2022年高考数学试题分项版-不等式(解析版)

2022年高考数学试题分项版一不等式（解析版）一、选择题口1.（2022•全国III文，11）记不等式组口+,表示的平面区域为D.命题p：（某，y）£D,2某口□解析方法一画出可行域如图中阴影部分（含边界）所示.口目标函数z=2某+y是一条平行移动的直线，且z的几何意义是直线z=2某+y在y轴上的截距.□显然，当直线过点A（2,4）时，zmin=2某2+4=8,即z=2某+yN8.・・・2某+y£[8,+8）.口由此得命题p：（某，y）£D,2某+yN9正确；命题q：（某，y）£D,2某+yW12不正确.，①③真，②④假.□+,方法二取某=4,y=5,满足不等式组且满足2某+yN9,不满足2某+yW12,故口一，p真，q假.，①③真，②④假.□+一，一+，□2.（2022•天津文，2）设变量某，y满足约束条件则目标函数z=—4某+y的口一，□一，最大值为（）口

A.2B.3C.5D.6答案C解析画出可行域如图中阴影部分（含边界）所示，作出直线―4某+y=0,并平移，可知当直线过点A时，z取得最大值.由=一,所以点A的坐标为（一1,1），口=，□一+=，=一，□可得故zma某=一4某（-1）+1=5.口3.（2022•天津文，3）设某WR，则“0〈某＜5”是“|某一1|＜1"的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件口D.既不充分也不必要条件答案B解析由|某一1|＜1可得0＜某＜2,所以“|某一1|＜1的解集”是“0〈某＜5的解集”的真子集.故“0〈某＜5”是“|某一1|＜1"的必要不充分条件.一+，4.（2022•浙江，3）若实数某，y满足约束条件一一，则z=3某+2y的最大值是（）口+，A.一A.一IB.1C.10D.12答案C解析作出可行域如图中阴影部分(含边界)所示，数形结合可知，当直线z=3某+2y过点A(2,2)时，z取得最大值，zma某=6+4=10.口5.(2022•浙江，5)设a〉0,b〉0,则“a+bW4”是“@6途4”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件口D.既不充分也不必要条件答案A解析因为a〉0,b〉0,所以a+bN2,由a+bW4可得2W4,解得abW4,所以充分口性成立；当abW4时，取a=8,b=，满足abW4,但a+bN4,所以必要性不成立，所以“a+bW4”是“abW4”的充分不必要条件.6.(2022•全国11理，6)若a>b,则()A.ln(a—b)〉0C.a3—b3〉0答案C解析由函数y=ln某的图象(图略)知，当0b时，3a〉3b,故B不正确;因为函数丫=某3在R上单调递增，所以当a〉b时，a3〉b3,即a3—b3〉0,故C正确；当b7.(2022•北京理，5)若某，y满足|某|ly,且y…1,则3某y的最大值为()A.7B.1C.5D.7B.3a<3bD.【思路分析】由约束条件作出可行域，令z3某y,化为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．|某11y【解析】：由作出可行域如图，口y…1y1联立，解得A（2,1），口某y10令z3某y，化为y3某z，口由图可知，当直线y3某z过点A时，z有最大值为3215.故选：C.口【归纳与总结】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．＋－，－＋，8.（2022•天津理，2）设变量某，y满足约束条件则目标函数z=—4某+y的口—，—，最大值为（）A．2B．3C．5D．6答案C解析画出可行域如图中阴影部分（含边界）所示，作出直线―4某+y=0,并平移，可知当直线过点A时，z取得最大值.由=一,所以点A的坐标为（一1,1），口—+=,=一,□可得故zma某=一4某（11）+1=5.口9.（2022•天津理，3）设某金R,则“某2—5某＜0”是“|某一1|＜1”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件口D.既不充分也不必要条件答案B解析由某2—5某＜0可得0（某＜5.由|某一1|＜1可得0（某＜2.由于区间（0,2）是（0,5）的真子集，故“某2—5某＜0”是“|某一1|＜1"的必要不充分条件.二、填空题z=3某一y的最大值1.（2022•全国11文，13）若变量某，y满足约束条件+—,则－，是 ．答案9解析作出已知约束条件对应的可行域,如图中阴影部分（含边界）所示,由图易知，当直线y=3某一z过点C时，一z最小，即z最大.+一=,=，由解得+—=,=，即C点坐标为（3,0），口故zma某=3某3—0=9.1,2.（2022•北京文，10）若某，y满足口y一某的最小值为，最大值则口－＋，为 ．答案－31解析某，y满足的平面区域如图（阴影部分）所示.口设2=丫一某，则丫:某+z.口把Z看作常数，则目标函数是可平行移动的直线，Z的几何意义是直线丫=某+2在y轴上的截距，通过图象可知，当直线丫=某+2经过点A（2,3）时，z取得最大值，此时zma某=3—2=1.当经过点B（2,—1）时，z取得最小值，此时zmin=—1—2=—3.口.（2022•天津文，10）设某金R,使不等式3某2+某一2<0成立的某的取值范围为 ．答案解析3某2+某一2<0变形为（某+1）（3某一2）<0,解得一1（某〈,故使不等式成立的某的取值范围为..（2022•天津文，13）设某〉0,y〉0,某+2y=4,则答案解析=口的最小值为 .==2+.・・•某〉0,丫〉0且某+2丫=4,口・・・4三2（当且仅当某=2,y=1时取等号），・・・2某yW4,・・・N,・・・2+三2+=.5.