高等数学上册知识点3953

高等数学上册第一章函数与极限（一）函数1、函数定义及性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性）；2、反函数、复合函数、函数的运算；3、初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、双曲函数、反双曲函数；4、函数的连续性与间断点；x在0连续limf(x)f(x)函数f(x)0xx0第一类：左右极限均存在。间断点可去间断点、跳跃间断点第二类：左右极限、至少有一个不存在。无穷间断点、振荡间断点5、闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定理、介值定理及其推论。（二）极限1、定义1）数列极限2）函数极限)limf(x)右极限：f(x)limf(x)左极限：f(x00xxxx002、极限存在准则1）夹逼准则：1）yxz(nn)nnn02）limylimzalimxannnnnn2）单调有界准则：单调有界数列必有极限。3、无穷小（大）量1）定义：若lim0则称为无穷小量；若lim则称为无穷大量。2）无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、阶无穷k小~o();Th1Th2~,~,lim存在，则limlim（无穷小代换）4、求极限的方法1）单调有界准则；2）夹逼准则；3）极限运算准则及函数连续性；4）两个重要极限：limsinx1x0b)lim(1x)xlim(11)xe1a)xxx0x5）无穷小代换：（x0）a)ex1~x（ax1~xlna）xlna）（log(1x)~b)ln(1x)~xa第二章导数与微分（一）导数f(x)f(x)1、定义：f(x)lim0xx0xx00f(x)f(x)左导数：f(x)lim0xx0xx00f(x)f(x)右导数：f(x)lim0xx0xx00xf(x)f(x)在点可导0函数f(x)002、几何意义：f(x)为曲线yf(x)在点x,f(x)处的切线的斜000率。3、可导与连续的关系：4、求导的方法1）导数定义；2）基本公式；3）四则运算；4）复合函数求导（链式法则）；5）隐函数求导数；6）参数方程求导；7）对数求导法。5、高阶导数d2yddydxdxdx1）定义：2uv(n)nCku(k)v(nk)n2）Leibniz公式：（二）微分k01）定义：yf(xx)f(x)Axo(x)，其中A与x00无关。2）可微与可导的关系：可微可导，且dyf(x)xf(x)dx00第三章微分中值定理与导数的应用（一）中值定理1、Rolle定理：若函数f(x)满足：1）f(x)C[a,b]；2）f(x)D(a,b)；3）f(a)f(b)；则ab使f(,),()0.2、Lagrange中值定理：若函数f(x)满足：f(x)C[a,b]；2）f(x)D(a,b)；1）则(a,b),使f(b)f(a)f()(ba).3、Cauchy中值定理：若函数f(x),F(x)满足：f(x),F(x)D(a,b)；3）f(x),F(x)C[a,b]；2）1）F(x)0,x(a,b)f(b)f(a)f()则(a,b),使F(b)F(a)F()（二）洛必达法则（三）Taylor公式n阶Taylor公式：x在与之间.x0当x0时，成为阶麦克劳林公式：n0在与之间.0x常见函数的麦克劳林公式：1）ex1x1x2x1n1xnn!(n1)!e2!；x在与之间，0x2）sin(2m1)2xxxsinxx7(1)35x2m1m12m1x3!5!7!(2m1)!(2m1)!；x在与之间，0x3）cos2m2cosx1x2x4x6(1)m12!4!6!x2m2x2m(2m2)!(2m)!；在与之间，0xxxxx23xx4(1)xn(1)xnn1n14）ln(1)n1234n(n1)(1)1x1x在与之间，05）(1)x2(1)(2)x3(1)(n1)1x(1x)xn2!3!n!(n1)!(1)(n)(1)n1xn1，1x1.x在与之间，0（四）单调性及极值f(x)C[a,b]，f(x)D(a,b)，则若1、单调性判别法：f(x)0，则f(x)单调增加；则若f(x)0，则f(x)单调减少。2、极值及其判定定理：a)必要条件：f(x)在可导，若为xf(x)的极值点，则0x0f(x)0.0b)第一充分条件：在的邻域内可导，且f(x)0，则①f(x)x00若当xx0，当xxf(x)0，则为极xf(x)00时，时，0大值点；②若当xx0，当xxf(x)0f(x)0，时，时，0则为极小值点；③若在的两侧f(x)不变号，则不是xxx000极值点。