2022-2023学年江苏省常州高二年级下册学期期中数学试题【含答案】

2022-2023学年江苏省常州高二下学期期中数学试题一、单选题1．从7本书中任意选取2本，不同的选法种数为（

）．A．84 B．42 C．30 D．21【答案】D【分析】利用组合数求解即可.【详解】从7本书中任意选取2本，不同的选法种数为故选：D2．设向量是直线l的方向向量，是平面α的法向量，则（

）A． B．或 C． D．【答案】B【分析】由，得，所以或【详解】，，，则有，又是直线l的方向向量，是平面α的法向量，所以或.故选：B3．为了考查两个变量x和y之间的线性相关性，甲、乙两个同学各自独立做了15次和20次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线为l1和l2，已知在两人的试验中发现对变量x的观测数据的平均值恰好相等，都为s，对变量y的观测数据的平均值也恰好相等，都为t，那么下列说法正确的是()A．直线l1和直线l2有交点(s，t) B．直线l1和直线l2相交，但交点未必是点(s，t)C．直线l1和直线l2必定重合 D．直线l1和直线l2由于斜率相等，所以必定平行【答案】A【分析】根据回归直线过样本数据中心点，并结合回归直线的斜率来进行判断．【详解】由于回归直线必过样本的数据中心点，则回归直线和回归直线都过点，做了两次试验，两条回归直线的斜率没有必然的联系，若斜率不相等，则两回归直线必交于点，若斜率相等，则两回归直线重合，所以，A选项正确，B、C、D选项错误，故选A.【点睛】本题考查回归直线的性质，考查“回归直线过样本数据的中心点”这个结论，同时也要抓住回归直线的斜率来理解，考查分析理解能力，属于基础题．4．平行六面体中，，，，则对角线的长为（

）A． B．12 C． D．13【答案】D【解析】，然后可求出答案.【详解】因为，所以故选：D5．已知，若三向量共面，则实数等于（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】D【分析】利用向量共面定理，设，列出方程组，即可求出实数．【详解】，三向量共面，可设，即，，解得．故选：D．6．的展开式中的系数为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】把按照二项式定理展开，可得的展开式中的系数.【详解】解：，故它的展开式中含的系数为，故选：C．【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题.7．设函数，若关于x的方程恰好有4个不相等的实数解，则实数m的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】方程化为或，由导数确定函数的单调性、极值，结合函数图象可得参数范围．【详解】因为恰好有4个不相等的实数解，所以恰好有4个不相等的实数解，所以或共有4个解，设，，则，所以时，，单调递增，时，，单调递减，且，，当时，，所以设，，则，为单调减函数，且时，，，作出函数的图象如图所示：由图可知只有一解，要恰好有4个不相等的实数解，即要恰有3解，所以，即，故选：B.【点睛】方法点睛：利用导数研究方程解的个数问题的方法是方程转化为的形式，然后利用导数确定函数的性质（单调性、极值、函数的变化趋势），作出函数的大致图象及直线观察图象可得解的个数的结论．8．已知编号为1，2，3的三个盒子，其中1号盒子内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号盒子内装有两个1号球，一个3号球；3号盒子内装有三个1号球，两个2号球．若第一次先从1号盒子内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的盒子中，第二次从放入球的盒子中任取一个球，则第二次抽到3号球的概率为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】记第一次抽到第i号球的事件分别为，记第二次在第i号盒内抽到3号球的事件分别为，再利用全概率公式求解即可.【详解】记第一次抽到第i号球的事件分别为，则有，，记第二次在第i号盒内抽到3号球的事件分别为，而，，两两互斥，和为，，，，记第二次抽到3号球的事件为B，．故选:C．二、多选题9．已知两个分类变量、，由它们的样本数据计算得到的观测值，的部分临界值表如下：以下判断正确的是（

）A．在犯错误的概率不超过的前提下认为变量、有关系B．在犯错误的概率不超过的前提下认为变量、没有关系C．有的把握说变量、有关系D．有的把握说变量、没有关系【答案】AC【分析】利用独立性检验的基本思想可得出结论.【详解】因为，因此，在犯错误的概率不超过的前提下认为变量、有关系，或者说有的把握说变量、有关系，故选：AC.10．在的展开式中，第2，3，4项的二项式系数依次成等差数列，则下列说法正确的有（）A．展开式的各项系数和为128B．展开式中存在常数项C．展开式中存在有理项D．展开式中项的系数最大值为【答案】CD【分析】根据二项式的通项公式，结合等差数列的性质逐一判断即可.【详解】因为第2，3，4项的二项式系数依次成等差数列，所以有，或舍去，在中令，得，展开式的各项系数和为，所以选项A不正确；二项式的通项公式为：，令，所以没有常数项，因此选项B不正确；当时，，所以展开式中存在有理项，因此选项C正确；要想展开式中项的系数有最大值，必有，当时，，当时，，当时，，当时，，所以存在展开式中项的系数最大值为，因此本选项正确，故选：CD11．在棱长为2的正方体中，､､分别为､､的中点，为线段上的动点（不含端点），则下列选项正确的是（

）A．直线与所成角的余弦值为B．存在点，使得C．三棱锥的体积为定值D．存在实数､使得【答案】BCD【分析】对于：连接，，，易知∥，则角即为与所成角补角，求解即可；对于：连接，，根据，，求得，再根据即可判断；对于：根据的体积与的体积相等即可判断；对于：连接，，即可．【详解】解：设正方体棱长为2，对于：连接，，，作图如下：因为，都为中点，易知∥，则即为与所成角或补角，易知，，，则，则直线与所成角的余弦值为，错误；对于：连接，，作图如下：由知，，为线段上的动点（不含端点），所以，易知，所以，所以存在点，使得，正确；对于：因为∥平面，所以到平面的距离是定值，则点到平面的距离是定值2，又因为是定值，所以三棱锥的体积为定值，正确．对于：连接，，作图如下：易知∥，又因为，分别为中点，所以易知∥，且=，则，，，四点共面，所以为梯形，为相交直线，所以存在实数､使得，又因为∥，且=，所以，所以存在实数､使得，正确，故选：．12．已知函数，为的导函数，则下列说法正确的是(

