第十三章静电场

第十三章静电场第1页，共75页，2023年，2月20日，星期四解释和推断一切电磁现象，电磁学成为一门完整的科学。预言了光的电磁本性。相对论的问世，又将电磁学推向了一个新高潮。2）两个里程碑A）Faraday电磁感应定律的发现。B）Maxwell方程的建立3）发展方向：在工程上怎样利用Maxwell进一步解决各种实际问题。在理论上则是怎把电磁理论作为更普遍的理论的特例加以推广并应包括引力理论和量子场论。第2页，共75页，2023年，2月20日，星期四第十三章真空中的静电场StaticElectricFieldinVacuum基本概念：电场强度、电势基本规律：场强叠加原理、高斯定理、场强环路定律、场强与电势的关系§13－1电荷库仑定律一、电荷及其性质1、电荷：摩擦起电、有正负之分、检验、产生的原因表示电荷量：Q或q单位：库仑（C）第3页，共75页，2023年，2月20日，星期四2、基本电现象‘同性相斥，异性相吸’电荷可以中和物体带电的过程，就是打破电中和状态的过程。即能量转化的过程。3、电荷量子化基本单元：电荷电量：1库仑=6.25×1018|e|1|e|=1/6.25×1018=1.60×10-19CQ=n|e|……..n为整数4、电荷守恒定律某个系统若与外界无电荷交换，则无论系统发生怎样的物理、化学变化，此系统电荷的代数和总是保持不变。5、电荷的运动不变性（或相对论不变性）实验证明，一个电荷的电量与它的运动状态无关。第4页，共75页，2023年，2月20日，星期四二、库仑定律+Qd1、点电荷:当带电体的线度与它到其它带电体之间距离或到研究点之间的距离足够小(d<<r),因而可忽略其大小,将电荷看成集中于一点的带电体.r场点P注意:1)点电荷的概念具有相对性;2)不能看成点电荷的带电体可看成无穷多个点电荷的集合.+++++++++++++dq场点第5页，共75页，2023年，2月20日，星期四2、真空中的库仑定律大小：方向：同性相斥，异性相吸。rq1+F12+q2F21r+--q1q2F12F21两个点电荷之间的相互作用力的大小和它们的电量的乘积成正比，与它们之间的距离的平成反比。作用力的方向在两点电荷的连线上，且“同性相斥，异性相吸”。第6页，共75页，2023年，2月20日，星期四库仑定律的矢量表示：注意：为代数量为从施力电荷指向受力电荷的单位矢

比例常数k=9109牛顿·米2·/库仑2=9109米/法第7页，共75页，2023年，2月20日，星期四令:(真空中的介电系数)有理化形式的库仑定律:注意:A)库仑定律的适应条件：真空(空气也可);点电荷;B)库仑力满足矢量叠加原理+++++++++++++dq+++++++++++++dq--+++第8页，共75页，2023年，2月20日，星期四§13－2电场电场强度一、电场场：具有物质的属性（例如，能量、动量）可脱离场源存在可叠加性电荷电荷电场电场++++++Qq0+电场二、电场强度+Q产生场中放实验电荷比值与无关第9页，共75页，2023年，2月20日，星期四定义：电场中某点的电场强度为一个矢量，其大小等于单位正荷在该点静止时所受电场力的大小，方向为实验正电荷在该点所受力。注：电场与检验电荷无关电场是一种物质由场强定义可求电荷所受电场力第10页，共75页，2023年，2月20日，星期四与成反比。时，此结论正确吗？或：+1、点电荷的场强q+a+-qa讨论：

