第六章 第四节 基本不等式

第六章第四节基本不等式第1页，共46页，2023年，2月20日，星期三第2页，共46页，2023年，2月20日，星期三一、基本不等式基本不等式不等式成立的条件等号成立的条件a＞0，b＞0a＝b第3页，共46页，2023年，2月20日，星期三二、常用的几个重要不等式(1)a2＋b2≥

(a，b∈R)(2)Ab

()2(a，b∈R)(3)

()2(a，b∈R)(4)＋≥

(a，b同号且不为零)2ab≤2≥第4页，共46页，2023年，2月20日，星期三上述四个不等式等号成立的条件是什么？提示：上述四个不等式等号成立的条件都是a＝b.第5页，共46页，2023年，2月20日，星期三三、算术平均数与几何平均数设a＞0，b＞0，则a，b的算术平均数为

，几何平均数为

，基本不等式可叙述为：

.两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数第6页，共46页，2023年，2月20日，星期三四、利用基本不等式求最值设x，y都是正数.(1)如果积xy是定值P，那么当

时，和x＋y有最小值

.(2)如果和x＋y是定值S，那么当

时积xy有最大值

.x＝yx＝y第7页，共46页，2023年，2月20日，星期三1.下列函数中，最小值为4的函数是(

)A.y＝x＋B.y＝sinx＋(0＜x＜π)C.y＝ex＋4e－xD.y＝log3x＋logx81答案：C第8页，共46页，2023年，2月20日，星期三2.设a、b∈R，已知命题p：a2＋b2≤2ab；命题q：()2

≤，则p是q成立的(

)A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析：命题p：(a－b)2≤0⇔a＝b；命题q：(a－b)2≥0.显然，p⇒q，但q

p，则p是q的充分不必要条件.答案：B第9页，共46页，2023年，2月20日，星期三3.当x＞1时，关于函数f(x)＝x＋，下列叙述正确的是(

)A.函数f(x)有最小值2B.函数f(x)有最大值2C.函数f(x)有最小值3D.函数f(x)有最大值3解析：∵x＞1，∴x－1＞0，答案：C+1=3第10页，共46页，2023年，2月20日，星期三4.已知＋＝2(x＞0，y＞0)，则xy的最小值是

.解析：2＝，所以xy≥15，当且仅当时等号成立.所以xy的最小值是15.答案：15第11页，共46页，2023年，2月20日，星期三5.某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4

万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费

与总存储费用之和最小，则x＝

.解析：每年购买次数为.∴总费用＝·4＋4x≥2＝160，当且仅当＝4x，即x＝20时等号成立，故x＝20.答案：20第12页，共46页，2023年，2月20日，星期三第13页，共46页，2023年，2月20日，星期三

1.利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，

其实质就是从已知的不等式入手，借助不等式性质和基本不

等式，经过逐步的逻辑推理，最后推得所证问题，其特征是“由因导果”.2.证明不等式时要注意灵活变形，多次利用基本不等式时，注

意每次等号是否都成立.同时也要注意应用基本不等式的变

形形式.第14页，共46页，2023年，2月20日，星期三(1)已知a＞0，b＞0，a＋b＝1，求证：＋≥4.(2)证明：a4＋b4＋c4＋d4≥4abcd.第15页，共46页，2023年，2月20日，星期三(1)利用a＋b＝1将要证不等式中的1代换，即可得证.(2)利用a2＋b2≥2ab两两结合即可求证.但需两次利用不等式，注意等号成立的条件.第16页，共46页，2023年，2月20日，星期三【证明】

(1)∵a＞0，b＞0，a＋b＝1，＝4(当且仅当a＝b＝时等号成立).∴＋≥4.∴原不等式成立.(2)a4＋b4＋c4＋d4≥2a2b2＋2c2d2＝2(a2b2＋c2d2)≥2·2abcd＝4abcd.故原不等式得证，等号成立的条件是a2＝b2且c2＝d2且ab＝cd.第17页，共46页，2023年，2月20日，星期三1.已知a、b、c∈R＋且a＋b＋c＝1，求证：第18页，共46页，2023年，2月20日，星期三证明：∵a、b、c∈R＋且a＋b＋c＝1，当且仅当a＝b＝c＝时取等号.第19页，共46页，2023年，2月20日，星期三1.利用基本不等式求最值需注意的问题(1)各数(或式)均为正；(2)和或积为定值；(3)等号能否成立，即“一正、二定、三相等”，这三个条件

缺一不可.2.合理拆分项或配凑因式是常用的技巧，而拆与凑的目标在于使等号成立，且每项为正值，必要时需出现积为定值或

和为定值.第20页，共46页，2023年，2月20日，星期三3.当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等

号成立，并且要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错，

因此在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件

不仅是解题的必要步骤，而且也是检验转换是否有误的一

种方法.第21页，共46页，2023年，2月20日，星期三4.基本不等式的几种变形公式对于基本不等式，不仅要记住原始形式，而且还要掌握它

的几种常见的变形形式及公式的逆运用等，如：第22页，共46页，2023年，2月20日，星期三求下列各题的最值.(1)已知x＞0，y＞0，lgx＋lgy＝1，求z＝的最小值.(2)x＞0，求f(x)＝＋3x的最小值.(3)x＜3，求f(x)＝＋x的最大值.