c)第二充分条件：f(x)在x处二阶可导，且0f(x)0，0f(x)0，则00①若()0，则为极大值点；②若()0，则为fxfxx0x00极小值点。3、凹凸性及其判断，拐点xx)f(x)f(x)，I1）f(x)在区间上连续，若x,xI,f(12122212I则称在区间上的图形是凹的；若f(x)xx2)f(x)f(x)I，则称f(x)在区间上的图x,xI,f(1122212形是凸的。2）判定定理：f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)上有一阶、二阶导数，则a)若x(a,b),f(x)0,则f(x)在[a,b]上的图形是凹的；b)若x(a,b),f(x)0,则f(x)在[a,b]上的图形是凸的。I3）拐点：设在区间上连续，是yf(x)()的内点，如果曲线fxx0(x,f(x))时，曲线的凹凸性改变了，则称点yf(x)经过点00(x,f(x))为曲线的拐点。00（五）不等式证明1、利用微分中值定理；2、利用函数单调性；3、利用极值（最值）。（六）方程根的讨论1、连续函数的介值定理；2、Rolle定理；3、函数的单调性；4、极值、最值；5、凹凸性。（七）渐近线1、铅直渐近线：limf(x)，则xa为一条铅直渐近线；xa2、水平渐近线：fxblim()，则yb为一条水平渐近线；x3、斜渐近线：limf(x)klim[f(x)kx]b存在，则xykxbxx为一条斜渐近线。（八）图形描绘步骤:1.确定函数yf(x)的定义域，并考察其对称性及周期性；2.求f(x),f(x)并求出f(x)及f(x)为零和不存在的点；3.列表判别函数的增减及曲线的凹向,求出极值和拐点;4.求渐近线;5.确定某些特殊点,描绘函数图形.第四章不定积分（一）概念和性质I1、原函数：在区间上，若函数F(x)可导，且F(x)f(x)，则F(x)称为f(x)的一个原函数。I2、不定积分：在区间上，函数f(x)的带有任意常数的原函数称为f(x)在区间上的不定积分。I3、基本积分表（P188，13个公式）；4、性质（线性性）。（二）换元积分法1、第一类换元法（凑微分）：f[(x)](x)dxf(u)duu(x)2、第二类换元法（变量代换）：f(x)dxf[(t)](t)dtt1(x)（三）分部积分法：udvuvvdu（四）有理函数积分1、“拆”；2、变量代换（三角代换、倒代换等）。第五章定积分（一）概念与性质：nf()xiibf(x)dxlim1、定义：0i1a2、性质：（7条）性质7（积分中值定理）函数f(x)在区间[a,b]上连续，则（平均值：bf(x)dxf()(ba)[a,b]，使abf(x)dxf()）aba（二）微积分基本公式（N—L公式）1、变上限积分：设(x)xf(t)dt，则xfx()()ad(x)f(t)dtfxxfxx[()]()[()]()推广：dx(x)2、N—L公式：若F(x)fx为()的一个原函数，则bf(x)dxF(b)F(a)a（三）换元法和分部积分1、换元法：fxdx()fttt[()]()dbabudvuvbbvdu2、分部积分法：aaa（四）反常积分1、无穷积分：2、瑕积分：bf(x)dxlimbf(x)dx（a为瑕点）taatbf(x)dxlimtf(x)dx（b为瑕点）tbaa两个重要的反常积分：,p1dxa1p,p1p11)xpa(ba)1q,q11qdx()xadx()bb2)bxqqaa,q1第六章定积分的应用（一）平面图形的面积1、直角坐标：Ab[f(x)f(x)]dx21a2、极坐标：A1[()()]d22212（二）体积1、旋转体体积：yf(x),xaxbx,,轴，绕轴旋转而成的旋转a)曲边梯形x体的体积：Vf2(x)dxbxayf(x),xaxb,x轴，绕y轴旋转而成的旋,b)曲边梯形转体的体积：Vb2xf(x)dx（柱壳法）ya2、平行截面面积已知的立体：VbA(x)dxa（三）弧长1f(x)2dx1、直角坐标：sba22dt2、参数方程：s(t)(t)23、极坐标：s()()d2第七章微分方程（一）概念1、微分方程：表示未知函数、未知函数的导数及自变量之间关系的方程。阶：微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数。2、解：使微分方程成为恒等式的函数。通解：方程的解中含有任意的常数，且常数的个数与微分方程的阶数相同。特解：确定了通解中的任意常数后得到的解。（二）变量可分离的方程g(y)dyf(x)dx，两边积分g(y)dyf(x)dx（三）齐次型方程dyy()，设uydyuxdu，则dx；dvdxxxdxdxxvxdxvydy()，设或dyyydy，则（四）一阶线性微分方程用常数