仅决定于场源电荷q及场点的位矢是描述电场的位置点函数。q>0，与方向一致；与方向相反；q<0，第11页，共75页，2023年，2月20日，星期四2、点电荷系的场强空间某点的场强等于各点电荷单独存在时在该点产生场强的矢量和3、场强叠加原理--++a+第12页，共75页，2023年，2月20日，星期四4、连续带电体的场强+++++++++++++dq在带电体上取一微元dq其在任一点产生的场强：整个带电体产生的场强：第13页，共75页，2023年，2月20日，星期四小结：计算分量式步骤（微元法）1、取合适坐标系，取微元dq，写出，并标出方向2、写出分量3、对称性分析可简化计算4、积分求出5、第14页，共75页，2023年，2月20日，星期四例13－1：求电偶极子中垂线上任一点的电场强度。（相隔一定距离的等量异号点电荷，当点电荷间距离远远小于所讨论的场点的距离时，此系统称为电偶极子）OXYr+--qq解：设＋q和－q到偶极子中垂线上任一点p’处的位置矢量分别为、且，则＋q、－q在p’点的场强分别为：第15页，共75页，2023年，2月20日，星期四如果用r表示电偶极子中心到p’点的距离，则：在距电偶极子甚远时，取一级近似，有所以p’点总场强为：第16页，共75页，2023年，2月20日，星期四反映电偶极子本身的特征，称电偶极子的电矩（电偶极矩）第17页，共75页，2023年，2月20日，星期四例13－2：一根带电棒（如果限于考虑离棒的距离比棒的截面尺寸大得多的地方的场强，则电棒可视为一带电直线）。今设一均匀带电直线，长为L，线密度为，求直线中垂线上一点的场强。XYOxp解：建立如图坐标系。在带电直线上任取一长为dl的电荷元，电量为，则dq在p点产生的场强并矢量分解为。由对称性分析知，全部电荷在P点的场强沿Y轴方向分量之和为零。所以总场强方向沿X轴：第18页，共75页，2023年，2月20日，星期四统一变量XYOxp第19页，共75页，2023年，2月20日，星期四将代入，得：方向：垂直于直线指向远离一方（）讨论：1、在近直线区，此时直线可视为无限长2、远离直线的区域，此时直线可视为点电荷第20页，共75页，2023年，2月20日，星期四例13－3：一均匀带电细圆环，半径为R，总电量为q(q>0),求圆环轴线上任一点的场强。YZXO+++++++++由圆环电荷分布的轴对称性，可知，所有电荷的分矢量之和为零。所以p点场强沿轴线方向，且解：任取一微元dl，电量为dq,在p点的场强为dE。设p点距dq距离为r，而op=x；的分量和分别平行和垂直于圆环的轴线。第21页，共75页，2023年，2月20日，星期四方向沿轴线指向远处若则相当于点电荷第22页，共75页，2023年，2月20日，星期四习题课例1：计算电偶极子在均匀电场中所受力矩。+-O解：正负电荷受力分别为：合力为：合力矩：力矩的作用是使电偶极子转向电场的方向。第23页，共75页，2023年，2月20日，星期四例2:一均匀带电圆面，半径为R，面电荷密度为求圆面轴线上任一点的场强。R+XO解：取圆环为微元，此微元在轴线上任一点p处的场强：方向：沿x轴正向分析可知，组成圆面的各圆环的场强方向相同。第24页，共75页，2023年，2月20日，星期四所以在p点的总场强：讨论：1、当时，圆面看作“无限大”带电平面第25页，共75页，2023年，2月20日，星期四2、当时，相当于点电荷第26页，共75页，2023年，2月20日，星期四解：建立如图坐标系。并在无限大平板上取一宽度为dy距原点O为y的微元，则其可视为无限长带电直线，带电量为。到任一点p的距离为s，在p点的场强为++++++++++++OXPYO由对称性分析可知，距O点-y处取，在p点场强为，则它们在p点场强矢量和在y分量为零，仅剩x分量例3：求均匀无限大带电平板产生的场强(）。第27页，共75页，2023年，2月20日，星期四所以无限大平板在p点产生的场强：思考：两无限大平行的带电平板、的场强？第28页，共75页，2023年，2月20日，星期四例4：一带电圆弧带电量为q，圆弧的弧度为，求其在圆心处的场强。adqOxy解：建立如图坐标系，取微元带电量：其在圆心处产生场强为：由对称性可知，x方向场强为零，而y方向场强因此总场强方向：由弧中指向圆心第29页，共75页，2023年，2月20日，星期四例5：有一半圆弧，一半带有＋q电荷，一半带有－q电荷求其在圆心处产生的场强。分析：先分别求+Q,-Q产生的电场强度，再矢量迭加yR++++----xO第30页，共75页，2023年，2月20日，星期四§13－3电场线与电通量高斯定理一、电场线规定：1）线上每一点切向方向表示该点电场强度的方向2）通过垂直于电力线单位面积的电力线数（电场线密度）应等于该点的电场强度值。特点：1）起于正电荷（或“”远），止于负电荷（或“”远）2）任何两条电力线不能相交。3）电场线越密的地方，场强越大；电场线越疏的地方，场强越小。第31页，共75页，2023年，2月20日，星期四第32页，共75页，2023年，2月20日，星期四二、电通量dSnS放大图由电场线引入电通量定义：第33页，共75页，2023年，2月20日，星期四微元面积上电通量：有限面积上电通量：积分面积S可以是闭合面也可以是不闭合面；规定法线方向由凹到凸第34页，共75页，2023年，2月20日，星期四三、高斯定理1、导出例：利用电通量定义求：正点电荷外一球面的电通量；一任意曲面的电通量。++分析：由于点电荷的场强有球对称性，球面上任一面元与其附近的场强方向平行，则穿过整个球面的电通量：穿过任一曲面的电通量：曲面内电荷第35页，共75页，2023年，2月20日，星期四例：利用电通量定义求：一均匀无限长带电直线外穿过圆柱面的电通量；穿过任一曲面的电通量。