第六节方向导数与梯度

第六节方向导数与梯度第1页，共37页，2023年，2月20日，星期三实例：一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)．在坐标原点处有一个火焰，它使金属板受热．假定板上任意一点处的温度与该点到原点的距离成反比．在(3,2)处有一个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？问题的实质：应沿由热变冷变化最骤烈的方向（即梯度方向）爬行．一、问题的提出第2页，共37页，2023年，2月20日，星期三二、方向导数的定义回顾函数在点处关于的偏导数定义：第3页，共37页，2023年，2月20日，星期三（如图）讨论函数在一点

沿任意方向的变化率问题就是方向导数问题．第4页，共37页，2023年，2月20日，星期三当沿着趋于时，是否存在？第5页，共37页，2023年，2月20日，星期三1、方向导数的定义第6页，共37页，2023年，2月20日，星期三

依定义，函数在点沿着轴正向、轴正向的方向导数分别为.

沿着轴负向、轴负向的方向导数分别是：.

第7页，共37页，2023年，2月20日，星期三2、方向导数的计算第8页，共37页，2023年，2月20日，星期三证明由于函数可微，则增量可表示为第9页，共37页，2023年，2月20日，星期三注：(1)仅由函数在一点可偏导，未必可推出函数在该点处沿各方向的方向导数存在.此例同时也说明函数在一点连续也未必能推出函数在该点处沿各方向的方向导数都存在.第10页，共37页，2023年，2月20日，星期三(2)函数在一点处沿各方向的方向导数都存在，也未必在该点处连续.此例同时也说明函数可微并不是函数沿任一方向的方向导数存在的必要条件.第11页，共37页，2023年，2月20日，星期三解这里方向即为,

第12页，共37页，2023年，2月20日，星期三3、方向导函数

若在区域内任何一点方向的方向导数都存在，则是上的一个函数，称为方向导函数.

第13页，共37页，2023年，2月20日，星期三4、推广可得三元函数方向导数的定义第14页，共37页，2023年，2月20日，星期三第15页，共37页，2023年，2月20日，星期三第16页，共37页，2023年，2月20日，星期三*5、方向导数的几何意义：是函数沿方向的变化率,第17页，共37页，2023年，2月20日，星期三*6、二阶方向导数如果在沿仍有方向导数,就把它称为在沿的二阶方向导数并记作.第18页，共37页，2023年，2月20日，星期三第19页，共37页，2023年，2月20日，星期三二阶方向导数几何意义：，则说明在的近旁的切线斜率沿方向单调增加，曲线为下凸；，的切线斜率沿方向单调减少，曲线为上凸.第20页，共37页，2023年，2月20日，星期三三、梯度的概念

1、定义第21页，共37页，2023年，2月20日，星期三方向：f(x,y)

变化率最大的方向模:

f(x,y)

的最大变化率之值第22页，共37页，2023年，2月20日，星期三2、方向导数与梯度的关系2)在点处沿与梯度垂直方向的方向导数等于零.3)在点沿方向的方向导数等于梯度在方向上的投影.第23页，共37页，2023年，2月20日，星期三在几何上表示一个曲面曲面被平面所截得所得曲线在xoy面上投影如图等高线梯度为等高线上的法向量第24页，共37页，2023年，2月20日，星期三3、梯度的概念可以推广到三元函数类似于二元函数，此梯度也是一个向量，其方向与取得最大方向导数的方向一致，其模为方向导数的最大值.第25页，共37页，2023年，2月20日，星期三解由梯度计算公式得故第26页，共37页，2023年，2月20日，星期三4、梯度应用实例第27页，共37页，2023年，2月20日，星期三1、方向导数的概念2、梯度的概念3、方向导数与梯度的关系（注意方向导数与一般所说偏导数的区别）（注意梯度是一个向量）五、小结第28页，共37页，2023年，2月20日，星期三1、方向导数的概念（注意方向导数与一般所说偏导数的区别）五、小结二元函数

f(x,y)在点P(x,y)沿方向(方向角为)的方向导数为:三元函数

f(x,y,z)在点P(x,y,z)沿方向(方向角为)的方向导数为:第29页，共37页，2023年，2月20日，星期三2、梯度的概念（注意梯度是一个向量）二元函数

f(x,y)在点P(x,y)的梯度为:三元函数

f(x,y,z)在点P(x,y,z)的梯度为:第30页，共37页，2023年，2月20日，星期三3.关系方向导数存在偏导数存在可微梯度在方向

上的投影.第31页，共37页，2023年，2月20日，星期三思考题第32页，共37页，2023年，2月20日，星期三思考题解答第33页