高中数学不等式与不等式组知识点

高中数学不等式与不等式组知识点1不等式与不等式组的数轴穿根解法

数轴穿根：用根轴发解高次不等式时，就是先把不等式一端化为零，再对另一端分解因式，并求出它的零点，把这些零点标在数轴上，再用一条光滑的曲线，从x轴的右端上方起，一次穿过这些零点，这大于零的不等式地接对应这曲线在x轴上放部分的实数x得起值集合，小于零的这相反。

做法：

1.把全部X前的系数都变成正的(不用是1,但是得是正的);

2.画数轴,在数轴上从小到大依次标出全部根;

3.从右上角开头,一上一下依次穿过不等式的根，奇过偶不过(即遇到含X的项是奇次幂就穿过,偶次幂跨过，后面有具体介绍);

4.留意看看题中不等号有没有等号,没有的话还要留意写结果时舍去使使不等式为0的根。

例如不等式:x2-3x+20(最高次项系数肯定要为正，不为刚要化成正的)

⒈分解因式:(x-1)(x-2)0;

⒉找方程(x-1)(x-2)=0的根:x=1或x=2;

⒊画数轴,并把根所在的点标上去;

⒋留意了,这时候从最右边开头,从2的右上方引出一条曲线,经过点2，连续向左画,类似于抛物线，再经过点1，向点1的左上方无限延长;

⒌看题求解,题中要求求0的解，那么只需要在数轴上看看哪一段在数轴及数轴以下即可,观看可以得到：1x2。

高次不等式也一样.比方说一个分解因式之后的不等式：

x(x+2)(x-1)(x-3)0

一样先找方程x(x+2)(x-1)(x-3)=0的根

x=0，x=1，x=-2，x=3

在数轴上依次标出这些点.还是从最右边的一点3的右上方引出一条曲线,经过点3,在1、3之间类似于一个开口向上的抛物线，经过点1;连续向点1的左上方延长，这条曲线在点0、1之间类似于一条开口向下的曲线，经过点0;连续向0的左下方延长，在0、-2之间类似于一条开口向上的抛物线，经过点-2;连续向点-2的左上方无限延长。

方程中要求的是0，

只需要观看曲线在数轴上方的部分所取的x的范围就行了。

x-2或03。

⑴遇到根是分数或无理数和遇到整数时的处理方法是一样的,都是在数轴上把这个根的位置标出来;

⑵"奇过偶不过'中的"奇、偶'指的是分解因式后,某个因数的指数是奇数或者偶数;

比如对于不等式(X-2)2(X-3)0

(X-2)的指数是2,是偶数,所以在数轴上画曲线时就不穿过2这个点，

而(X-3)的'指数是1,是奇数,所以在数轴上画曲线时就要穿过3这个点。

1高中数学不等式与不等式组的解法

1.一元一次不等式的解法

任何一个一元一次不等式经过变形后都可以化为axb或axb而言，当a0时，其解集为(ab，+)，当a0时，其解集为(-，ba)，当a=0时，b0时，期解集为R，当a=0，b0时，其解集为空集。

例1：解关于x的不等式ax-2b+2x

解：原不等式化为(a-2)xb+2

①当a2时，其解集为(b+2a-2，+)

②当a2时，其解集为(-，b+2a-2)

③当a=2，b-2时，其解集为

④当a=2且b-2时，其解集为R.

2.一元二次不等式的解法

任何一个一元二次不等式都可化为ax2+bx+c0或ax2+bx+c0(a0)的形式，然后用判别式法来推断解集的各种情形(空集，全体实数，部分实数)，假如是空集或实数集，那么不等式已经解出，假如是部分实数，则依据"大于号取两根之外，小于号取两根中间'分别写出解集就可以了。

例2：解不等式ax2+4x+40(a0)

解：△=16-16a

①当a1时，△0，其解集为R

②当a=1时，△=0，则x-2，故其解集(-，-2)(-2，+)

③当a1时，△0，其解集(-，-2-21-aa)(-2+21-aa，+)

3.不等式组的解法

将不等式中每个不等式求得解集，然后求交集即可.

例3：解不等式组m2+4m-50(1)

m2+4m-120(2)

解：由①得m-5或m1

由②得-6，故原不等式组的解集为(-6，-5)(1，2)

4.分式不等式的解法

任何一个分式不等都可化为f(x)g(x)0(0)或f(x)g(x)0(0)的形式，然后争论分子分母的符号，得两个不等式组，求得这两个不等式组的解集的并集便是原不等式的解集.

