高等数学向量代数与空间解析几何总结

一、主要(zhǔyào)内容〔一〕向量(xiàngliàng)代数〔二〕空间(kōngjiān)解析几何空间解析几何与向量代数习题课第一页，共66页。1向量(xiàngliàng)的线性运算向量(xiàngliàng)的表示法向量(xiàngliàng)积数量积向量的积向量概念〔一〕向量代数第二页，共66页。21、向量(xiàngliàng)的概念定义(dìngyì):既有大小又有方向的量称为向量.自由(zìyóu)向量、相等向量、负向量、向径.重要概念:零向量、向量的模、单位向量、平行向量、第三页，共66页。3(1)加法(jiāfǎ)：2、向量(xiàngliàng)的线性运算(2)减法(jiǎnfǎ)：(3)向量与数的乘法：第四页，共66页。4向量(xiàngliàng)的分解式：在三个坐标轴上的分向量(xiàngliàng)：向量(xiàngliàng)的坐标表示式：向量的坐标：3、向量的表示法第五页，共66页。5向量的加减法、向量与数的乘积(chéngjī)等的坐标表达式第六页，共66页。6向量模长的坐标(zuòbiāo)表示式向量方向(fāngxiàng)余弦的坐标表示式第七页，共66页。74、数量(shùliàng)积(点积、内积)数量(shùliàng)积的坐标表达式两向量(xiàngliàng)夹角余弦的坐标表示式第八页，共66页。85、向量(xiàngliàng)积(叉积、外积(wàijī))向量(xiàngliàng)积的坐标表达式第九页，共66页。9//第十页，共66页。10请归纳(guīnà)向量的数量积和向量积

在几何中的用途〔1〕数量积①求向量(xiàngliàng)的模：②求两向量(xiàngliàng)的夹角：第十一页，共66页。11请归纳(guīnà)向量的数量积和向量积

在几何中的用途〔续〕〔1〕数量(shùliàng)积③求一个向量在另一个向量上的投影：④两向量垂直的充要条件为第十二页，共66页。12请归纳向量的数量(shùliàng)积和向量积

在几何中的用途〔续〕〔2〕向量积①求与两个非共线(ɡònɡxiàn)向量a、b同时垂直的向量n,可取其中λ是某个非零的数〔通常在不考虑向量模的大小时可取λ=1〕；第十三页，共66页。13请归纳向量的数量积和向量积

