结构力学位移法的计算

结构力学位移法的计算1第1页，共114页，2023年，2月20日，星期四2第2页，共114页，2023年，2月20日，星期四§8-1位移法的基本概念一.位移法的基本概念1.位移法的基本未知量

llEIEIABC

如上图所示的连续梁，取结点B的转角位移

作为基本未知量，这就保证了AB杆与BC杆在B截面的转角位移的连续协调()。q选取结构内部结点的转角位移或结点之间的相对线位移作为位移法的基本未知量。3第3页，共114页，2023年，2月20日，星期四2.

位移法求解的基本步骤CBABC

2）令B结点产生转角

()。此时AB、BC杆类似于B端为固端且产生转角的单跨超静定梁。1）在B结点增加附加转动约束（附加刚臂）()。附加转动约束只能阻止刚结点的转动，不能阻止结点之间的相对线位移。此时产生固端弯矩。锁住qq4第4页，共114页，2023年，2月20日，星期四3）杆端弯矩的表达式:由结点B的力矩平衡条件，可得:4）建立位移法方程，并求解:ACBiiAiBBCi放松5第5页，共114页，2023年，2月20日，星期四5）作弯矩图:将求得的代入杆端弯矩表达式，得到：M

图ABC6第6页，共114页，2023年，2月20日，星期四1）位移法的基本未知量是结构内部刚结点（不包括支座结点）的转角位移或结点之间的相对线位移。2）选取内部结点的位移作为未知量就已经满足了结构的变形协调条件：位移法的典型方程是力（其中包括力矩）的平衡方程，满足了结构中力的平衡条件。3）位移法的基本结构可看作为单跨超静定梁的组合体系。为了顺利求解，必须首先讨论单跨超静定梁在荷载及杆端位移作用下的求解问题。小结：7第7页，共114页，2023年，2月20日，星期四二.位移法的基本未知量的确定

不把支座结点的可能位移作为位移法的未知量是因为：1）为了减少人工计算时基本未知量的数目；2)单跨超静定梁的杆端弯矩表达式中已经反映了支座可能位移（转角位移，相对线位移）的影响，如下图所示。ABAB

位移法的基本未知量是结构内部的刚结点（不包括支座结点）的转角

和独立的结点之间的相对线位移

。qq8第8页，共114页，2023年，2月20日，星期四

为了减少人工计算时基本未知量的数目，在采用位移法求解时，确定结构的基本未知量之前，引入如下的基本假设：对于受弯杆件，忽略其轴向变形和剪切变形的影响。BAAB

亦即假定杆件在轴向是刚性的，杆件在发生弯曲变形时既不伸长也不缩短。9第9页，共114页，2023年，2月20日，星期四ABCDEABCABCD1．刚结点的转角位移的基本未知量的确定：似乎看起来比较容易。

结构内部有多少个刚结点就有多少个结点的转角位移被确定为基本未知量，增加附加刚臂。结点的转角位移的基本未知量的数目就是个。只限制转角位移10第10页，共114页，2023年，2月20日，星期四

从两个不动点（没有线位移的点）引出的两根无轴向变形的杆件，其交点没有线位移。采用位移法求解的基本未知量的数目=结构中独立的结点之间的相对线位移结构内部刚结点的转角位移

+采用增加附加链杆的方法确定独立的结点之间的相对线位移的基本未知量

。2．独立的结点之间的相对线位移的基本未知量的确定：只限制相对线位移

若一个结构须要附加

根链杆才能使所有内部的结点成为不动点（没有任何结点之间的相对线位移发生），则该结构中独立的结点之间的相对线位移的基本未知量的数目就是

个。11第11页，共114页，2023年，2月20日，星期四增加附加链杆：ABCDEABCDEA=有限值ABCDABCD当BD杆：EI无限大

？12第12页，共114页，2023年，2月20日，星期四§8-2

等截面直杆的刚度（转角位移）方程一.

