第五章布朗运动与鞅

第五章布朗运动与鞅1第1页，共11页，2023年，2月20日，星期三随机游动与布朗运动考虑在直线上的无限随机游动：质点每经过Δt时间，随机地以概率p=0.5向右移动Δx>0；以概率q=0.5向左移动Δx，且每次移动相互独立。令则质点在时刻t的位置X(t)可表示为：其均值和方差为：第2页，共11页，2023年，2月20日，星期三Δt和Δx的取值：使得DX(t)在Δt和Δx趋于零时，极限有意义。如：Δt

=Δx，当Δt->0，DX(t)->0，则X(t)=0，a.s.若取Δt

=Δx3

，当Δt->0，DX(t)->∞，不合理。一般情况下，有此时：第3页，共11页，2023年，2月20日，星期三X(t)为独立同分布的随机变量之和，由中心极限定理，可得：1）X(t)~N(0,σ2t);

随机游动的值在不相重叠的时间区段内相互独立，得2）X(t)是独立增量过程；在任一时间区间随机游动的值仅与时长有关，得3）X(t)是平稳增量过程第4页，共11页，2023年，2月20日，星期三布朗运动定义1：随机过程{W(t)，t≥0}，如果满足：1）W(0)=0；2）W(t)是独立、平稳增量过程；3）对任意t>0，W(t)服从正态分布N(0,σ2t)。则称{W(t)，t≥0}为维纳过程，或称为布朗运动（B(t)，t≥0

）。如果σ=1，称为标准布朗运动。一般布朗运动可用{W(t)/σ，t≥0}变换成标准布朗运动，后面我们假定都是标准布朗运动。第5页，共11页，2023年，2月20日，星期三布朗运动定义2：随机过程{B(t)，t≥0}为布朗运动，如果满足：1）（正态增量）B(t)-B(s)~N(0,t-s)；2）（独立增量）B(t)-B(s)独立于过去的状态B(v)，0≤v≤

s；3）（轨道连续）{B(t)，t≥0}的轨道是t的连续函数。注：并未强调B(0)=0，如果B(0)=x，可用B(t)-x进行变换。定理：设{B(t)，t≥0}是正态过程，轨道连续，B(0)=0，对任意的s，t>0，有EB(t)=0，E[B(s)B(t)]=min(s,t)，则{B(t)，t≥0}为布朗运动，反之亦然。第6页，共11页，2023年，2月20日，星期三推论：设{B(t)，t≥0}为布朗运动，则：例：设{B(t)，t≥0}为标准布朗运动，计算P{B(2)≤

0}及P{B(t)≤

0，t=1,2}

。第7页，共11页，2023年，2月20日，星期三第8页，共11页，2023年，2月20日，星期三布朗运动的轨道从时刻0到时刻T对布朗运动的一次观察称为布朗运动在区间[0,T]上的一条轨道或路径。1）是t的连续函数；2）在任何点都不可微轨道的基本性质第9页，共11页，2023年，2月20日，星期三鞅的定义与例博弈问题：博弈者进行一序列博弈（轮盘赌），每次博弈输和赢的概率相同，每次的下注额自定。问博弈者采用何种下注方式赢面大？定义：随机过程{Xn，n≥0}称为关于{Yn，n≥0}的下鞅，如果对n≥0，Xn是{Y0,

…,Yn}的函数，EXn<∞，且E[Xn+1|Y0,

…,Yn]≥Xn。定义：随机过程{Xn，n≥0}称为关于{Yn，n≥0}的上鞅，如果对n≥0，Xn是{Y0,

…,Yn}的函数，EXn<∞，且E[Xn+1|Y0,

…,Yn]≤Xn。若{Xn，n≥0}同时是关于{Yn，n≥0}的上鞅和下鞅，则称之为关于Yn的鞅。鞅描述的是“公平”的博弈，下鞅和上鞅则是“有利”和“无利”的博弈。第10页，共11页，2023年，2月20日，星期三定理：设{Xn，n≥0}是关于{Yn，n≥0}的鞅，则

1）对任意的0<m<n，有E[Xn|Ym,

…,Yn]=Xm；

2）对任意n，EXn=X0例：独立随机变量之和与积

1）设Y0=0，{Yn，n≥0}是独立的中心化随机变量序列，E|Yn|<∞，定义X0=0，则Xn=Y1+…+Yn是鞅；

2）设Y0=0，{Yn，n≥0}是独立的中心化随机变量序列，E