在几何(jǐhé)中的用途〔续〕〔2〕向量(xiàngliàng)积②几何(jǐhé)上③//第十四页，共66页。14直线曲面(qūmiàn)曲线(qūxiàn)平面参数(cānshù)方程旋转曲面柱面二次曲面一般方程参数方程一般方程对称式方程点法式方程一般方程空间直角坐标系〔二〕空间解析几何第十五页，共66页。15横轴纵轴竖轴定点1、空间(kōngjiān)直角坐标系空间(kōngjiān)的点有序数组第十六页，共66页。16空间(kōngjiān)直角坐标系共有(ɡònɡyǒu)一个原点,三个坐标轴,三个坐标面,八个卦限.第十七页，共66页。17它们(tāmen)距离为两点间距离(jùlí)公式:第十八页，共66页。18曲面方程(fāngchéng)的定义：2、曲面(qūmiàn)第十九页，共66页。19研究空间曲面的两个根本(gēnběn)问题：〔2〕坐标(zuòbiāo)间的关系式，研究曲面形状.〔1〕曲面作为(zuòwéi)点的轨迹时，求曲面方程.[1]旋转曲面定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称之.这条定直线叫旋转曲面的轴.第二十页，共66页。20方程(fāngchéng)特点:第二十一页，共66页。21〔2〕圆锥(yuánzhuī)面〔1〕球面(qiúmiàn)〔3〕旋转(xuánzhuǎn)双曲面第二十二页，共66页。22[2]柱面定义(dìngyì)：平行于定直线并沿定曲线C移动(yídòng)的直线L所形成的曲面称之.这条定曲线叫柱面的准线，动直线(zhíxiàn)叫柱面的母线.第二十三页，共66页。23从柱面方程(fāngchéng)看柱面的特征：(1)平面(píngmiàn)第二十四页，共66页。24(3)抛物柱面(4)椭圆柱面(2)圆柱面第二十五页，共66页。25[3]二次曲面定义:三元二次方程(èrcìfāngchéng)所表示的曲面称为二次曲面.〔1〕椭球面〔2〕椭圆(tuǒyuán)抛物面第二十六页，共66页。26〔3〕马鞍(mǎān)面〔4〕单叶双曲面〔5〕圆锥(yuánzhuī)面第二十七页，共66页。273、空间(kōngjiān)曲线[1]空间(kōngjiān)曲线的一般方程[2]空间曲线(qūxiàn)的参数方程第二十八页，共66页。28如图空间(kōngjiān)曲线一般方程为参数(cānshù)方程为第二十九页，共66页。29[3]空间曲线在坐标面上(miànshànɡ)的投影消去变量(biànliàng)z后得：设空间(kōngjiān)曲线的一般方程：曲线在面上的投影曲线为面上的投影曲线面上的投影曲线第三十页，共66页。30如图:投影曲线的研究(yánjiū)过程.空间(kōngjiān)曲线投影(tóuyǐng)曲线投影柱面第三十一页，共66页。31[4]空间立体或曲面(qūmiàn)在坐标面上的投影空间(kōngjiān)立体曲面(qūmiàn)第三十二页，共66页。324、平面(píngmiàn)[1]平面的点法式(fǎshì)方程[2]平面(píngmiàn)的一般方程[3]平面的截距式方程第三十三页，共66页。33[4]平面(píngmiàn)的夹角[5]两平面(píngmiàn)位置特征：//第三十四页，共66页。345、空间(kōngjiān)直线[1]空间(kōngjiān)直线的一般方程第三十五页，共66页。35[3]空间直线的参数(cānshù)方程[2]空间(kōngjiān)直线的对称式方程第三十六页，共66页。36直线直线^两直线的夹角(jiājiǎo)公式[4]两直线(zhíxiàn)的夹角第三十七页，共66页。37[5]两直线(zhíxiàn)的位置关系：//[6]直线(zhíxiàn)与平面的夹角第三十八页，共66页。38直线与平面(píngmiàn)的夹角公式[7]直线与平面的位置(wèizhi)关系//第三十九页，共66页。39二、典型(diǎnxíng)例题例1解由题设条件(tiáojiàn)得解得第四十页，共66页。40例2解过直线的平面(píngmiàn)束方程为第四十一页，共66页。41由题设知由此解得代回平面(píngmiàn)束方程为第四十二页，共66页。42例3解将两直线方程(fāngchéng)化为参数方程(fāngchéng)为第四十三页，共66页。43即有第四十四页，共66页。44第四十五页，共66页。45例4解第四十六页，共66页。46所求投影直线(zhíxiàn)方程为第四十七页，共66页。47例5解由于(yóuyú)高度不变,第四十八页，共66页。48故所求旋转曲面(qūmiàn)方程为第四十九页，共66页。49第五十页，共66页。50第五十一页，共66页。51例8、点A(1,2,5)，B(-2,0,-3),C(1,-3,0)，求点D(4,3,0)关于(guānyú)平面ABC的对称点。解∵平面ABC:2x+y-z+1=0∴过D且垂直于平面的直线为设对称点的坐标（4+2t,3+t,-t)，有距离公式t=4(舍去0）∴对称点为（-4，-2，4）。第五十二页，共66页。52例9、求证(qiúzhèng)两直线相交，并求出交点坐标及包含两直线(zhíxiàn)的平面。解：∵直线(zhíxiàn)的标准式是令：∴两直线的交点(1,2,-1)包含两直线的平面：x+3y+z-6=0。∵向量∴两直线相交。第五十三页，共66页。53例10.求直线(zhíxiàn)在平面(píngmiàn)上的投影(tóuyǐng)直线l0的方程，并求l0绕y轴旋转一周所成曲面的方程。解法1设经过l且垂直于π的平面方程为那么由条件可知由此解得于是π1的方程为从而l0的方程为：即于是l0绕y轴旋转一周所成曲面的方程为({A,B,C}⊥s,n)第五十四页，共66页。54解法(jiěfǎ)2由于直线l的方程可写为所以(suǒyǐ)过直线l的平面方程可设为即由它与平面(píngmiàn)π垂直，得于是经过直线l且垂直于π的平面方程为从而l0：〔下同解法一〕第五十五页，共66页。55l的方向(fāngxiàng)向量为s={1,1,－1}，π的法线向量为n={1，－1，2}经过l且垂直于π的平面(píngmiàn)π1的法线向量为又因为π1经过l，π1当然经过l上的点〔1，0，1〕，所以(suǒyǐ)π1