辽宁省沈阳市2017届高三第三次模拟考试-数学(理)

2017年沈阳市高中三年级教学质量监测（三）数学(理科)第Ⅰ卷(共60分)选择题:（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）若集合，且，则集合可能是（）

A.B.C.D.设为虚数单位，则满足的复数在复平面内所对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限已知双曲线，则其焦距为（）

A.B.C.D.已知向量与不共线，，，则与共线的充要条件是（）

A.B.C.D.开始输入是输出结束否若，则的值为（）

A.B.C.开始输入是输出结束否按右图所示的程序框图，若输入，则输出的=（）

A.14B.17C.19D.21《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中提到了一种名为“刍甍”的五面体（如图）：面为矩形，棱.若此几何体中，，和都是边长为的等边三角形，则此几何体的表面积为（）

A.B.C.D.在如图所示的矩形中随机投掷30000个点，则落在曲线下方（曲线为正态分布的正态曲线）的点的个数的估计值为（）

A.4985B.8185C.9970D.24555

附：正态变量在区间内取值的概率分别是.已知直线与抛物线交于两点（在轴上方），与轴交于点，，则（）

A.B.C.D.已知某三棱锥的三视图如图所示，图中的个直角三角形的直角边长度已经标出，则在该三棱锥中，最短的棱和最长的棱所在直线的成角余弦值为（）

A.B.C.D.

数列的前项和为，，，则=（）

A.B.C.D.已知函数，给出以下四个命题：

①，有；

②且，有；

③，有；

④，.

其中所有真命题的序号是（）

A.①②B．③④C．①②③D．①②③④（Ⅰ）求函数的最小值；

（Ⅱ）且的中点为，求证：.

请考生在22，23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B铅笔在答题卡把所选题目对应的标号涂黑．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程已知曲线的参数方程为，在同一平面直角坐标系中，将曲线上的点按坐标变换得到曲线，以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.

（Ⅰ）求曲线的极坐标方程；

（Ⅱ）若过点（极坐标）且倾斜角为的直线与曲线交于两点，弦的中点为，求的值.

（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲

已知正实数，函数.

（Ⅰ）若，解关于的不等式；

（Ⅱ）求证：.2017年沈阳市高中三年级教学质量监测（三）数学（理科）参考答案与评分标准说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分.一、选择题：1.A2.A3.D4.D5.C6.A7.B8.B9.B10.A11.C12.D11.解析：由和，可知数列唯一确定，并且，猜测，经验证是满足题意的唯一解。选C.12.解析：易证①是真命题；由，可知②是真命题；由于在单调递增，可知③是真命题；设，则当时，，所以在单调递增，所以当时，，即；由奇函数性质可知④是真命题；选D.二.填空题：13.914.-615.716.60°16.解析：由已知可得点在如图所示的平面区域内（包含边界）运动，易知点位于圆外，则当最大时，应有所在直线与圆相切，且点位于离圆心最近的处；此时，圆心到直线的距离，所以在中，所以，同理，此时.三.解答题：17．解：（Ⅰ）解：由图象可知，所以，

又因为，所以.…………3分

因为，所以，解得.

从而.由图象可知，所以；……6分

（Ⅱ）由，得，且，解得.……8分

因为，由正弦定理得.………10分

又由余弦定理，及和可解得.……12分18．解：（Ⅰ）城市评分的平均值小于城市评分的平均值；………………2分

城市评分的方差大于城市评分的方差；…………4分

（Ⅱ）

……………6分

………………7分

所以没有95%的把握认为城市拥堵与认可共享单车有关；…………8分

（Ⅲ）设事件：恰有一人认可；事件：来自城市的人认可；

事件包含的基本事件数为，……………10分

事件包含的基本事件数为，

则所求的条件概率…………12分

19．解：（Ⅰ）设中点为，连，则截面为所求，……3分

分别为的中线，所以，

又为平面内的两条相交直线，所以平面，…………6分

（Ⅱ）以为原点，方向为轴方向建立如图所示的空间直角坐标系，

易求得，

，

……………………8分

设平面的一个法向量为，

由解得平面的一个法向量为，…10分

，

所以与平面所成角的正弦值为…………………12分20．解：（Ⅰ）设椭圆的标准方程为

椭圆过点，所以①，………………2分

将代入椭圆方程化简得：，

因为直线与椭圆相切，所以②，…………4分

解①②可得，，所以椭圆方程为；……6分

（Ⅱ）设点，则有，

由题意可知，所以，设直线的方程为，

代入椭圆方程并化简得：

由题意可知③………8分

通分后可变形得到………………10分

将③式代入分子

所以斜率之和为定值.…………………12分21．解：（Ⅰ），求导得

当时，，在上为增函数，不满足有两个零点，故不合题意；

所以，令，解得，………2分

并且有；，

故.………4分

（Ⅱ）证明：要证成立，即证，不妨设，只需证，

即为，

要证只需证，令，

只需证，求导

在为增函数，故，…………8分

要证，只需证明，令，

求导，

在为减函数，故，；

所以，成立，

成立。………………12分22．解：（Ⅰ），……………2分

将，代入的普通方程可得，…………4分

即，所以曲线的极坐标方程为……5分

（Ⅱ）点的直角坐标是，将的参数方程（为参数）

代入，可得，……………