第八章第二节对坐标的曲线积分

第八章第二节对坐标的曲线积分第1页，共21页，2023年，2月20日，星期三一、对坐标的曲线积分的概念与性质1.引例:变力沿曲线所作的功.设一质点受如下变力作用在xoy平面内从点A沿光滑曲线弧L移动到点B,求移“大化小”“常代变”“近似和”“取极限”变力沿直线所作的功解决办法:动过程中变力所作的功W.机动目录上页下页返回结束第2页，共21页，2023年，2月20日，星期三1)“大化小”.2)“常代变”把L分成n个小弧段,有向小弧段近似代替,则有所做的功为F沿则用有向线段上任取一点在机动目录上页下页返回结束第3页，共21页，2023年，2月20日，星期三3)“近似和”4)“取极限”(其中为n个小弧段的最大长度)机动目录上页下页返回结束第4页，共21页，2023年，2月20日，星期三2.定义.设L为xoy平面内从A到B的一条有向光滑弧,若对L的任意分割和在局部弧段上任意取点,都存在,在有向曲线弧L上对坐标的曲线积分,则称此极限为函数或第二型曲线积分.其中,L称为积分路径.称为被积函数,在L上定义了一个向量函数极限记作机动目录上页下页返回结束第5页，共21页，2023年，2月20日，星期三若为空间曲线弧,记称为对x的曲线积分;称为对y的曲线积分.若记,对坐标的曲线积分也可写作类似地,机动目录上页下页返回结束第6页，共21页，2023年，2月20日，星期三3.性质(1)若L可分成k条有向光滑曲线弧(2)用L－

表示L的反向弧,则则

定积分是第二类曲线积分的特例.说明:

对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向!机动目录上页下页返回结束第7页，共21页，2023年，2月20日，星期三二、对坐标的曲线积分的计算法定理:在有向光滑弧L上有定义且L的参数方程为则曲线积分连续,证明:下面先证存在,且有机动目录上页下页返回结束第8页，共21页，2023年，2月20日，星期三对应参数设分点根据定义由于对应参数因为L为光滑弧,同理可证机动目录上页下页返回结束第9页，共21页，2023年，2月20日，星期三特别是,如果L的方程为则对空间光滑曲线弧:类似有定理目录上页下页返回结束第10页，共21页，2023年，2月20日，星期三例1.计算其中L为沿抛物线解法1取x为参数,则解法2取y为参数,则从点的一段.机动目录上页下页返回结束第11页，共21页，2023年，2月20日，星期三例2.计算其中L为(1)半径为a圆心在原点的上半圆周,方向为逆时针方向;(2)从点A(a,0)沿x轴到点B(–a,0).解:(1)取L的参数方程为(2)取L的方程为则则机动目录上页下页返回结束第12页，共21页，2023年，2月20日，星期三例3.计算其中L为(1)抛物线(2)抛物线(3)有向折线

解:

(1)原式(2)原式(3)原式机动目录上页下页返回结束第13页，共21页，2023年，2月20日，星期三例4.求其中从z轴正向看为顺时针方向.解:取的参数方程机动目录上页下页返回结束第14页，共21页，2023年，2月20日，星期三三、两类曲线积分之间的联系设有向光滑弧L以弧长为参数

的参数方程为已知L切向量的方向余弦为则两类曲线积分有如下联系机动目录上页下页返回结束第15页，共21页，2023年，2月20日，星期三类似地,在空间曲线

上的两类曲线积分的联系是令记A在t上的投影为机动目录上页下页返回结束第16页，共21页，2023年，2月20日，星期三1.定义2.性质(1)L可分成k条有向光滑曲线弧(2)L－

表示L的反向弧对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向!内容小结机动目录上页下页返回结束第17页，共21页，2023年，2月20日，星期三3.计算•对有向光滑弧•对有向光滑弧机动目录上页下页返回结束第18页，共21页，2023年，2月20日，星期三4.两类曲线积分的联系•对空间有向光滑弧:机动目录上页下页返回结束第19页，共21页，2023年，2月20日，星期三二者夹角为例5.设曲线段L的长度为s,证明续,证:设说明:上述证法可推广到三维的第二类曲线积分.在L上连机动目录