如何在初中数学课堂教学中巧用变式训练 论文

2022年安徽省中小学教育教学论文评选如何在初中数学课堂教学中巧用变式训练摘要：本文首先介绍了变式训练的概念以及几种常见的变式训练，然后概述了变式训练应遵守的基本原则，使授课者在授课过程中更好的运用变式训练；其次，展示了初中数学变式训练的设计案例，通过巧妙的变式训练，拓展了学生的思路，培养了数学能力，提高了应变能力。 关键词：变式训练；数学教学；巧用；思维

引言：变式训练在中学课堂上的应用十分广泛，从最基本的概念、定理到题目的探究、思维 的拓展等都起到重要的作用。它使学生在学习过程中产生了兴趣，对概念的理解掌握将更 好的认识，对公式定理的运用将更加熟练，对思维能力的拓展也将有着很大的益处，提高 了学生思维的灵活性，在条件与结论的置换中，使学生的逆向思维能力和对题目的应变能 力得到了提高和发展。因此，在本文中将讲述了如何在中学数学课堂上巧用变式训练，使 得学生能够合理巧妙的运用变式训练进行简单快速的解题。一.变式训练在初中数学教学中应遵守的基本原则在中学数学教学过程中，教师在教授学生使用变式训练这种方式、方法一定要合理、合适，要让学生能够接受。因此，教师在运用过程中要遵守以下几个原则：原则一：以掌握基础知识为原则。熟练掌握相应的基础知识，完善自己的认知结构为目的，变式训练不乏为一种简单而有效的方法。原则二：以掌握数学思想方法为原则。数学思想是数学的灵魂，隐藏于教材之中，学生很难思考到，因此，教师就要合理的运用变式训练引导学生发现其思想。原则三：以训练学生的思维品质的原则。学生在学习数学过程中，思维的灵活性和敏捷性尤为重要。因此，教师在教学过程中要选择适当的变式进行训练。原则四：以培养学生的探究能力为原则。现在的学习不可像以前“填鸭式”的教学，而更倾向于学生的自我探究而得出结论、方法，这样才能更加深刻的掌握知识，理解知识，运用知识。二.变式训练在初中数学教学中的设计与案例1.1改变条件例1如图1，在△ABC中，AB=AC=10,BC=8，点F是BC的中点，12022年安徽省中小学教育教学论文评选∠DFE=∠B,点D、F分别在AB、AC上。（1）证明△BDF∽△CFE；（2）设BD=t，CF=s，求与的关系式，并写出的取值范围；（3）△s t tDEF是否为等腰三角形？若是，求出相应的的值。tAAEFDEBDCBFC图1图2变式1如图2，在△ABC中，AB=AC=10,BC=8，点F是BC上的一点，BF=,4∠DFE=∠B,点D、F分别在AB、AC上。（1）证明△BFD∽△CFE；（2）设BE=t,CF=s,求与的关系式，并写出的取值范围；（3）△s t tDEF是否为等腰三角形？若是，求出相应的的值。t分析虽然条件“点F是BC的中点”变为“点F是BC上一点，BF=2”，但是条件AB=AC,∠DFE=∠B都没有发生变化，所以△BDF与△CFE是相似的；第（2）、（3）问只是条件发生了稍微的改变，解法仍然是相同的。变式2如图3，在△ABC中AB=AC=10，cosB=4/5,M为BC上一点（且不与点B、C重合），∠AMN=∠B,点N在AC上。（1）求证：△ABM∽△MCN；（2）设BM=,CE=s，求与的解析式；（3）当△s t MCN为直角三角形时，求对应的BM的值为多少？ANBMC22022年安徽省中小学教育教学论文评选图3分析虽然题目从大体上看发生了很大的改变，但是从内容上，将会发现其本质并未变。从“AB=AC=10,cosB=4/5”我们可以求出BC的长度为16，其他条件未发生改变，因此，在证明△ABM∽△MCN上仍然不会出现变化，求与的关系式，只需s t由三角形相似的比例关系式即可求出，（3）中的BM的取值，根据分类讨论的结果，很简单的就可求出其值。注合理地运用变式训练，把数学中的概念、性质、定理、法则进行的分析，使学生能够牢固的掌握并运用，达到学以致用的地步。让学生在自己的推导过程中，可以发现、思考、总结，以不同的条件而得出相同的结论，找到知识之间的规律与联系，进而找到思维的相通，有时也可以运用改变结论与条件的互换，使学生的思维能够逆向，熟练地判断命题懂得真假。而变式训练最重要的是，拓展了学生的思维，丰富了学生的想象力，培养学生对解题的模式，以达到快速、准确地解决问题的目的。1.2改变结论例2已知，如图4，在△ABC中，∠A=2∠B，CM是△ABC的角平分线。求证：BC=AC+AM。变式1将结论改为“线段AC、AM、BC之间的数量关系如何？”变式2将结论“BC=AC+AM”与“∠A=2∠B”对换，条件成结论成立吗？若成立，请说出理由。