二次函数与直线、一元二次方程的关系

二次函数与直线、一元二次方程的关系一、二次函数与直线的关系（1）抛物线y-ax2+bx+c与y轴的交点是（0,c）；-b±bb2-4ac 所（2）抛物线y--b±bb2-4ac 所所以令y-0，代入得ax2+bx+c=0，解这个一元二次方程得x-以抛物线与％轴的交点坐标是-b以抛物线与％轴的交点坐标是-b-Jb2-4ac),0和J-b+，b2-4ac,,0；J（3）一次函数y=kx+b（k丰0）的图象与二次函数y=ax2+bx+c（a丰0）的图象的交点的个数，由方程组「-kx+b的解的数目确定：Iy-ax2+bx+c①方程组有两组不同的解o两函数图象有两个交点；②方程组只有一组解o两函数图象只有一个交点；③方程组无解o两函数图象没有交点。例1、已知：抛物线的解析式为y=了2-（2m-1）了+m2-m。（1）求证：此抛物线与了轴必有两个不同的交点;（2）若此抛物线与直线y=1-3m+4的一个交点在y轴上，求m的值。1/7到了初三还不努力，拿什么与中考拼搏！

变式1-1、在直角坐标平面中，0为坐标原点，二次函数y=-X2+(k—1)x+4的图象与J轴交于点A,与X轴的负半轴交于点B,且SA0AB=6。(1)求点A与点B的坐标；(2)求此二次函数的解析式；(3)如果点P在x轴上，且AABP是等腰三角形，求点P的坐标。二、二次函数与一元二次方程的关系例2、(2011•例2、(2011•潍坊)已知一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的两个实数根\、x2满足\+X2=42到了初三还不努力,/7拿什么与中考拼搏！方程ax2+bx+c=0的两个实数根为X]x/与x轴的交点为A、B，如下表:判别式的情况A>0A=0A<0抛物线y=ax2+bx+c与X轴的交点有两个交点有一个交点无交点二次方程ax2+bx+c=0的实根有两个不相等的实根x、x,AB=x-X有两个相等的实根VX2无实根

变式2-1、(2011•呼和浩特)已知一元二次方程X2+bx—3=0的一根为—3,在二次函数,—.(4，则T丁2、y3的大小关系是y=x2+bx，则T丁2、y3的大小关系是I5例3、如图所示，抛物线y=-x2+2(m+1)x+m+3与x轴交于A、B两点，则OB:OA=3:1，则m=变式3-1、设函数y=x2—(k+1)x—4(k+5)的图象如图所示，它与x轴交于A、B两点，且线段OA与OB的长的比为1:4，则k=例4、已知抛物线y—2(k+1)x2+4kx+2k—3。求：(1)k为何值时，抛物线与x轴相交于两点；(2)k为何值时，抛物线与x轴的两个交点分别在原点的两侧？3/7到了初三还不努力，拿什么与中考拼搏！变式4-1、已知抛物线y=x2+mx+m-5。(1)求证：不论m为何实数，抛物线与x轴都有两个不同的交点？(2)当m为何值时，抛物线与x轴的交点分别都在原点左侧？(3)当m为何值时，抛物线与x轴的交点分别在(1,0)两侧？例5、已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点(-2,-3)，对称轴是直线x=2，在x轴上截得的线段长为2<10，求这个二次函数的解析式。变式5-1、已知二次函数y=ax2+bx+c的顶点为(1,-4)，且抛物线在x轴上截得的线段长为4，求抛物线的解析式。4/7到了初三还不努力，拿什么与中考拼搏！

一一 ... .. 7二）变式5-2、如图，二次函数的图象经过点D0,-73,且顶点CI9）的横坐标为4,该图象在%轴上截得的线段AB的长为6.（1）求二次函数的解析式；（2）在该抛物线的对称轴上找一点P，使PA+PD最小，求出点、P的坐标。例6、（1）关于％的一元二次方程却2-1）%2一2（m一2）%+1=例6、（1）当m为何值时，方程有两个不相等的实数根；点A（-1,-1）是抛物线j=（m2-1）%2—2（m—2）%+1上的点，求抛物线的解析式;（3）在（2）的条件下，若点B与点A关于抛物线的对称轴对称，是否存在与抛物线只交于点B的直线，若存在，请求出直线的解析式；若不存在，请说明理由。思考:1、函数J=a%2—a%+3%+1的图象与%轴有且只有一个交点，求a的值和交点坐标。5/7到了初三还不努力，拿什么与中考拼搏！2、已知抛物线y=x2+kx—3k2（k为常数，且k>0）。4（1）证明：此抛物线与x轴总有两个交点；（2）设抛物线与x轴交于M、N两点，若这两点到原点的距离分别为OM、ON，且— —=-，ONOM3求k的值。二次函数与直线、一元二次方程的关系习题练习1、在二次函数y=ax2+bx+c中，若a与c异号，则其图象与x轴的交点个数为。2、不论m为何实数，抛物线y=x2-mx+m-2（ ）。A.在x轴上方 B.与x轴只有一•个交点 C.与x轴有两个交点 D.在x轴下方3、若抛物线y=kx2-2x+1与x轴有两个交点，则k的取值范围是。4、已知函数y=kx2-7x-7的图象和x轴有交点，则k的取值范围是。5、如果一个二次函数的图象经过点A（6,10），与x轴交于B、C两点，点B、C的横坐标分别为\、x2，且xi+x2=6,xix2=5，求这个二次函数的解析式。6/7到了初三还不努力，拿什么与中考拼搏！

6、已知关于X的方程x2+（2m+1）x+m2+2=0有两个不相等的实数根，y=（2m-3）x-4m+7能否经过点A（-2,4）,并说明理由。7、如图所示，已知抛物线P:y=ax2+bx+c（a中0）与x轴交于A、B两点（点A在x轴的正半轴上），与y轴交于点。，矩形DEFG的一条边DE在线段AB上，顶点F、G分别在线段BC、AC上，抛物线P上的部分点的横坐标对应的纵坐标如下。x…-3-212…y…5—2-45—20…（1）求A、B、C三点的坐标；（2）若点D的坐标为（m,0），矩形D