符号规则:1．杆端弯矩:

规定杆端弯矩顺时针方向为正，逆时针方向为负。杆端弯矩具有双重身份：1）对杆件隔离体，杆端弯矩是外力偶，顺时针方向为正，逆时针方向为负。2）若把杆件装配成结构，杆端弯矩又成为内力，弯矩图仍画在受拉侧。MBAMCB

ABCMBC13第13页，共114页，2023年，2月20日，星期四

规定结点转角以顺时针方向为正，逆时针方向为负。3．杆件两端的相对线位移:BAABCDFP2．结点的转角位移:

杆件两端的相对线位移的正负号与弦转角β的正负号一致。而β以顺时针方向为正，逆时针方向为负。AB14第14页，共114页，2023年，2月20日，星期四1.两端固定的梁:()二.等截面直杆的刚度（转角位移）方程ABEIABEIMABMBAAiBAiBABiMABMBA15第15页，共114页，2023年，2月20日，星期四

式中系数4i、2i、6i/l

称为刚度系数，即产生单位杆端位移所需施加的杆端弯矩。由上图可得：可以写成为：上式就是两端固定的梁的刚度（转角位移）方程。16第16页，共114页，2023年，2月20日，星期四2.

一端固定，一端滚轴支座的梁:

BAEIBAiBAi17第17页，共114页，2023年，2月20日，星期四3.一端固定，一端定向滑动支座的梁：BAEIMABMBA18第18页，共114页，2023年，2月20日，星期四4.

等截面直杆只要两端的杆端位移对应相同，则相应的杆端力也相同。

1)BAMABMBABAMABMBA19第19页，共114页，2023年，2月20日，星期四BAMABMBA3)2)BAMABMBAABMABABMAB20第20页，共114页，2023年，2月20日，星期四1.两端固定的梁：三.

固端弯矩FPAB

单跨超静定梁在荷载作用下产生的杆端弯矩称为固端弯矩。固端弯矩以顺时针方向为正，逆时针方向为负。qAB21第21页，共114页，2023年，2月20日，星期四2.一端固定，一端可动铰支座的梁:ABqFPBA22第22页，共114页，2023年，2月20日，星期四3.一端固定，一端滑动支座的梁:各种单跨超静定梁的固端弯矩可查教材附表。ABFP

qAB23第23页，共114页，2023年，2月20日，星期四四.正确判别固端弯矩的正负号:qABABqBAqqBA24第24页，共114页，2023年，2月20日，星期四§8-3

无侧移刚架和有侧移刚架的计算一.采用位移法求解无侧移的刚架有两种建立位移法方程的方法：1）直接列方程法：直接利用平衡条件建立位移法的典型方程。2）典型方程法：利用位移法的基本体系来建立位移法的典型方程。25第25页，共114页，2023年，2月20日，星期四解：例8-3-1

采用位移法求作图示刚架的M图，已知各杆的EI

相同。1.

直接列方程法:直接利用结点的力矩平衡条件来建立位移法的一般方程。1）确定基本未知量为：θB

和

θD()()ABCDEiiii26第26页，共114页，2023年，2月20日，星期四a)

由于荷载引起的固端弯矩2）列出杆端弯矩的表达式:10.6742.6721.3310.678kN/mABCDEiiii27第27页，共114页，2023年，2月20日，星期四b)

由于θB

产生的杆端弯矩θBABCDEiiii28第28页，共114页，2023年，2月20日，星期四ABCDEiiiic)由于θD

产生的杆端弯矩29第29页，共114页，2023年，2月20日，星期四叠加以上三种情况下的杆端弯矩，其表达式为:30第30页，共114页，2023年，2月20日，星期四3）建立位移法方程，并求解：由结点B和结点D的平衡条件，可得：12MDBMDCMDEDMBDMBAB31第31页，共114页，2023年，2月20日，星期四4）作弯矩图：0.711.7827.0225.2438.761.4211.73M图()将求得的

代入杆端弯矩表达式，得：θB，θDABCDEiiii8kN/m32第32页，共114页，2023年，2月20日，星期四2.典型方程法：利用位移法的基本体系来建立位移法的典型方程。解:1）确定基本未知量的个数，并选取基本体系:

容易确定此刚架只有两个结点的转角位移为基本未知量：和，选取基本体系如下图所示。ABCDEiiii基本体系33第33页，共114页，2023年，2月20日，星期四2）列出位移法的典型方程：3）计算系数和自由项：10.6742.6721.3310.67MP图R1PR2P10.670R1PBR1P=10.67D0R2P10.6742.67R2P=32i）作出基本体系的