注通过改变结论，使学生多方面的考虑问题，也可改变条件与结论的位置，培养学生的逆向思维能力。BMACA图5EFCDB图41.3改变解法32022年安徽省中小学教育教学论文评选例3已知：如图5，在梯形ABCD中，AD∥BC,,以AB、BC为边作平行四边形ABDE，连结CE，线段AD的延长线与CE相交于点F。求证：EF=FB。证法较多，但是主要是添加辅助线的位置不同而已，但是结论是一样的，因此，证法如下：（1）延长ED，与AC相交于点M；EM。（2）连结BE，与AD相交于点N；（3）过E点作EM⊥AF于M，EN⊥BC于N；（4）过点E作EM∥BC，且与AD的延长线相交M；（5）过点F作FM∥AB，与BC相交于点M；（6）过点F作FM∥BD，与AB相交于点M；（7）过点C作CM∥AB，与DF的延长线相交于点M，并连结1.4多角度变化例4如图6，C是BE上的一点，△ABC和△DCE都是正三角形，求证BD=AE。分析证△ACE≌△BCDAAGDNMFCBCEB图5图6变式1 C为BE上的点，△ABC△DCE均为正三角形，AC与BD相交于点M，AE与CD相交于点N：（1）求证：CM=CN；（2）求证△ACN≌△BCM；（3）连结MN，求证：△CMN也为正三角形；（4）求证：MN∥BE。变式2 C为BE上的点，△ABC△DCE均为正三角形，在BD,AE上分别取中点M,N。求证：△AMN是正三角形。42022年安徽省中小学教育教学论文评选AC变式3如图7，△ABM与△NCM均为全等三角形，连结BN,AC,求证BN等于。分析本题不难，与原题并没有有着太大的变化，均需要运用两个三角形的全等，即只需证明△BNC≌△ACN即可。变式4如图8，△ABC，△CDE均为正三角形，求证AE=BD。分析只是去掉了条件“C是BE上的一点”，但是解题的方法和思路并没有改变，仍然只需证明△ACE与△BCD全等即可。D ACAFEDEBBC图7图8变式5如图9，△ABC，△CDE均为正三角形，B、E、F三点共线。求证：（1）BE=AD；（2）求∠AFB的度数。分析我们通过三角形全等的判定条件，可以很得知△BCE≌△ACD，可知BE=AD,∠EBC=∠DAC，所以∠ABF与∠BAF的和为120°，由三角形的内角和定理可知，得∠AFB为60°。变式6如图10，以A点为公共点分别作正方形ABCD和正方形AEFG,连结BG,DG,DE。求证：BG=DE。分析证法一样，即需证△ABG≌△ADE即可。变式7如图11所示，以B点为公共顶点作两个正方形ABCD和BEFG，连结AG,EC。求证：AG=EC。分析证法与上式的证法一样。52022年安徽省中小学教育教学论文评选EADGADBCFBGEFC图9图101.5一图多用例5如图12，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BM⊥AC于点M。运用上述条件和此图，求以下各题BAMC图12变式1已知∠C=40°，则∠A=▁，∠ACB=▁，∠BCM=▁.变式2已知∠A=60°，则AB：AC=▁，AM：AC=▁，AM：MB=▁。变式3已知AB：BC=2：，则AM：MB=▁ ，若AM=,3BM=,8则tanA=▁。变式4已知AM：BM=1：2，则S△ADB：S△BMC=▁,若AM：MB=2：3，则S△ADC：S△BDC=▁。1.6一题多探例6已知：如图13，在等腰△ABC中，分别取AB、AC的中点D、E。求证：BE=CD。AC于E点，作CD⊥AB于D,变式1已知：如图14，在等腰△ABC中，作BE⊥求证BE=CD。62022年安徽省中小学教育教学论文评选BFAABCBAjDEDECC图13图14中，AD=变式2已知：如图15，在等腰△AE，求证：BE=CD。为变式3已知：如图16，在等腰△ABC中，CD、BE均为△ABC的中线，且交点。求证：BF=CF。分析变式1、变式2都将原题中的个别条件进行简单的变换，所求的结论是相同的，而变式3则是将原题进一步延伸，进一步考虑，但是解法都是一样的，都要证明两个三角形的全等来判定两条线段的相等。A