例4：解不等式x2-x-6-x2-12

解：原不等式化为：3x2-x-4-x2-10

它等价于(I)3x2-x-40-x2-10和(II)3x2-x-40-x2-10

解(I)得解集空集，解(II)得解集(-1，43).

故原不等式的解集为(-1，43).

5.含有肯定值不等式的解法

去肯定值号的主要依据是：依据肯定值的定义或性质，先将含有肯定值的不等式中的肯定值号去掉，化为不含肯定值的不等式，然后求出其解集即可。

(1)|x|a(a0)?xa或x-a.

(2)|x|0)?-a解：原不等式等价于3xx2-41，①或3xx2-4-1②

解①得2解②得-4x-2或1x2

故原不等式的解集为[-4，-2)(-2，-1][1，2)(2，4].

例6：解不等式|x2-3x+2|x2-1

解：原不等式等价于x2-3x+2x2-1①或x2-3x+2-x2+1②

解①得{x|x1}，解②得{x|12g(x)和|f(x)|a和|x|例7：解不等式|x+1|+|x|2

解：①当x-1时，原不等式变为-x-1-x2-32②当-1-1③当x0时，原不等式变为x+1+x2.

解得0综合①，②，③知，原不等式的解集为{x|-32例8：解不等式|x2-3x+2|+|x2-4x+3|2

解：①当x1时，原不等式变为x2-3x+2+x2-4x+32，此时解集为{x|x12}.

②当12，此时解集为空集。

③当22，此时的解集是空集。

④当x3时，原不等式化为x2-3x+2+x2-4x+32，此时的解集为{x|x3}.

综合①②③④可知原不等式的解集为{x|x12}{x|x3}.从以上两个例子可以看出，解含有两个或两个以上的肯定值的不等式，一般是先找出一些关键数(如例7的关键数是-1，0;例8中的关键数是1，2，3)这些关键数将实数划分为几个区间，在这些区间上，可以依据肯定值的意义去掉肯定值号，从而转化为不含肯定值的不等式，应当留意的是，在解这些不等式时，应当求出交集，最终综合各区间的解集写出答案。

6.无理不等式的解法

无理不等式f(x)g(x)的解集为不等式组(I)f(x)[g(x)]2f(x)0g(x)0和(II)f(x)0g(x)0的解集的并集.

无理不等式f(x)0)的解集为不等式组f(x)0f(x)[g(x)]2g(x)0的解集.

例9：解不等式：2x+5-x-10

解：原不等式化为：2x+5x+1由此得不等式组(I)2x+50x+10或(II)2x+50x+102x+5(x+1)2

解(I)得-52x-1，解(II)得-1x2

故原不等式的解集为[-52，2].

7.指数不等式的解法

依据指数函数的单调性来解不等式。

例10.解不等式：9x(3)x+2

解：原不等式化为32x3x+22

2xx+22即x23

故原不等式解集为(23，+).

8.对数不等式的解法

依据对数函数的单调性来解不等式。

例11：解不等式：log12(x+1)(2-x)0

解：原不等式化为log12(x+1)(2-x)log121

(x+1)(2-x)0(1)(x+1)(2-x)1(2)

解①得-1解②得x1-52或x1+52

故原不等式解集(-1，1-52)(1+52，2).

9.简洁高次不等式的解法

简洁高次不等式可以利用数轴标根法来解不等式.

例12：解不等式(x+1)(x2-5x+4)0

解：原不等式化为：(x+1)(x-1)(x-4)0

如图，由数轴标根法可得原不等式解集为(-，-1)(1，4)

10.三角不等式的解法

依据三角函数的单调性，先求出在同一周期内的解集，然后写出通值。

例13：解不等式：sinx-12

解：sinx-12在[0，2]内的解是：76x116

故原不等式的解集为[2k+76，2k+116](kz)。

11.含有字母系数不等式的解法

在解不等式过程中，还经常遇到含有字母系数的一些不等式，此时，肯定要留意字母系数进行争论，以保证解题的完备性。

例14：解不等式23x-2x解：原不等式变形为22x(22x-1)(22x-1)(22x-a)0

原不等式等价于22x-1022x-a0或22x-1022x-a0

①当a0时，x0;

②当0③当a=1时，无解