图，图，图：

ABCDEiiii8kN/m34第34页，共114页，2023年，2月20日，星期四2i4i2i4ir11r210r21D2ir21=2i04i4ir11Br11=8i2ii4i3iir12r222i0r12Br12=2i3ir22D4ir22=8iiABCDEiiiiABCDEiiii35第35页，共114页，2023年，2月20日，星期四ii）求方程中的系数和自由项：4）回代入方程中，求解得：5）采用叠加法作弯矩图：如前图所示。r11=8i，r12=r21=2i，r22=8i，R1P=10.67，R2P=32.00。36第36页，共114页，2023年，2月20日，星期四r11=8i，r12=r21=2i，r22=8i，

上述刚度系数实质上是刚结点附加转动约束上产生的反力矩。由于原结构并没有附加转动约束，各附加转动约束上的反力矩之和应等于零。据此可以建立位移法典型方程。

位移法典型方程的物理意义：刚结点处附加转动约束上的反力矩之和等于零。所以，方程右端恒等于零。位移法典型方程的实质是力的平衡方程。R1P=10.67，R2P=32.00。总结:37第37页，共114页，2023年，2月20日，星期四

1.

直接列方程法:利用平衡条件建立位移法方程。二.采用位移法求解有侧移的刚架例8-3-2

采用位移法求作图示刚架的内力图。解：1）基本未知量：()，()2）列出杆端弯矩表达式:14kNEI2EI4EIEABCDii/22i2kN/m38第38页，共114页，2023年，2月20日，星期四a）固端弯矩2kN/m14kNEABCDii/22ib）

产生的杆端弯矩EABCDii/22i()c）产生的杆端弯矩EABCDii/22i()39第39页，共114页，2023年，2月20日，星期四3）建立位移法方程,并求解:MDCMDAMDED由结点D的平衡：先考虑DA柱：作隔离体如右图，求柱端剪力：114kNECDFSDAFSEBB2kN/mAMDAMADMBEMEB40第40页，共114页，2023年，2月20日，星期四再考虑EB柱:最后,考虑CE梁水平方向的平衡:2FSEB2kN/mA14kNECDBFSDAMDAMADMBEMEB41第41页，共114页，2023年，2月20日，星期四解方程组①、②，得:4）作内力图:42第42页，共114页，2023年，2月20日，星期四3EFNEB=3kN300141433D0FNDE=0FNDA=17kN14122216EABCDii/22i173173EABCDii/22i1438314EABCDii/22i43第43页，共114页，2023年，2月20日，星期四解:1）确定基本未知量的数目，并选取基本体系:2.典型方程法：利用位移法的基本体系来建立位移法的典型方程。

容易确定此刚架只有结点D的转角位移和杆件EB两结点之间的相对线位移为基本未知量，即：

选取基本体系如下图所示。EABCDii/22i基本体系44第44页，共114页，2023年，2月20日，星期四2）列出位移法的典型方程：3）计算系数和自由项：i）作出基本体系的

：EABCDii/22i2kN/m4kN.m14kN14kN.mR1PR1P=14D1400B42kN/mAR2P=3R2PC14kNEDR2PR1PMP图附加刚臂上的反力矩之和等于零。附加链杆上的反力之和等于零。45第45页，共114页，2023年，2月20日，星期四r112i

i3iEABCDii/22ir21

3ir11=5iD

2i

0ECDr11r21iABr21=0.75i46第46页，共114页，2023年，2月20日，星期四

1.5ir12r22r22=0.75iD

0.75ir12=0.75i

0

0ECDr12r22

0.75iEABCDii/22i图

0.75i

0.75iAB

1.5i0

0.75i47第47页，共114页，2023年，2月20日，星期四ii）求方程的系数和自由项：r11=5i，r12=r21=0.75i，r22=0.75i，R1P=14，R2P=3。4）回代入方程中，求解得：5）采用叠加法作弯矩图：如前图所示。48第48页，共114页，2023年，2月20日，星期四§8-4

对称结构的简化计算

结构对称是指结构的几何形状，支座条件，材料性质以及各杆刚度EA，EI，GA均满足对同一个轴对称。

利用结构的对称性进行简化计算，其基本思路是减少采用位移法计算的基本未知量的个数。一.

