2022-2023学年安徽省马鞍山市高一年级下册学期期中素质模拟测试数学试题【含答案】

2022-2023学年安徽省马鞍山市高一下学期期中素质模拟测试数学试题一、单选题1．已知，其中为虚数单位，则在复平面内的共轭复数对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【分析】利用共轭复数的定义即可判定.【详解】因为，所以，所以对应的点（－1，－2）位于第三象限．故选：C2．已知，为直线，为平面，若，，则与的位置关系是（

）A．平行 B．相交或异面 C．异面 D．平行或异面【答案】D【分析】利用线面平行的定义及直线的位置关系即得.【详解】因为，所以直线与平面没有公共点，又，所以与没有公共点，即与的位置关系是平行或异面.故选：D.3．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知A=45°，a=6，b=3，则B的大小为（

）A．30° B．60°C．30°或150° D．60°或120°【答案】A【分析】先由正弦定理求出sinB=，可得B=30°或B=150°，再由a>b，得A>B，从而可求出B=30°.【详解】由正弦定理得，即，解得sinB=，又B为三角形内角，所以B=30°或B=150°，又因为a>b，所以A>B，即B=30°.故选：A.4．在中，，且，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用向量线性运算化简已知等式可整理得到，由此可得结果.【详解】，，，即.故选：B.5．如图，一个平面图形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形，则原平面图形的周长和面积分别为（

）A．2a， B．8a， C．8a， D．，【答案】B【分析】由直观图还原出原图，在原图中找出对应线段长度进而求出周长和面积．【详解】由直观图可得原图形，∴，，，∴，原图形的周长为，∴．故选：B6．已知力作用于一物体，使物体从点处移动到点处，则力对物体所做的功为（

）A．9 B． C．21 D．【答案】C【分析】根据向量数量积的几何意义，结合向量的数量积的运算公式，即可求解.【详解】由题意，物体从点处移动到点处，可得,因为力，所以力对物体所做的功为.故选：C.7．已知O是△ABC外接圆的圆心､若，，则（

）A．10 B．20 C． D．【答案】C【分析】，后结合图形及向量投影可得答案.【详解】，设中点为D，BA中点E，因O是△ABC外接圆的圆心，则在方向上的投影向量为,在方向上的投影向量为，则，.故.故选：C8．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，若角A的内角平分线AD的长为3，则的最小值为（

）A．12 B．24 C．27 D．36【答案】A【分析】先利用正弦定理化角为边，再结合余弦定理可求得，再利用等面积法结合基本不等式即可得解.【详解】因为，所以，即，所以，又因，所以，由，得，所以，则，当且仅当，即时，取等号，所以的最小值为.故选：A.二、多选题9．已知向量，满足，，，则下列结论中正确的是（

）A． B．C． D．与的夹角为【答案】BC【分析】先利用平面向量的数量积运算得到，即可得到的值，再利用平面向量的数量积运算得到，最后求解，即可判断选项.【详解】，∴，∴，∴，，，∴与的夹角为，故BC正确.故选：BC.10．在中，如下判断正确的是（

）A．若，则为等腰三角形 B．若，则C．若为锐角三角形，则 D．若，则【答案】BCD【分析】选项A.由题意可得或，从而可判断；选项B.若,则，由正弦定理可判断；选项C.若为锐角三角形，则，即所以，由正弦函数的单调性可判断；选项D.在中,若，由正弦定理可得，从而可判断.【详解】选项A.在中,若,则或所以或，所以为等腰或直角三角形.故A不正确.选项B.在中,若,则，由正弦定理可得,即，故B正确.选项C.若为锐角三角形，则所以，所以,故C正确.选项D.在中,若，由正弦定理可得，即，所以，故D正确.故选：BCD11．如图，AC为圆锥SO底面圆O的直径，点B是圆O上异于A，C的动点，，则下列结论正确的是（