SrlS分析：设电荷的线密度为；圆柱体长为l。圆柱面上任一微元面积上的电通量：则，穿过圆柱面的电通量：由无限长带电直线的场强分布可知，穿过上、下底面的电通量为零；圆柱侧面上场强方向与面法线方向处处平行，因此有：第36页，共75页，2023年，2月20日，星期四在真空中的静电场内，通过任意封闭曲面的电通量等于该封闭面所包围的电荷的电量的代数和的倍。曲面内电荷穿过任一曲面的电通量也相同。2、高斯定理注意：表达式中是所有电荷（闭合曲面内、外）共同产生的合场强。通过闭合曲面的总电通量只决定于所包含的内部电荷。第37页，共75页，2023年，2月20日，星期四讨论：(1)，S面内不一定没有负电荷；一定有正电荷净电荷为正。,S面内不一定没有正电荷；一定有负电荷，净电荷为负。（3），S面内不一定没有电荷，但净电荷为零。用途（1）求电通量；（2）求场强；（3）求电量（曲面内）适用范围：普遍成立（库仑定律仅适用静止电荷）第38页，共75页，2023年，2月20日，星期四例13－4：用高斯定理求正方体的一个侧面上的电通量，点电荷位于体心处。abcdq分析：正方体所围成的闭合曲面总的电通量则每一个侧面上电通量为思考：如果点电荷不在体心处，而在一个顶点，则一个侧面上的电通量是多少？qabcd分析：补成体心则通过侧面abcd的电通量为第39页，共75页，2023年，2月20日，星期四例13－5：求均匀带电球面的电场分布。已知球面半径为R，所带总电量为q（q>0)。解：球外p点，r>R时，由于自由空间的各向同性和电荷分布对于O点的球对称性，场强方向沿矢径方向。因此在球外做一个同心球面（高斯面）S，则面上各点场强大小相等。++++++++++++++++S据高斯定理有：第40页，共75页，2023年，2月20日，星期四或相当于电量集中于球心O处点电荷产生的场强。++++++++S同理分析球内场强（r<R)由于高斯面内无净电荷因此所以球内场强处处为零。第41页，共75页，2023年，2月20日，星期四R第42页，共75页，2023年，2月20日，星期四例13－6：求均匀带电球体的电场分布。已知球体半径为R，所带总电量为q（q>0)。++++++++++++Rq++++++++S解：同上分析，可得球外场强对于球内，同样做高斯面，运用高斯定理第43页，共75页，2023年，2月20日，星期四R++++++++++++SRq此时，高斯面包含的电荷为即，高斯定理为：所以，球内场强第44页，共75页，2023年，2月20日，星期四S侧++++++++++++++S下S上例13－7：一无限长带电直圆柱面，单位长度的带电量（线电荷密度），求其产生的电场的分布。依高斯定理：第45页，共75页，2023年，2月20日，星期四++++++++++++++S侧S下S上同理，在柱面内做一高斯面，由于面内无电荷存在，据高斯定理可知思考：如果不是圆柱面，而是带电的圆柱体，其电场分布又将如何？S侧S下S上同理，在柱面内做一高斯面，由于面内无电荷存在，据高斯定理可知思考：如果不是圆柱面，而是带电的圆柱体，其电场分布又将如何？第46页，共75页，2023年，2月20日，星期四例13－8：求无限大带电平面的电场。设电荷面密度为。++++++++++++++结论：是以面为对称的场。与带电面等距离的两平行平面处场强值相等。第47页，共75页，2023年，2月20日，星期四++++++++如图作垂直于带电面的高斯圆柱面，且在面两边平分依高斯定理：XOS1S2S3S1S3S2第48页，共75页，2023年，2月20日，星期四XO例13－9：求均匀无限大平板（厚度为d，体电荷密度为）产生的电场分布。（方法一：用高斯定理）可视为无数个无限大平面叠加而成，因此也是垂直平板指向远处（）。板内：取一如图长方体高斯面，由对称性分析知，只有左右面电通量不为零。并设面积为，据高斯定理有：第49页，共75页，2023年，2月20日，星期四板外：同理分析，得：OXE-d/2d/2第50页，共75页，2023年，2月20日，星期四（方法二：微元法）平板可看作无数多个平面组成则平面的面电荷密度平面厚度为dx，在板内任一点P处（距离原点为x），产生的场强：则所有平面在P点产生的总场强：oPP’xydx同理可得板外任一点P’的场强：第51页，共75页，2023年，2月20日，星期四例13－10：一均匀带电球面，带电量Q>0，在球面上有一小缺口，足够小，不影响电荷的原来分布。求球心O点的场强。（挖补法）分析：由于缺口足够小，不影响原来电荷分布，可视为点电荷；则O点场强为点电荷与带电球面产生场强的叠加。解：设缺口的面积为,则带电量为思路：可看作是无缺口的球面Q与带负电的缺口处带电体的叠加。由于球面均匀带电，则在球心处产生场强为零。所以球心O处场强：由O点指向缺口第52页，共75页，2023年，2月20日，星期四例13－11：一均匀带电球体，体电荷密度，半径为，在距球心O点a处有一球形空腔，半径为，球心O’点距O点为a。求空腔内场强分布。解：（挖补法）球内任一点P处场强可视为半径为的带正电的球体产生的场强与半径为的带负电的球体产生的场强的叠加。POO’POO’第53页，共75页，2023年，2月20日，星期四小结：做高斯面的原则：有通量处，是E（场强大小）相等；E不相等处，使通量为零。求场强的方法：1、点电荷系：场强叠加原理2、连续带电体：微元法3、分布具有对称性，用高斯定理4、挖补法5、第54页，共75页，2023年，2月20日，星期四§13－4电场力的功电势电势能一、电场力的功1、静电场的保守性+qabq0设q0在电场力作用下从a点移到b点。