奇数跨的刚架

分析与对称轴相交截面的位移条件，从而根据对称性取半边结构时，该截面应加上与位移条件相应的支座。49第49页，共114页，2023年，2月20日，星期四

对称结构在对称荷载作用下，其内力和变形均是对称的。

在取半边结构时，C截面加上定向滑动支座，此时应将横梁的线刚度加倍。未知量取半边结构

FP

FP

B

i2

i1i1D

C

AE2i2

i1C

FPD

A1.对称荷载:50第50页，共114页，2023年，2月20日，星期四未知量GEDF

i

i1i2ii1i2i

FP

FPB

ACKH2i

C

i

i1

i2

FP

ADFH51第51页，共114页，2023年，2月20日，星期四未知量

B

FP

FP

i2

i1

i1

C

D

E

A2i2

A

FP

i1DC52第52页，共114页，2023年，2月20日，星期四未知量

2i2

i1C

FPAD

FPBi2

i1

FPC

i1EDA在取半边结构时，C截面加上可动铰支座，此时应将横梁的线刚度加倍。2．反对称荷载:

对称结构在反对称荷载作用下，其内力和变形均是反对称的。53第53页，共114页，2023年，2月20日，星期四二.偶数跨的刚架

偶数跨的刚架不存在与对称轴相交的截面，其中一根杆件为对称轴。1.对称荷载：未知量B

FP

FPi2i

ii2i1FEDCA

C

FPi2

iAE在取半边结构时，C截面加上固定支座，此时应将横梁的线刚度加倍。54第54页，共114页，2023年，2月20日，星期四2.反对称荷载：IFPCEADFPFPCIIFEDBAFPCIADEdlFPFPCIIADBEF55第55页，共114页，2023年，2月20日，星期四

可以将中间杆件分成惯性矩各为I1/2的两个杆件，两杆件间的跨度为dl，则原结构变为奇数跨结构。

利用奇数跨结构在反对称荷载作用下的结论，就可以得到图示的从中间劈开的半刚架的简化结果。56第56页，共114页，2023年，2月20日，星期四例8-4-1

试利用对称性求作图示对称结构的M

图。三.举例解：M=0

FP/2FP/22i1i0i0i1i1i0i0i1i12i1FP/2FP/2FPi0i1i12i1i0结构对称非对称荷载=正对称荷载+反对称荷载57第57页，共114页，2023年，2月20日，星期四M图（FP

h）M=0FP/2i0i1i1FP/4FP/4i0i1i1FP/4FP/4i0i1i1BFP/42i0i13FPh/284FPh/28AChFPi1i12i1i0i058第58页，共114页，2023年，2月20日，星期四例8-4-2

试利用对称性求作图示对称结构的M图。解:FP/4FP/4FP/4FP/4FPlCBAI2IFEDIIIIIll0FP/2FP/2∞IFP/2IDCIIEA∞IEIDCIIAM=0CD∞IIIIEA0FP/259第59页，共114页，2023年，2月20日，星期四2ii=EI/lFP/4DG()ECBAI2IFEDIIIIIFP2iFP/4Di=EI/lEGH∞I

M图（）60第60页，共114页，2023年，2月20日，星期四四.对称温度变化时的求解1.奇数跨刚架取半边结构求解。I1I1IB30。C30。C30。C10。CIBI1CA未知量()30。C30。C10。C61第61页，共114页，2023年，2月20日，星期四2．偶数跨刚架例8-4-3

作下图a)示结构M图。刚架各杆为矩形截面，截面高为0.6m，各杆EI相同。解：()取如图b)半边结构，未知量为。b)ACDl=6m

h=4m

Bt2=-30C°

a)t2=-30CABCDEFl=6m

l=6m

h=4m

t2=-30C°

t2=-30C°

t1=10C°

t1=10C°

t2=-30C°

°

t2=-30C°

t1=10C°

t1=10C°

62第62页，共114页，2023年，2月20日，星期四1）各杆两端相对侧移杆AB缩短杆CD伸长杆BC缩短则AB、BC杆相对侧移为:c)ABCDt0=-10C°

t0=-10C°

t0=10C°

63第63页，共114页，2023年，2月20日，星期四2）求固端弯矩d)ACDl=6m

h=4m

B△t=40C°

△t=40C°

△t=0C°

相对侧移产生的固端弯矩为:

杆两端温差产生的固端弯矩为:64第64页，共114页，2023年，2月20日，星期四3）杆端弯矩表达式：4）建立位移法方程并求解：65第65页，共114页，2023年，2月20日，星期四5）回代求杆端弯矩并画弯矩图

在温度变化作用下，超静定结构内力与杆件EI

的绝对值成正比。CBADFEM

图66第66页，共114页，2023年，2月20日，星期四§8-5支座移动、温度变化及具有

弹簧支座结构的计算一.支座移动时的位移法求解解题思路：1）锁住结点，即令结点位移未知量等于零；2）令结构产生已知的支座移动，此时各杆产生固端弯矩；3）令结构分别产生结点位移，此时各杆产生杆端弯矩；4）叠加2)、3)的结果就求得各杆最终的杆端弯矩。67第67页，共114页，2023年，2月20日，星期四例8-5-1

作下图示结构M

图。解：()未知量。1）杆端弯矩表达式△ABCEIEIllA△BCEIEIllABCEIEIll68第68页，共114页，2023年，2月20日，星期四2）建立位移法方程并求解3）作弯矩图69第69页，共114页，2023年，2月20日，星期四在支座移动作用下，超静定结构内力与杆件EI的绝对值成正比。M

图ABC5.1434.286结构弯矩图如下图示。△△

△

C′ABCEI、lEI、lAEI、lD思考题:下图示刚架结点B、C有向右位移动,作结构内力图。70第70页，共114页，2023年，2月20日，星期四二、弹簧支座的处理根据弹簧支座所在的位置，有时需要增加结点位移未知量。不增加未知量未知量ABCk增加未知量FPABCDEIEIl未知量71第71页，共114页，2023年，2月20日，星期四例8-5-2求下图示结构M

图。1）未知量解：2）杆端弯矩表达式杆端弯矩由三部份组成：FPABCDEIEIl()()，。72第72页，共114页，2023年，2月20日，星期四

θ

A＝0、△=0时由荷载产生的固端弯矩。本题为结点荷载，固端弯矩为零；△=0时由产生的杆端弯矩；θA＝0时由

△产生的杆端弯矩。123FPABCDEIEIl73第73页，共114页，2023年，2月20日，星期四3）建立位移法方程并求解取隔离体如下图示，先求剪力FQBA、FQCD。1ADMABMDCFPFQBAFQCDBC74第74页，共114页，2023年，2月20日，星期四在弹簧支座A处补充平衡方程。解方程组①、②，得2MABA75第75页，共114页，2023年，2月20日，星期四4）作弯矩图CABDM图76第76页，共114页，2023年，2月20日，星期四例8-5-3

作下图示连续梁的M图。1）未知量解：qEIABEICll()()77第77页，共114页，2023年，2月20日，星期四2）杆端弯矩表达式

qABCθB＝0、△=0i

i

ABC△

θB＝0、△≠0i

i

ABCθB≠0、△=0i

i

78第78页，共114页，2023年，2月20日，星期四3）建立位移法方程并求解取BC杆作为隔离体，求剪力FQCB

。21C△

MBCFQBCFQCBB79第79页，共114页，2023年，2月20日，星期四解方程组①、②，得：4）作弯矩图ABM图C80第80页，共114页，2023年，2月20日，星期四三.温度变化时的计算在温度变化影响下，杆件轴向变形不能忽略。例8-5-4作右图示刚架M图。解:1）未知量2）杆端弯矩表达式ABCEIEI４m４mbh=0.5mt1=30C°

t1=30C°

t2=-10C°

θB＝0,△=0时由温度变化产生的固端弯矩；△=0时由

产生的杆端弯矩；θB＝0时由△产生的杆端弯矩。123()()81第81页，共114页，2023年，2月20日，星期四杆BA伸长杆BC伸长杆BA相对侧移杆BC相对侧移杆伸长产生相对侧移ABC△BA△BCt0=10C°