ADEDEFB图15CB图16C在这里我们只是简单的介绍了中学数学课堂上经常用到的变式训练的题型，我们还可以通过改变题型、改变数据、改变问法、改变难度等方式对学生进行变式训练。总之，教师在教学过程中，要合理的巧妙的运用变式训练，使学生的思维能力得到提高，掌握解题的思维模式，更好、更快、更准确的解决问题，以达到事半功倍的效果。三.变式训练在初中数学教学中的作用2.1变式训练激发学生学习兴趣以往的教学过程，更多的倾向于“填鸭式”的教学方法，即老师在课堂上不停的讲，72022年安徽省中小学教育教学论文评选而学生只是一味的听课，汲取知识，教师教授多少知识，学生最多只能全部接受，而较多的确实短暂的记忆，很快就将会遗忘，学生会感到学习是十分的枯燥无味，丝毫提不起一点兴趣，但是变式训练则很好的弥补了这一点，学生通过同一类型的题目，由浅入深，循序渐进，由简入繁，引起对学习的兴趣，逐渐达到自主学习、在学习中寻找快乐的目的，真正做学习的主人，而教师只是引导者。案例1：如图17，在△ABC中，∠A=70°，点D是△ABC的内心，求∠BDC的大小。本题主要考察内心的性质，由D为△ABC的内心，可运用角平分线的性质来解决，因此可知∠BDC=125°。ADBC图17变式1：如图17，在△ABC中，点D是△ABC的内心，求证：∠BDC=90°+1/2∠A对于这个变式，将会使学生感到迷茫，由求角的度数的问题直接过渡到两个角的关系，跨度可谓不小，初看会畏惧这类题，但是仔细分析，将会发现并没有想象的那么难，可作出以下证明：点D是内心∠A90-1/2∠A∴BD、CD分别为∠ABC、∠ACB的角平分线∴∠DBC=1/2∠ABC,∠DCB=1/2∠ACB∴∠DBC∠DCB1/2∠ABC∠ACB1/2180-∴∠BDC=180°-(∠DBC+∠DCB)=90°+1/2∠A2.2变式训练促进定理教学概念定理对于学生一般来说都是枯燥无味的，较难记忆，但是对于学习内容上的理解掌握、运用却又是极为重要的，是中学课堂上不可或缺的。可是又该怎么让学生很好82022年安徽省中小学教育教学论文评选的掌握利用呢？此时，变式训练变起到了作用，让学生能够通过简单有效的比较，很好、很快的记住运用这些（如上文提到的“概念的变式训练”和“公式、定理的变式训练”）。案例2：如图18，已知线段AB与⊙O相交于点C,并且OA=OB,CA=CB,那么线段AB是圆O的切线吗？为什么？证明一条线段是不是一个圆的切线，很明显要用到切线定理，此题很显然要连结OC，这样我们就构造出两个三角形，易证△OAC≌△OBC，OC⊥AB。∴线段AB是⊙O的切线。变式：如图19，OA=5cm,AB=8cm，⊙O的直径是6cm，线段AB与⊙O相切吗？请说明理由。O OA C B A B图18 图19此题一出，刚做完上题，学生便会很想当然的认为也是直接连结OC，然后求解即可，但是并不如此，因为此题并没有交点C，因此有的同学就会想当然的认为自己标上C，证明方法与上题一样；但是有的同学则会过O作OC垂直AB于点C，然后求出OC的值，与圆O的半径大小进行比较，若相等，即OC即为AB的切线。很显然，第一种同学的做法有点想当然了，学生在此OA=OB,AB=BC这是题中未给出，因此是不能使用的，因此第一种想法是错误的，而第二种同学的想法就会很简单的求出OC=3，与圆O的半径值相等，即线段AB与⊙O相切。概念、法则、定理等具有相似性，学生因为掌握知识的不牢固，使得在使用时经常会出现混淆的事情的发生，而取得错误的答案，而此题通过另一角度很好的揭示了学生学习的死角，因此很使学生客观的了解问题的本质，运用定理定义等，简单有效的解决问题。2.3变式训练活化学生思维变式即是对例题、习题等进行条件、结论的变换甚至原来条件的延伸，引导学生进行多方面多角度考虑、变换，从而使学生抓住本题的本质，使学生思维的灵活性，敏捷92022年安徽省中小学教育教学论文评选性都得到发展，拓展其想象力。案例3：如图20，在△ABC中，延长BA至E点，过A点作AD∥BC，且AD为∠EAC的角平分线。求证：AB=AC。变式1：如图20，在△ABC中，延长BA至E点，AB=AC过A点作AD平分∠EAC。求证：AD∥BC。变式2：如图21，在△ABC中，延长BA至E点，过A点作AD∥BC，且AD为∠EAC的角平分线，AF是△ABC边BC上的中线。求证：AF⊥AD。E E EA D A D A GDB C B F C B F C图20 图21 图22变式3：如图22，在△ABC中，延长BA至E点，过A点作AD∥BC，且AD为∠EAC的角平分线，，过点C作CG⊥AD，垂足为G，F是BC的中点，连结FG.（1）AC与FG有何数量关系？说明理由。（2）当AC⊥FG时，△ABC是什么三角形？变式1、2都是很简单的进行题目的条件、结论的置换和题目的是稍微延伸，使学生能够对等腰三角形的判定知识的掌握做到进一步的理解、认识，同时又是又对学生进行下一步的操作提供一定的思路，培养了学生的思维的推理能力，而变式3则是对题目的难度进一步提升，对知识的综合性的运用将会更多，因此执教者在教学过程中应当良好的运用课堂课下，使学生有思考、讨论、交流等，最好能够让学生自己探索出解题的步骤，思路，在学生思