第23页，共46页，2023年，2月20日，星期三(1)由条件lgx＋lgy＝1得定值xy＝10，故可用基本不等式.(2)由x＞0，·3x＝36是常数，故可直接利用基本不等式.(3)因·x不是常数，故需变形.f(x)＝＋x－3＋3，又x－3＜0，故需变号.第24页，共46页，2023年，2月20日，星期三

【解】

(1)由已知条件lgx＋lgy＝1，可得xy＝10.则＝2.∴()min＝2.当且仅当2y＝5x，即x＝2，y＝5时等号成立.第25页，共46页，2023年，2月20日，星期三(2)∵x＞0，∴f(x)＝等号成立的条件是＝3x，即x＝2，∴f(x)的最小值是12.第26页，共46页，2023年，2月20日，星期三(3)∵x＜3，∴x－3＜0，∴3－x＞0，∴f(x)＝＋x＝＋(x－3)＋3＝－[＋(3－x)]＋3≤－2＋3＝－1，当且仅当＝3－x，即x＝1时，等号成立.故f(x)的最大值为－1.

第27页，共46页，2023年，2月20日，星期三2.解下列问题：(1)已知a＞0，b＞0，且4a＋b＝1，求ab的最大值；(2)已知x＞2，求x＋的最小值；(3)已知x＞0，y＞0，且x＋y＝1，求的最小值.第28页，共46页，2023年，2月20日，星期三解：(1)法一：∵a＞0，b＞0,4a＋b＝1，∴1＝4a＋b≥2当且仅当4a＝时，等号成立.∴所以ab的最大值为法二：∵a＞0，b＞0,4a＋b＝1，当且仅当4a＝b=时，等号成立.所以ab的最大值为第29页，共46页，2023年，2月20日，星期三(2)∵x＞2，∴x－2＞0，当且仅当x－2＝即x＝4时，等号成立.所以x＋的最小值为6.+2=6,第30页，共46页，2023年，2月20日，星期三(3)∵x＞0，y＞0，x＋y＝1，当且仅当时等号成立，由∴当时取等号.所以的最小值为25.第31页，共46页，2023年，2月20日，星期三在应用基本不等式解决实际问题时，要注意以下四点：(1)设变量时一般把求最大值或最小值的变量定义为函数；(2)建立相应的函数关系式，确定函数的定义域；(3)在定义域内只需再利用基本不等式，求出函数的最值；(4)回到实际问题中去，写出实际问题的答案.第32页，共46页，2023年，2月20日，星期三某养殖厂需定期购买饲料，已知该厂每天需要饲料200千克，每千克饲料的价格为1.8元，饲料的保管与其他费用为平均每千克每天0.03元，购买饲料每次支付运费300元.(1)求该厂多少天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少？(2)若提供饲料的公司规定，当一次购买饲料不少于5吨时其价格可享受八五折优惠(即为原价的85%).问该厂是否可以考虑利用此优惠条件？请说明理由.

第33页，共46页，2023年，2月20日，星期三

根据已知条件建立“购买天数x”与“平均每天支付的总费用”之间的函数关系式，然后利用基本不等式或函数的单调性解决.第34页，共46页，2023年，2月20日，星期三【解】

(1)设该厂每x(x∈N*)天购买一次饲料，平均每天支付的总费用为y1.∵饲料的保管与其他费用每天比前一天少200×0.03＝6(元)，∴x天饲料的保管与其他费用共是6x＋6(x－1)＋6(x－2)＋…＋6＝3x2＋3x(元).从而有y1＝(3x2＋3x＋300)＋200×1.8＝＋3x＋363≥423.当且仅当＝3x，即x＝10时，y1有最小值.即每10天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少.第35页，共46页，2023年，2月20日，星期三(2)若厂家利用此优惠条件，则至少25天购买一次饲料，设该厂利用此优惠条件，每x天(x≥25)购买一次饲料，平均每天支付的总费用为y2，则y2＝(3x2＋3x＋300)＋200×1.8×0.85＝＋3x＋309(x≥25).∵y2′＝－＋3，∴当x≥25时，y2′＞0，即函数y2在[25，＋∞)上是增函数，∴当x＝25时，y2取得最小值为396.而396＜423，∴该厂可以接受此优惠条件.第36页，共46页，2023年，2月20日，星期三3.经观测，某公路段在某时段内的车流量y(千辆/小时)与汽车

的平均速度v(千米/小时)之间有函数关系y＝(1)在该时段内，当汽车的平均速度v为多少时车流量y最大？

最大车流量为多少？(2)为保证在该时段内车流量至少为10千辆/小时，则汽车的

平均速度应控制在什么范围内？第37页，共46页，2023年，2月20日，星期三解：当散即v＝40(千米/小时)时，车流量最大，最大值为11.08(千辆/小量).(1)y=第38页，共46页，2023年，2月20日，星期三(2)根题意有化简得v2－89v＋1600≤0，即(v－25)(v－64)≤0，所以25≤v≤64.所以汽车的平均速度应控制在[25,64]这个范围内.第39页，共46页，2023年，2月20日，星期三第40页，共46页，2023年，2月20日，星期三从近几年的高考试题看，基本不等式的应用一直是高考命题的热点，在选择题、填空题、解答题中都有可能出现，它的应用范围涉及高中数学的很多章节，且常考常新，但是它在高考中却不外乎大小判断、求最值、求取值范围等.2009年湖北卷第17题考查了基本不等式的实际应用，代表了一个重要的高考方向.第41页，共46页，2023年，2月20日，星期三(2009·湖北高考)围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图所示.已知旧墙的维修费用为45元/米，新墙的造价为180元/米.设利用的