)222（2）在(x1)2(y2

2)22x0

22cos2(sin2cos2(sin222cos2(sin2cos2(sin24222(21)4222(21)2(22(221

22

1，

122

1224（2015 122

66

B. C.

D.6解析由题意得6

321， 273，所以 1 1 4

AB66半径为5，所以外接圆方程为(x1)2(y2)225，令x0，则有y 266

107与圆有关的轨迹问题——1（2015

:x2y26x50A，BABM的轨迹C是否存在实数k,使得直线lyk(x4)与曲线C只有一个交点？若存在，求出k的1.解析（1）

x2y26x50得x32y24C的圆心坐标为3011MxyMAB中点，即C1MAB，所以kC11

kAB1即 y1，所以线段AB的中点M的轨迹的方程为x

y2

x

3x3

由（2）M的轨迹是以C3,0r3EF（ 两端点E525F525．又直线l:ykx4D40 3 3 k34 当直线l与圆C相切时，由 3得k k2 k22 2522227

3

33

25又

，所以当k

,

4 3

44 7直线l:ykx4与曲线C题型 1（2015

两点，与圆Cx52y2r2r0MMAB中点，若这样的直线l4条，则r的取值范围是

2,

2,解析设直线lxtymy24ty4m0 k1，即m32t 1t代入16t216m，可得3t20，即0t21t1t1t

22t21t2.由0t23，可得r241t2.第3 直线与圆、圆与圆的位置关108 理12）直线l1:yxa和l2:yxb将单位圆C:x2y21分成长度相等的四段弧，则a2b2 2.（2014江西理9）在平面直角坐标系中，A,B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2xy40相切，则圆C面积的最小值为（ A.4 B.3 C.625 D.5 3.（2014福建理6）直线lykx1与圆Ox2y21AB两点，则"k11 A.充分而不必要条 B.必要而不充分条C.充分必要条 D.既不充分又不必要条4.（2014大纲理15）直线l1和l2是圆x2y22的两条切线，若l1与l2的交点为1,3，则l1与l2的夹角的正切值等于 5（2015 5或

3或

5或

4或 解析由光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过点23设反射光线所在直线的斜率为ky3kx2，kxy2k30．由题意，圆心321，k2k23k22k即

1，所以12k225k120，解得k 或k ．故选 6（2015 A2xy50或2xy5C2xy50或2xy5

B．2xy 0或2xy 5555D．2xy 0或2xy 555522解析设所求切线方程为2xyc0，依题意 2255所以所求切线的方程为2xy 0或2xy 0．故选557（2015mxy2m10mR相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程 21212解析解法一（几何意义：动直线mxy2m10整理得mx2y10，21212从而r

，故标准方程为x12y22m2mm2mm22mm22： 2111 mm

，当且仅当m1时，取1 2mm故标准方程为x11 2mm解法三（代数法判别式

rd

m2m2mm22mm2设t

，则t1

2mt10，因为mR所以224t12…0，解得0

2，即d的最大值 28（20152（BA的上方AB2圆C的方程 A任作一条直线与圆Ox2y21M①

；

2；

22 .（写出所有正确结论的序号AB2

2)222（2）在(x1)2(y2

2)22x0

22cos2(sin2cos2(sin222cos2(sin2cos2(sin24222(21)4222(21)2(22(221

22

1，

122

1229（2015 122

66

B. C.

D.6解析由题意得6

321， 273，所以 1 1 4

AB66半径为5，所以外接圆方程为(x1)2(y2)225，令x0，则有y 266

10（2015 20）已知过原点的动直线l与圆C1xy6x50 ABABM的轨迹C是否存在实数k,使得直线lyk(x4)与曲线C只有一个交点？若存在，求出k的

x2y26x50得x32y24C的圆心坐标为3011MxyMAB中点，即C1MAB，所以kC11

kAB1即 y1，所以线段AB的中点M的轨迹的方程为x

y2

x

3x3

由（2）M的轨迹是以C3,0r3EF（ 两端点E525F525．又直线l:ykx4D40 3 3 k34 当直线l与圆C相切时，由 3得k k2 k22 2522227

