第八章正弦电压和电流相量法基础

第八章正弦电压和电流相量法基础第1页，共50页，2023年，2月20日，星期三8.1

正弦稳态电路第2页，共50页，2023年，2月20日，星期三以一RC电路为例讨论。电路如图，已知：求解：由KCL得方程正弦电源作用下的一阶电路第3页，共50页，2023年，2月20日，星期三(1)式通解为：其中比较(5)式两边可得：设将(3)、(4)代入(1)式，化简可得：第4页，共50页，2023年，2月20日，星期三即(1)式通解为：代入初始条件(2)式，得：方程(1)满足初始条件的解为：自由分量(暂态分量)强制分量(稳态分量)自由分量的绝对值随时间按指数规律衰减，因此又称为暂态分量。强制分量是与电源同频率的正弦量，当t=，响应中只剩下该正弦分量，此时称电路进入了正弦稳态。(工程上认为，时间为或时，电路已进入稳态。)第5页，共50页，2023年，2月20日，星期三暂态分量的初值与有关。若，则暂态分量为零，电路直接进入稳态；若或，则暂态分量初值为，暂态分量在最初一段时间绝对值较大，使uc在这段时间某些瞬时可能产生过电压。下图为u=0时uc波形图。由于u与i有关，而i与计时起点（即开关动作的时刻）有关，因此开关动作时刻的不同将会影响暂态分量的大小。稳态分量暂态分量第6页，共50页，2023年，2月20日，星期三8.2正弦电压和电流8.2.1正弦电压和电流8.2.2正弦量的三要素8.2.3同频率正弦量的相位差8.2.4正弦电流、正弦电压的有效值第7页，共50页，2023年，2月20日，星期三8.2.1正弦电压和电流随时间按正弦规律变化的电压和电流称为正弦电压和电流（有时又称为交流电压和电流），它们的瞬时值可用时间t的sin函数或cos函数表示，在以后的讨论中，均将它们表为cos函数。给出正弦电压（电流）瞬时值表达式时，一定要先给出其参考方向。表达式和参考方向一起可确定正弦电压（电流）任一时刻的真实方向。第8页，共50页，2023年，2月20日，星期三8.2.2正弦量的三要素

振幅

Im

角频率Im

是电流

i的最大值。是i的相角随时间变化的速度，称为角频率。单位：弧度/秒，或写作(1/秒)电流

i的频率为

f

(赫兹、周/秒)，周期为

T(秒)，有如下关系第9页，共50页，2023年，2月20日，星期三

初相位

ii是

t=0时刻i的相位，称为初相位（初相角）单位：弧度、度。由于

cos函数是周期函数，故i是多值的，一般取i的值与计时起点的选择有关。i0i0i0第10页，共50页，2023年，2月20日，星期三8.2.3同频率正弦量的相位差

同频率正弦量的相位差等于其初相位之差。相位差

的单位：弧度、度。例:u与

i

的相位差

ui

（可简计为）为：

相位差是多值的，一般取。第11页，共50页，2023年，2月20日，星期三同频率正弦量相位差的几种情况u与

i

同相u超前i

u滞后

iu与i

反相u与

i

正交第12页，共50页，2023年，2月20日，星期三例1：已知求

u1

与

u2

的相位差。解：即

u1

超前

u2

(2/3)弧度。例2：已知求

u与

i

的相位差。解：

u超前

i

(2/3)弧度。即第13页，共50页，2023年，2月20日，星期三8.2.4正弦电压、电流的有效值若周期电流i的周期为T，则其有效值I定义为：以电流为例讨论。同样可推得正弦电压u的有效值为：正弦电流的有效值为：第14页，共50页，2023年，2月20日，星期三有效值的物理意义：周期电流i1通过电阻R，R在一周期时间T内吸收的电能为恒定电流I2通过电阻R，R在T时间内吸收的电能为若有即则有第15页，共50页，2023年，2月20日，星期三8.3.1复数的表示方法8.3.2复数的运算8.3复数的表示方法和复数运算第16页，共50页，2023年，2月20日，星期三8.3.1复数的表示方法直角坐标形式：其中a1、a2