）A．圆锥SO的侧面积为B．三棱锥S-ABC体积的最大值为C．∠SAB的取值范围是D．若，F为线段AB上的动点，则的最小值为【答案】BD【分析】利用公式和侧面展开图可判断AD的正误，求出面积的最大值后可求体积的最大值，故可判断B的正误，过作，垂足为，利用解直角三角形可求的范围，从而可判断C的正误.【详解】因为，故，故侧面积为，故A错误.而，即，当且仅当时等号成立，故面积的最大值为1，故三棱锥体积的最大值为，故B正确.如图，过作，垂足为，则，而，故，当且仅当重合时等号成立，而为锐角，故，故C错误.当时，，此时为等边三角形，为等腰直角三角形，将、沿展开至同一个平面，得到如图所示的平面图形，连接，其中，则，故，而，当且仅当三点共线时等号成立，故D正确.故选：BD.12．著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．此直线被称为三角形的欧拉线，该定理被称为欧拉线定理．已知的外心为，垂心为，重心为，且，，则下列说法正确的是（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】设是中点，由为垂心，得，判断A，利用，，计算数量积判断B，同时可判断C，由重心性质得，然后由向量的线性运算判断D．【详解】为垂心，，所以，A正确；设是中点，则共线，，，B错误；由B的推导过程得，C正确；由得，所以，所以，即，D正确故选：ACD．三、填空题13．已知复数满足，则等于__________．【答案】【分析】根据给定条件，求出复数，再利用复数模的意义计算作答.【详解】依题意，，即，所以.故答案为：14．已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，M、N分别为BB1、AB的中点，则三棱锥A-NMD1的体积为____________【答案】【分析】利用计算即可.【详解】因为正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，M、N分别为BB1、AB的中点所以故答案为：【点睛】在求解三棱锥的体积时，要注意观察图形的特点，看把哪个当成顶点好计算一些.15．在△中，角，，所对的边分别为，，，表示△的面积，若，，则__________．【答案】【详解】试题分析：∵，∴，∴，∴，．∵，∴，∴，∴，∴．【解析】解三角形.【思路点睛】先利用余弦定理和三角形的面积公式可得，可得，再用正弦定理把中的边换成角的正弦，利用两角和公式化简整理可求得，最后根据三角形内角和，进而求得．16．如图，单位向量，的夹角为，点在以为圆心，1为半径的弧上运动，则的最小值为______．【答案】【分析】建立平面直角坐标系，设出，，利用平面向量数量积公式，结合辅助角公式得到，结合，求出最小值.【详解】以为坐标原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系，则，设，，故，因为，所以，故当，时，取得最小值，最小值为.故答案为：四、解答题17．已知复数，为虚数单位.(1)求和；(2)若复数z是关于x的方程的一个根，求实数m，n的值.【答案】(1)，．(2)，【分析】（1）根据复数的乘除运算规则计算；（2）将z代入方程，根据复数等于0的意义求解.【详解】（1）∵，∴，；（2）∵复数是关于的方程的一个根，∴，∴，∴，∴，解得，；综上，.18．已知：､是同一平面内的两个向量，其中=（1，2），(1)若与的夹角为锐角，求实数的取值范围；(2)求在上投影向量.【答案】(1)；(2).【分析】（1）求出，再解不等式组即得解；（2）求出，，再代入投影向量的公式即得解.【详解】（1），又与的夹角为锐角，且与不平行，，解得且，实数的取值范围是（2）由题得，，在上的投影向量为.19．已知向量．（1）若，求的值；（2）若，当时，求函数的最大值；【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由，化简得，结合正切的倍角公式，即可求解；(2)根据题意得到，结合三角函数的图象与性质，即可求解.【详解】（1）由题意，向量，因为，可得，整理得，即，所以.(2)因为，可得，因为，所以，当，即时，函数取最大值为．20．如图，在平面四边形中，，，.(1)当，时，求的面积；(2)当，时，求.【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用余弦定理求出，，再利用诱导公式、三角形面积公式计算作答.（2）在和中用正弦定理求出AC，再借助同角公式求解作答.【详解】（1）当时，在中，由余弦定理得，即，解得，，因为，则，又，所以的面积是.（2）在中，由正弦定理得，即，在中，由正弦定理得，即，则，整理得，而，为锐角，所以.21．如图所示，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝2，AA1＝1，点D是AB的中点.(1)求点B到平面B1CD的距离；(2)求异面直线AC1和B1C所成角的余弦值.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用等体积法转化即可；（2）先将异面直线通过平行转化于同一面，再利用余弦定理解角即可.【详解】（1）因为△ABC正三角形，D为AB的中点，AB＝2，则BD＝1，CD＝．又BB1⊥底面ABC，BB1＝AA1＝1，则B1D＝，B1C，则，所以CD⊥B1D．所以，．设点B到平面B1CD的距离为d，由，得，即，所以，即点B到平面B1CD的距离为．（2）连结BC1，交B1C于点M，连结MD，则M为BC1的中点，又D为AB的中点，则AC1∥MD，所以∠CMD或其补角即为异面直线AC1和B1C所成角,因为正三棱柱ABC－A1B1C1中，CC1⊥AC，CC1＝1，AC＝2，所以AC1＝，所以MD＝，又CD＝，CM＝，由余弦定理，得．所以异面直线AC1和B1C所成角的余弦值为．22．在中，，再从下面两个条件中，选出一个作为已知，解答下面问题.(1)若，求的面积；(2)求的取值范