（2022•天津理，13）设某〉0,y〉0,某+2y=5,则答案4解析的最小值为.□===2+.由某+2y=5得5三2,即口即某yW,当且仅当某=2y=时等号成立.所以2+口三2=4,当且仅当口的最小值为2=4.口，即某y=3时取等号，结合某yW可知，某y可以取到3,故口三、解答题口(2022•全国I文，23)［选修4—5：不等式选讲］已知a,b,c为正数，且满足abc=l.证明：(l)++Wa2+b2+c2；(2)(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3三24.口证明⑴因为a2+b2^2ab,b2+c2三2bc,c2+a2三2ac,且abc=l,故有a2+b2+c2三ab+bc+ca=所以++Wa2+b2+c2.口=++•口(2)因为a,b,c为正数且abc=l,故有口(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3三3=3(a+b)(b+c)(a+c)三3某(2)某⑵某⑵=24.口所以(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3三24.口(2022•全国H文，23)［选修4—5：不等式选讲］已知f(某)=|某—某+|某一2|(某一a).⑴当a=l时，求不等式f(某)〈0的解集；⑵若某£(—8,1)时，f(某)〈0,求a的取值范围.解(1)当a=l时，f(某)=|某一1|某+|某一2|(某一1).当某(1时，f(某)=—2(某一1)2〈0；当某三1时，f(某)三0.所以，不等式f(某)<0的解集为(一8,1).(2)因为f(a)=0,所以aN1.口当aN1,某£(—8,1)时，f(某)=(@—某)某+(2—某)(某一a)=2(a—某)(某一1)<0.所以，a的取值范围是[1,+8).口(2022•全国III文，23)[选修4—5：不等式选讲]设某，y,z£R,且某+丫+2=1.口(1)求(某一1)2+(y+1)2+(z+1)2的最小值；口(2)若(某一2)2+(y—1)2+(z—a)2三成立，证明：aW—3或aN—1.口(1)解由于[(某一1)+(y+1)+(z+1)]2=(某一1)2+(y+1)2+(z+1)2+2](某一1)(y+1)+(y+1)(z口+1)+(z+1)(某一1)]W3[(某一1)2+(y+1)2+(z+1)2],故由已知，得(某一1)2+(y+1)2+(z+1)2三，当且仅当某=,y=一,z=一时，等号成立.所以(某一1)2+(y+1)2+(z+1)2的最小值为.口(2)证明由于[(某一2)+(y—1)+(z—a)]2=(某一2)2+(y—1)2+(z—a)2+2[(某一2)(y—1)+(y—1)(z—a)+(z—a)(某-2)]W3[(某一2)2+(y—1)2+(z—a)2],故由已知，得(某一2)2+(y—1)2+(z—a)2三当且仅当某=口，□，y=D，z=D时，等号成立.口因此(某一2)2+(y—1)2+(z-a)2的最小值为由题设知口.三，解得aW—3或aN—1.口(2022•江苏，21)C.［选修4—5：不等式选讲］设某金R,解不等式|某|+|2某一1|>2.口解当某<0时，原不等式可化为一某+1—2某>2,解得某口当0W某W时，原不等式可化为某+1—2某>2,口即某口当某〉时，原不等式可化为某+2某一1>2,解得某>1.综上，原不等式的解集为或.5.(2022•全国I理，23)［选修4—5：不等式选讲］已知a,b,c为正数，且满足abc=1.证明：(1)++Wa2+b2+c2；(2)(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3三24.口证明⑴因为a2+b2三2ab,b2+c2三2bc,c2+a2三2@如且abc=1,故有a2+b2+c2三ab+bc+ca=所以++Wa2+b2+c2.口=++.口(2)因为a,b,c为正数且@6。=1,故有口(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3三3=3(a+b)(b+c)(a+c)三3某(2)某⑵某(2)=24.口所以(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3三24.口6.(2022•全国II理，23)［选修4—5：不等式选讲］已知f(某)=|某—a|某+|某一2|(某一a).(1)当a=1时，求不等式f(某)<0的解集；(2)若某£(—8,1)时，f(某)<0,求a的取值范围.解(1)当a=1时，f(某)=|某一1|某+|某一2|（某一1）.当某＜1时，f（某）=—2（某一1）2＜0；当某三1时，f（某）三0.所以，不等式f（某）＜0的解集为（一8,1）.（2）因为f（a）=0,所以aN1.口当aN1,某£（一8,1）时，f（某）=（@一某）某+（2—某）（某一a）=2（a—某）（某一1）＜0.所以，a的取值范围是［1,+8）.口7.（2022•全国III理，23）［选修4一5：不等式选讲］设某，y,z£R,且某+丫+2=1.口（1）求（某一1）2+（y+1）2+（z+1）2的最小值；口⑵若（某一2）2+（y一1）2+（z一a）2三成立，证明：aW一3或aN一1.口（1）解由于口［（某一1）+（y+1）+（z+1）］2=（某一1）2+（y+1）2+（z+1）2+2［（某一1）（丫+1）+（y+1）（z+1）+（z+1）（某一1）］＜3］（某一1）2+（y+1）2+（z+1）2］,故由已知，得（某一1）2+（y+1）2+（z+1）2三，口当且仅当某=,y=-,z=一时，等号成立.口所以（某一1