均为实数，a1是A的实部，a2是A的虚部。向量表示：a：复数A的模：复数A的辐角有：第17页，共50页，2023年，2月20日，星期三三角函数形式：指数形式（极坐标形式）：根据欧拉公式：可得：简写作：A＝a例1：已知，求其极坐标形式。解：故A＝44.72-116.57o例2：已知A=13112.6o，求其直角坐标形式。解：第18页，共50页，2023年，2月20日，星期三8.3.2复数的运算取实部、取虚部加减法运算设则设则第19页，共50页，2023年，2月20日，星期三乘除运算例：设设则或则第20页，共50页，2023年，2月20日，星期三定义：一个正弦量的相量是复常数，其模是该正弦量的有效值，其辐角是该正弦量的初相位。若给定正弦量的角频率，则正弦量和其相量之间是一一对应的关系。相量的运算规则即复数的运算规则。相量也可用向量表示，称为相量图。可表示为：设某一正弦电流为称为电流

i的振幅相量。称为电流

i的有效值相量(简称相量)。有：可记为、8.4正弦量的相量第21页，共50页，2023年，2月20日，星期三例1：已知解：求相量及，并画出相量图。画相量图时，和的长度采用不同的比例。第22页，共50页，2023年，2月20日，星期三解：例2：已知求i1及i2。也可直接写出正弦量表达式：由知得：第23页，共50页，2023年，2月20日，星期三引理1.唯一性引理：引理2.线性引理其中a1、a2

为实常数。当且仅当两个同频率正弦量的相量相等时，该两正弦量相等。，则有：若x1(t)与x2(t)同是角频率为的正弦量，且8.5相量法的几个引理第24页，共50页，2023年，2月20日，星期三即证毕.证明：第25页，共50页，2023年，2月20日，星期三引理3.微分引理：若x

(t)是角频率为的正弦量，且则也是角频率为的正弦量，且其相量为证明：设则证毕.第26页，共50页，2023年，2月20日，星期三例：求解：得第27页，共50页，2023年，2月20日，星期三8.6例题第28页，共50页，2023年，2月20日，星期三例1、在图1（a）的电路中，已知输出输出电压滞后于电源电压，，，试用相量图和上列已知条件确定电阻之值。图1（a）（b）第29页，共50页，2023年，2月20日，星期三（c）（d）（e）第30页，共50页，2023年，2月20日，星期三解：选为参考相量，令其大小为1V，作图1（b）。是流过此电容器的电流，其大小现可求得为。其相位则必超前于如图1（b）。电阻电压和同相位如图1（c），且至此可作相量其大小为第31页，共50页，2023年，2月20日，星期三电流超前于如图1（d），且其大小为又因为故从图1（d）可得。，故必在虚线题给超前于上，而与同相位，的实部为零，即可从图1（e）看出：和的水平分量（实部）必相互抵消，考虑到即得第32页，共50页，2023年，2月20日，星期三利用上面所确定的与之值，即可解出。第33页，共50页，2023年，2月20日，星期三例2、在图2（a）的电路中，已知：功率表的读数电压表的读数。求。图2（a）（b）第34页，共50页，2023年，2月20日，星期三解：由判知二并联支路的阻抗必相等，即故第35页，共50页，2023年，2月20日，星期三取电流为参考相量，则并联部分的两端电压和同相位，因为上面的式子已表明是一个纯电阻。由于则第36页，共50页，2023年，2月20日，星期三代入的表达式，得电路得输入端复阻抗则第37页，共50页，2023年，2月20日，星期三进而导出第38页，共50页，2023年，2月20日，星期三例3、电路如图3。已知负载和的复功率为试求每一电源所提供的复功率。图3第39页，共50页，2023年，2月20日，星期三解：取的电压、电流参考方向均自左向右，的电压、电流参考方向均自上而下，则可列出联解以上四式可得第40页，共50页，2023年，2月20日，星期三代入已知数据解得的两个值：进而得本题两组解答如下：（1）时第41页，共50页，2023年，2月20日，星期三故电压源和电流源所提供的复功率分别是（2）时第42页，共50页，2023年，2月20日，星期三故电压源和电流源所提供的复功率分别是第43页，共50页，2023年，2月20日，星期三例4、图4电路中的其余的元件参数如图所示，试计算从a，b端口能获得得最大功率。第44页，共50页，2023年，2月20日，星期三解：先求a，b端口得戴维南等效电路。为求等效阻抗，我们将电压短路，在a，b两点之间接的电流源，使之从b端流进网络，便可得故第45页，共50页，2023年，2月20日，星期三再计算开路电压，从电路图可得第46页，共50页，2023年，2月20日，星期三根据最大功率传输定理知，若在a，b端口联一复阻抗为的负载，便可获得最大功率第47页，共50页，2023年，2月20日，星期三例5、图5所示电路在音频正弦信号源的激励下工作。测得电压表读数为18V，功率表读数为32.4W，电流表读数为1A。并知：L1＝L2＝0.5H，Ls＝0.1HC