温差产生的固端弯矩ABC△t=40C°

82第82页，共114页，2023年，2月20日，星期四由相对侧移产生的固端弯矩：由杆两侧温差产生的固端弯矩：83第83页，共114页，2023年，2月20日，星期四总的固端弯矩为杆端弯矩表达式为84第84页，共114页，2023年，2月20日，星期四3）建立位移法方程并求解取隔离体，求剪力FQBA：21AMBAMABFQBABC85第85页，共114页，2023年，2月20日，星期四解方程组①、②，得：4）作弯矩图BACM图86第86页，共114页，2023年，2月20日，星期四§8-6斜杆刚架的计算解带斜杆的刚架，关键是如何确定斜杆两端的相对侧移。确定斜杆两端的相对侧移需要画位移图。其思路是：根据已知两个结点线位移的大小和方向确定第三个结点的线位移。如下页图示装置，已知结点A、B线位移的大小和方向，求结点C的线位移。87第87页，共114页，2023年，2月20日，星期四多边形为所求位移图。B′

C

A

B

C2

A′

C′

△A△A△B△BC1

C

C2

C′

C1

为此，将AC、BC杆在C结点拆开，CA杆平移到，CB杆平移到。然后，杆绕旋转，杆绕旋转，两杆交点为，则即为结点C的线位移。88第88页，共114页，2023年，2月20日，星期四B′

C′

△B△CA′

△AO

3）C结点线位移为。右图即为所求的位移图。作位移图具体步骤：2）过A′作AC垂线，过B′作CB垂线，两垂线交点为C′。1）取极点O，过O作与平行线，并截取，。89第89页，共114页，2023年，2月20日，星期四例8-6-1作图示刚架M图。1）未知量解：A

B

C

i

2i

dFP

d/2d2）画位移图，确定各杆相对侧移。

△△△A

B

C

dFP

d/2d()()90第90页，共114页，2023年，2月20日，星期四4）建立位移法方程并求解结点B13）杆端弯矩表达式91第91页，共114页，2023年，2月20日，星期四取AB杆为隔离体，求剪力FQBA

。A

B

C

o

MBAMABMBAFQBAFPFyC考虑BC部分平衡：292第92页，共114页，2023年，2月20日，星期四解方程组①、②，得：5）作弯矩图M

图A

B

C

93第93页，共114页，2023年，2月20日，星期四例8-6-2

作图示结构M图。解：A

B

C

D

EI

EI

2EI

(i)

(2i)

(0.8i)

4m

4m

4m

3m

1kN/mB′

C′

△1）未知量()94第94页，共114页，2023年，2月20日，星期四2）画位移图，确定各杆相对侧移。

3）杆端弯矩表达式B′

C′

△4）建立位移法方程并求解95第95页，共114页，2023年，2月20日，星期四考虑ABC部分平衡：取杆BD为隔离体，求剪力FQBD。A

B

C

D

1kN/m

MDBMCBFQDBFQBD2kN4m4m3moB

96第96页，共114页，2023年，2月20日，星期四5）作弯矩图M

图(kN.m)2.163.0827.79A

B

C

D

97第97页，共114页，2023年，2月20日，星期四注意带滑动支座单跨斜梁固端弯矩及刚度系数的求解。=B

C

q

a)B

C

q

=B

C

q

b)q

B

C

98第98页，共114页，2023年，2月20日，星期四B

C

ie)C

FP

B

C

FP

B

c)d)99第99页，共114页，2023年，2月20日，星期四§8-7剪力分配法1）横梁抗弯刚度EI→∞的刚架（EA总认为趋于无穷大）。2）铰接排架中，横梁EA→∞的结构。用位移法求解时，若结构的结点位移未知量中只有线位移△而没有角位移θ，除少数情况外，均适用剪力分配法。下列两类结构可能满足上述条件：100第100页，共114页，2023年，2月20日，星期四EI

→∞EI→∞

EA→

∞

B

EA→∞

EA→

∞

101第101页，共114页，2023年，2月20日，星期四一、水平结点荷载作用的情况例8-7-1

作图示结构M图。解：A

C

E

B

D

F

I1

I2

I3

h1

h2

h3

EA→∞EA→∞FP

2）杆端弯矩表达式1）未知量()102第102页，共114页，2023年，2月20日，星期四3）建立位移法方程并求解求各柱剪力。

k