在点电荷的电场中，电场力移动电荷的功与路径无关，只与路径的起点和终点位置及被移动的电荷量有关。第55页，共75页，2023年，2月20日，星期四

在点电荷的电场中，电场力移动电荷的功与路径无关，只与路径的起点和终点位置及被移动的电荷量有关。

在点电荷系、连续带电体中（场强叠加原理），电场力移动电荷的功与路径无关，只与路径的起点和终点位置及被移动的电荷量有关。

静电场力是保守力。第56页，共75页，2023年，2月20日，星期四2、静电场的环路定理静电场强沿任一闭合回路的线积分恒等于零abcd此积分称之为场强的环流。第57页，共75页，2023年，2月20日，星期四+参考点1、电势能重力场中建立势能：a+b点实验电荷在电场中从a点到b点：+++++++++q0q0二、电势或者：第58页，共75页，2023年，2月20日，星期四2、电势差与电荷有关定义：a、b两点的电势差为说明：（1）两点的电势差在数值上等于将单位正电荷从a点移到b点电场力所做的功（2）沿电力线方向电势降低，逆电力线方向电势升高如以b点为参考点（电势为零），则第59页，共75页，2023年，2月20日，星期四3、电势某点电势高低与参考点有关小结：（1）电势是相对量，与零电势点的选择有关；而电势差与零电势点的选择无关。（2）零点电势的选择：大地、电器外壳；无限远；带电体无限长时，选有限距离。（3）电场力的功：第60页，共75页，2023年，2月20日，星期四4、电势叠加原理设一点电荷系：q1、q2----qn产生电场+q1+q2+q3+qna第61页，共75页，2023年，2月20日，星期四电势叠加原理：点电荷电场中一点的电势，等于每一点电荷单独在这一点所产生的电势的数和。对带电体：将带电体分割成许多点电荷+++++++++ra第62页，共75页，2023年，2月20日，星期四例13－12：如图所示，在空间中有两点电荷，一位于（0、0、a/2）点，带电量为-e，另一位于（0、0、-a/2）点，带电量为ne，（1）求任一点电势；（2）证明零电势面为球面。-enePYXZ解：在空间中任取一点P（x、y、z），由电势叠加原理有第63页，共75页，2023年，2月20日，星期四代入