第三章纳维斯托克斯方程组

第三章纳维斯托克斯方程组第1页，共59页，2023年，2月20日，星期三迄今得到的精确解几乎都是对不可压常值物性的流体做出的，这种流体的密度、粘性系数和热传导系数为常数。这时不需将能量方程与质量和动量方程耦合，可在解得速度、压力后单独求解温度（§2-4）在第七章将说明，在高雷诺数下流体运动将变得不稳定，可能最终转变为湍流。下面将要讨论的这些精确解尽管在高雷诺数下其数学解析关系仍是正确的，但这种解是不稳定的，因而物理上是不存在的。所以这些精确解只对低雷诺数有效，即本质上是层流解。在开始讨论真正的精确解之前还应附带指出，不可压位势流的解也可看成是纳维-斯托克斯方程组的精确解，因为这时位势函数也使粘性项变为零。第2页，共59页，2023年，2月20日，星期三第3页，共59页，2023年，2月20日，星期三但是位势解一般不能满足无滑移边界条件，因为，若在固壁边界处保证法向速度为零，则由位势函数可决定其切向分速，因而一般情况下不能保证为零。所以，不能把位势流看成是纳维-斯托克斯方程的有物理意义的解。但也有例外情况，当固体边界运动时，位势函数可能构成纳维-斯托克斯方程的有实际意义的解（见§3-3）。第4页，共59页，2023年，2月20日，星期三本章讨论的精确解包括两大类。第一类是解析解，即未知函数完全由自变量解析地描述，且描述关系中不再包含导数或积分号。第二类是相似解，它在二维（包括轴对称）问题时可以化成一维问题，即可由常微分方程（组）的解表示。在所得出的这些常微分方程（组）中，有些至今未找到解析解，而只有数值解。由于这些常微分方程（组）具有通用性，其数值解也有通用性，故常列表给出。第5页，共59页，2023年，2月20日，星期三§3-1平行定常流动中的

速度分布第6页，共59页，2023年，2月20日，星期三第7页，共59页，2023年，2月20日，星期三1.二维泊肃叶流动第8页，共59页，2023年，2月20日，星期三第9页，共59页，2023年，2月20日，星期三2.库埃特流动这是另一种平行直壁之间的流动，其中一个直壁静止不动，另一直壁在自身所在平面内沿流向移动（图3.1.2）。这时方程(3.1.3)仍然成立，因而式（3.1.5）也成立，但边界条件应改为第10页，共59页，2023年，2月20日，星期三这种特殊情况称为简单库埃特流动，即流体完全由运动壁面通过粘性力而拖动。一般的库埃特流动是在这简单流动上迭加一个由式（3.1.6）描写的有压力梯度的流动。压力梯度的影响与如下的无量纲压力梯度B有关第11页，共59页，2023年，2月20日，星期三图（3.1.2）上表示出各种压力梯度下的速度分布。对于B＞0，即压力沿流动方向下降，称为顺压力梯度，在整个槽道内速度为正值。当B＜0，压力沿流动方向增加，称为逆压力梯度。当B小于某个负值后，槽道内靠近静止壁面的某些区域内的速度为负，即出现逆流。开始出现逆流的条件是第12页，共59页，2023年，2月20日，星期三3.哈根-泊肃叶流动这是直圆管中的平行流动。为保证是真正的平行流动，需要满足两个条件：第一，以管道直径为特征长度的雷诺数应低于某临界值以保证流动为层流（第七章）；第二，管道足够长，以形成充分发展了的管道流(§10-6)。第13页，共59页，2023年，2月20日，星期三第14页，共59页，2023年，2月20日，星期三第15页，共59页，2023年，2月20日，星期三第16页，共59页，2023年，2月20日，星期三第17页，共59页，2023年，2月20日，星期三第18页，共59页，2023年，2月20日，星期三第19页，共59页，2023年，2月20日，星期三第20页，共59页，2023年，2月20日，星期三第21页，共59页，2023年，2月20日，星期三§3-2平行定常流动中的

温度分布前已指出(§2-4)，不可压缩流体的流动是非耦合的，可以由质量和动量方程解出速度和压力场后再用能量方程求解温度场。不可压缩流体的能量方程常用式（2.3.18）表示。对于简单的平行定常流动，能量方程也可进一步简化，并利用前面得出的速度场和压力场的解析解求得温度场的解析解。第22页，共59页，2023年，2月20日，星期三1.二维泊肃叶流动第23页，共59页，2023年，2月20日，星期三第24页，共59页，2023年，2月20日，星期三应当指出，与耗能有关的温度分布在中心线处最高，但这并不意味着中心线处的耗散最高，恰恰相反，由速度分布式（3.1.6b）可见，中心线处耗散最低，而壁面附近耗散最高。由式（3.2.4）可见，温度分布是由耗散分布与导热特性决定的，即是说，一种给定的耗散分布要求一种相应的温度分布才能将耗散生成的热量传导出去，以达到温度的平衡状态。容易看出，只当在壁面附近温度梯度有较高的空间变化率时才能将当地生成的大量耗散热传导出去。第25页，共59页，2023年，2月20日，星期三2.库埃特流动第26页，共59页，2023年，2月20日，星期三第27页，共59页，2023年，2月20日，星期三第28页，共59页，2023年，2月20日，星期三第29页，共59页，2023年，2月20日，星期三§3-3同轴旋转圆筒间的

定常流动第30页，共59页，2023年，2月20日，星期三第31页，共59页，2023年，2月20日，星期三第32页，共59页，2023年，2月20日，星期三第33页，共59页，2023年，2月20日，星期三第34页，共59页，2023年，2月20日，星期三第35页，共59页，2023年，2月20日，星期三第36页，共59页，2023年，2月20日，星期三§3-4平行非定常流动第37页，共59页，2023年，2月20日，星期三1.直壁突然加速第38页，共59页，2023年，2月20日，星期三第39页，共59页，2023年，2月20日，星期三第40页，共59页，2023年，2月20日，星期三第41页，共59页，2023年，2月20日，星期三第42页，共59页，2023年，2月20日，星期三§3-8可压缩流体的库埃特

流动本章以前各节所考虑的解都是针对密度及其他输运特性系数为常数的流体的。本节将以库埃特流动为例考虑压缩性及其他输运特性变化的影响。由于密度不再是常数，必须把能量方程与质量、动量方程耦合起来，一道求解。加之粘性系数μ和热传导系数k可能发生变化，使问题更加复杂。因而，对于可压缩粘性流动至今只得到了很少数几个准确解。且所有的准确解都仅适于简化的情况，即只有一个速度分量随一个坐标变化。有两个典型的例子：（1）正激波，在激波厚度内只有沿流向的梯度；（2）可压缩的库埃特流动，这是沿横向有梯度的流动。我们只讨论后者。第43页，共59页，2023年，2月20日，星期三第44页，共59页，2023年，2月20日，星期三1.可压流库埃特流动的定解问题第45页，共59页，2023年，2月20日，星期三第46页，共59页，2023年，2月20日，星期三第47页，共59页，2023年，2月20日，星期三第48页，共59页，2023年，2月20日，星期三第49页，共59页，2023年，2月20日，星期三2.解析解第50页，共59页，2023年，2月20日，星期三第51页，共59页，2023年，2月20日，星期三第52页，共59页，2023年，2月20日，星期三第53页，共59页，2023年，2月20日，星期三第54页，共59页，2023年，2月20日，星期三第55页，共59页，2023年，2月20日，星期三3.复温因子许多工程技术问题使我们关注高速运动物体表面的温度。例如空气飞行器再进