3

33

25又

，所以当k

,

4 3

44 7直线l:ykx4与曲线C11（2015

两点，与圆Cx52y2r2r0MMAB中点，若这样的直线l4条，则r的取值范围是

2,

2,解析设直线lxtymy24ty4m0，代入16t216m，可得3t20，即0t231t1t

1t1t1t 由0t23，可得r24.12.（2015重庆理8）已知直线l：xay10aR是圆C:x2y24x2y10的对称轴.过点A4,a作圆C的一条切线，切点为B，则AB（ 2A. D.2解 圆的标准方程C:x22y124，圆心O为2,1又因为直线lxay10242OA2得知a1242OA2OA

210,OB2,

613.（2016甲理4）圆x2y22x8y130的圆心到直线axy10的距离为3则a 33

4

A解析x2y22x8y130x12y424a2a4 1，解得a2a431091.（20139）过点(20引直线ly

113 333

3

3

201413）已知直线axy20与圆心为C的圆x12ya24A,B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a 3.（20149）xOyx2y30x22y124截得的弦长 4.（2016理11）在极坐标系中，直线cos3sin10与圆2 于A,B两点，则 4.

解析解法一：在平面直角坐标系中，题中的直线与x

3y10x2

.A,B两点的坐标(x,y)，即为方程组

331 33A,B两点的坐标分别为

AB2

2

解法二：x3y10，圆的直角坐标方程为(x1)2y21圆心10ABAB25.（2016丙理14）在[-1,1]上随机地取一个数k，则”直线ykx与(x5)2y29相交”发生的概率 3解析k2ykx与圆(x5)2y294k，解得3 发生时k的取值空间为3,3k 2，利用几何概型可知，所求概率为2=3 36.（2016丙理16）已知直线l:mxy3m 0与圆x2y212交于A，B33AB分别做lx轴交于CDAB3r2r2d

36.4解析解法一：根据直线与圆相交弦长3

AB

23r2d

到直线l：mxy3m 的距离d

3m3m m23因此直线ly

33333

.所以直线l的倾斜角为30如图所示，过点C作CEBDE 3解法二：直线l：mxy3m 0，知直线l过定点A3,3，又AB 3yBAE x所以△OAB为等边三角形,A3,3yBAE x

,又知AOB60,By轴上（l的斜率存在）.l的倾斜角为30.110直线与圆相切、相离关系及其应用——（2013山东理9）过点3,1作圆x12y21的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（ 2xy3

2xy3

4xy3

4xy3:yAlOx的半径为1，圆心在yAlOx若圆心Cyx1A作圆C若圆CMMA2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围3.（2014江西理9）在平面直角坐标系中，A,B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2xy40相切，则圆C面积的最小值为（ A.4 B.3 C.625 D.5 4.（2014大纲理15）直线l1和l2是圆x2y22的两条切线，若l1与l2的交点为1,3，则l1与l2的夹角的正切值等于 1111.（2014216）Mx0,1，若在圆Ox2y21N 12）直线l1yxa和l2yxb将单位圆Cx2y21等的四段弧，则a2b2 Mx2y212x14y600A24NxMNx6N设平行于OA的直线lMBCBCOA，求直线l设点Tt,0MP和Q，使得TATPTQ，求实数t解析（1）因为Nx6N

yMAOxyMAOx62yn2n2n0又圆NM外切，圆Mx62y72257n

，解得n55由题意得OA

kOA2，设l:y2xbM到直线l555552d52d

25，解得b5或b152555ly2x5y2555解法一：Px1,y1Qx2,y2A24Tt,0由TATPTQ，所以x2x12t，因为点QMy2y1y x62y7225 故有

t42

3225PM 所以只需两圆有公共点即可，所以55

t22

55解得2221

2221．所以实数t的取值范围为22212221评注对于第（3）TATPTQ，即TATQTPPQ.TA

PQTATA t

PQ10

t2242„10下论证充分性，即存在两点可使TAPQ2254对于任意t22212221，欲使TAPQTA102254只需要作直线TA的平行线，使圆心到直线的距离 ，必然与圆交于P,QTA

PQ，且有TAPQ，因此对于任意t22212221题意，综上实数t的取值范围为222122214.（201713）xOyA120B06，点PO: