微积分公式大全

千里之行，始于足下让知识带有温度。第第2页/共2页精品文档推荐微积分公式大全导数公式：

基本积分表：

三角函数的有理式积分：

2222

212sincos1121uuxdu

xxutgdxuuu-====

+++，，，

22(tan)sec(cot)csc(sec)sectan(csc)csccot()ln()(ln1)1(log)lnxxxxaxxxxxxxxxxaaaxxxxxa

'='=-'=?'=-?'='=+'

=

2

2

2

(arcsin)(arccos)1

(arctan)11

(arccot)11

()xxxxxxthxch'=

'='=

+'=-

+'

=

2

22

2sectancoscsccotsinsectanseccsccotcsclnln(x

x

dxxdxxCxdxxdxxC

xxxdxxCxxdxxC

aadxC

ashxdxchxCchxdxshxCxC

==+==-+?=+?=-+=+=+=+=+?????????

222222tanlncoscotlnsinseclnsectancsclncsccot1arctan1ln21ln2arcsinxdxxCxdxxC

xdxxxCxdxxxC

dxx

Caxaadxxa

Cxaaxadxax

Caxaaxx

Ca

=-+=+=++=-+=++-=+-++=+--=+????????

????++-=-+-+--=-+++++=+-=

==-C

a

xaxaxdxxaC

axxaaxxdxaxC

axxaaxxdxaxIn

nxdxxdxInnn

narcsin22ln22)ln(221

cossin22

2222222

2222222

22

2

22

2

π

π

一些初等函数：两个重要极限：

三角函数公式：

·和差化积公式：·积化和差公式：

·和差角公式：·万能公式、正切代换、其他公式：

·倍角公式：

[][]

[]

[]

1

sincossin()sin()21

cossinsin()sin()21

coscoscos()cos()21

sinsincos()cos()2αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ=

++-=+--=++-=-+--sinsin2sin

cos

22sinsin2cossin

22coscos2coscos

22coscos2sinsin

22

αβαβ

αβαβαβ

αβαβαβ

αβαβαβ

αβ+-+=+--=+-+=+--=-x

x

arthxxxarchxxxarshxeeeechxshxthxeechxeeshxxx

x

xx

xx

x-+=-+±=++=+-==+=

-=

11ln

21)

1ln(1ln(:2

:2:22

）双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)1

1(lim1

sinlim

0==+=∞→→ex

x

x

xxx3332sin33sin4sincos34cos3cos3tantantan313tanαααααααα

αα

=-=--=

-22222

2sin22sincoscos22cos112sincossincot1cot22cot2tantan21tanααα

ααααααααα

αα

==-=-=--==

-2

22

222

2

222222tan

1tan22sincos1tan1tan221tancossin1tan1tantansec1cotcsc1|sin||||tan|

xx

xxxx

xxxxx

xxxxxxx-=

=++==++=-=--=====不确定时值时，无极为微小值为极大值时，则：，令：设,00),(,0),(,00),(,),(,),(0),(),(22

00002

0000000000BACBACyxAyxABACCyxfByxfAyxfyxfyxfyyxyxxyx

重积分及其应用：

??????

??????????????

????++-=++=++==>===

=

==

?

??

?

????+???????+==='

D

zD

yD

xzyxD

yD

xD

D

yD

x

D

DD

ayxxdyxfaFayxydyxfFayxxdyxfFFFFFaaMzxoydyxxIydyxyIxdyxdyxyM

MydyxdyxxM

MxdxdyyzxzAyxfzrdrdrrfdxdyyxf2

3

22

2

2

3

22

2

2

3

22

2

22D

2

2

)

(),()

(),()

(),(},,{)0(),,0,0(),(,),(),(),(,),(),(1),()sin,cos(),(σ

ρσ

ρσ

ρσρσρσ

ρσ

ρσ

ρσ

ρθ

θθ，，，其中：的引力：轴上质点平面）对平面薄片（位于轴对于轴对于平面薄片的转动惯量：平面薄片的重心：的面积曲面

柱面坐标和球面坐标：

???????????????????????????

?????????Ω

Ω

Ω

Ω

Ω

Ω

Ω

Ω

Ω

ΩΩ+=+=+====

=

=

===???=??

???=====???

??===dv

yxIdvzxIdvzyIdv

xMdvzM

zdvyM

ydvxM

xdrrrFddddrdrrFdxdydzzyxfddrdrdrdrrddvrzryrxzrrfzrFdzrdrdzrFdxdydzzyxfz

zryrxzyxrρρρρρρρ?θ??

θθ??θ?θ

??θ???θ?θ?θθθθθθθπ

πθ?)()()(1,1,1

sin),,(sin),,(),,(sinsincossinsincossin)

,sin,cos(),,(,),,(),,(,sincos22222220

)

,(0

2

2

2

，，转动惯量：，其中重心：，球面坐标：其中：柱面坐标：

曲线积分：

??

?==+-+-+-+-nnnnnnnnurrusuuuuuuuuuuuΛΛ

肯定收敛与条件收敛：

∑∑∑∑>≤-+++++++++时收敛

１时发散ｐ级数：收敛；

级数：收敛；

发散，而调和级数：为条件收敛级数。收敛，则称发散，而假如收敛级数；绝对收敛，且称为肯定收敛，则假如为随意实数；，其中11

1

)1(1)1()1()2()1()2()2()1(232121pnpnnnuuuuuuuupn

nnnΛ

ΛΛΛ

幂级数：

01

0)3(lim

)3(111

1111

221032=+∞=+∞

===

≠==><+++++≥-<++++++++∞→RRRaaaaRRxRxRxRxaxaxaaxxxxxxxnnn

nnnnn时，时，时，的系数，则是，，其中求收敛半径的办法：设称为收敛半径。

，其中时不定

时发散时收敛

，使在数轴上都收敛，则必存收敛，也不是在全

，假如它不是仅在原点对于级数时，发散

时，收敛于

ρρρ

ρρΛΛΛΛ

函数绽开成幂级数：

Λ

ΛΛ

Λ+++''+'+===-+=+-++-''+-=∞→++n

nnnnnnnnxnfxfxffxfxRxfxxnfRxxnxfxxxfxxxfxf!

)0(!2)0()0()0()(00

lim)(,)()!1()

()(!

)()(!2)())(()()(2022)1(00)(2

0000时即为麦克劳林公式：充要条件是：可以绽开成泰勒级数的余项：函数绽开成泰勒级数：ξ

一些函数绽开成幂级数：

)

()!12()1(!5!3sin)11(!

)1()1(!2)1(1)1(121

532+∞<<-∞+--+-+-=<<-++--++-+

+=+--xnxxxxxxxnnmmmxmmmxxnnn

mΛΛΛΛΛ欧拉公式：

???

????-=+=+=--2sin2cossincosixixix

ixixeexeexxixe或

三角级数：

。

上的积分＝在随意两个不同项的乘积正交性：。

，，，其中，0],[cos,sin2cos,2sin,cos,sin,1cossin)

sincos(2)sin()(00101

0ππω???ω-====++=++=∑∑∞

=∞

=ΛΛnxnxxxxxxtAbAaaAanxbnxaatnAAtfnnnnnnnnnnnn

傅立叶级数：

是偶函数，余弦级数：是奇函数

，正弦级数：（相减）

（相加）

其中，周期∑?

∑???∑+=

==

======+-+-=++++=

+++=

+++???

????=====++=--∞

=nxaaxfnnxdxxfabnxb

xfnxdxxfbannxdxxfbnnxdxxfanxbnxaaxfnnnn

nnnnnnncos2

)(2,1,0cos)(2

0sin)(3,2,1nsin)(2

012413121164

1312112461412185

1311)3,2,1(sin)(1)2,1,0(cos)(1

2)sincos(2)(0

2

2222

2222

2

222

221

0ΛΛΛΛΛΛΛΛπ

π

π

ππ

π

π

π

πππππππ

周期为2l的周期函数的傅立叶级数：

???

????=====++=??∑--∞=l

lnllnnnnndxlxnxflbndxlxnxflal

l

xnblxnaaxf)3,2,1(sin)(1)2,1,0(cos)(12)sincos(2)(10ΛΛ其中，周期ππππ

微分方程的相关概念：

即得齐次方程通解。

，

代替分别变量，积分后将，，，则设的函数，解法：，即写成程可以写成齐次方程：一阶微分方称为隐式通解。

得：的形式，解法：

为：一阶微分方程可以化可分别变量的微分方程或一阶微分方程：uxyuuduxdxudxduudxduxudxdyxyux

y

yxyxfdxdyCxFyGdxxfdyygdxxfdyygdyyxQdxyxPyxfy-=∴=++====+====+='??)()(),(),()()()()()()(0

),(),(),(???

一阶线性微分方程：

)

1,0()()(2))((0)(,0)()

()(1)()()(≠=+?

+?=≠?

===+?--nyxQyxPdx

dy

eCdxexQyxQCeyxQxQyxPdx