)A．当时，在单调递增B．当时，在处的切线方程为C．当时，在上至少有一个零点D．当时，在上不单调【答案】ABD【分析】A．代入m＝1，求，根据指数函数和正弦函数在上的值域即可判断的正负，由此可判断f(x)在上的单调性；B﹒代入m＝1，求f(0)和，根据导数的几何意义和直线的点斜式方程即可求切线方程；C﹒代入m＝－1，求，令，求，根据在上的正负判断的单调性，根据单调性可判断其在上是否有零点；D﹒判断在，上的正负，由此判断的单调性，由此可判断在，上有零点，故可判断f(x)在，上不单调．【详解】①当时，，，当x＞0时，＞1，－1≤sinx≤1，∴＞0，∴f(x)在上单调递增，故A正确；∵f(0)＝0，，∴在处的切线方程为y＝x，故B正确；②当m＝－1时，，，令，则，当x＞0时，＞1，－1≤cosx≤1，∴＞0，∴在上单调递增，∴当x≥0时，≥＝1，∴在上无零点，∴C错误；当，时，cosx＜0，＞0，∴＞0，∴在，单调递增，又，而，∴由零点存在定理可知，存在唯一，，使得，当，时，，单调递减，当，时，，单调递增，∴在，上不单调，故D正确．故选：ABD.三、填空题13．小赵、小钱、小孙、小李四名同学报名参加了鸡峰山、吴山、天台山、灵山四个景点的旅游，且每人只参加了其中一个景点的旅游，记事件A为“4个人去的景点互不相同”，事件B为“只有小赵去了吴山景点”，则________．【答案】【分析】首先求出只有小赵去了吴山景点情况，再求出4个人去的景点互不相同且小赵去了龙虎山景点的情况，代入公式即可求解．【详解】解：只有小赵去了吴山景点共有种情况，即，4个人去的景点互不相同且小赵去了吴山景点的情况有种，即，故答案为：14．函数在区间上的最大值为______．【答案】【分析】利用导数，判断函数的单调性，可得结果.【详解】由，所以，当时，，所以，则在单调递减，所以.故答案为：.15．计算：_____________．（用数字作答）【答案】330【详解】利用组合数的性质，化简求值..故答案为：33016．如图，在四面体ABCD中，平面ABC⊥平面BCD，△BAC与△BCD均为等腰直角三角形，且，，点P在线段AB（不含端点）上运动．若线段CD（不含端点）上存在点Q，使异面直线PQ与AC所成的角为30°，则线段AP的长度的取值范围为_____________【答案】【分析】由于P，Q为动点，且锥体较为规则，可建立空间直角坐标系，结合向量夹角的余弦公式及不等关系即可求解，【详解】平面平面，△BAC与△BCD均为等腰直角三角形，BC中点为O，连接OA，则，平面，平面平面，则平面，又，，以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，过C作平面BCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，则，，，，设，，，∵异面直线PQ与AC成30°的角，∴

，解得，线段PA长的取值范围是.故答案为：．四、解答题17．若，其中.(1)求m的值；(2)求.【答案】(1)；(2).【分析】（1）展开式的通项为，，解得答案；（2）取得到，代入计算得到答案.【详解】（1）因为展开式的通项为，，解得；（2）因为，取得到，所以.18．已知函数．(1)若，求函数的单调区间；(2)若函数在区间上单调递增，求实数a的取值范围.【答案】(1)函数的递增区间是，递减区间是.(2)【分析】（1）求出函数的定义域，利用导数求出单调区间作答即可；（2）依题意在上恒成立，参变分离可得在上恒成立，利用不等式性质求出函数的最大值，即可求出参数的取值范围.【详解】（1）因为，所以，即函数的定义域为，当时，，有，，所以，当时，，当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，即函数的递增区间是，递减区间是.（2）因为函数在区间上单调递增，所以在上恒成立，所以在上恒成立，所以因为，所以，即，所以，所以，即实数a的取值范围为.19．如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，，点M，N分别为棱PB，DC的中点.(1)求证：平面PCD；(2)求直线MN与平面PCD所成角的正弦值.【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）利用线面平行判定定理，结合中位线定理以及平行四边形的性质，可得答案；（2）建立空间直角坐标系，求得直线的方向向量以及平面的法向量，利用线面角的向量公式，可得答案.【详解】（1）取的中点，连接，如下图：在中，分别为的中点，则，，，即，平面，平面，平面.（2）由题意，易知两两垂直，如图建立空间直角坐标系，则，，，，由分别为的中点，则，，取，在平面内，取，，设平面的法向量，则，即，令，则，故平面的一个法向量，设直线与平面所成角为，则.20．某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：）和材积量（单位：），得到如下数据：样本号i12345678910平均值根部横截面积0.040.060.040.080.080.05abc0.070.06材积量0.250.410.220.540.530.340.350.390.430.440.39其中a，b，c为等差数列，并计算得：，，．(1)求b的值；(2)若选取前6个样本号对应数据，判断这种树木的根部横截面积与材积量是否具有很强的线性相关性，并求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的回归直线方程（若，则认为两个变量的线性相关性一般；若，则认为两个变量的线性相关性很强）；附：相关系数，回归直线中，，．(3)根据回归直线方程估计a，c的值（精确到0.01）．【答案】(1)b＝0.06(2)这种树木的根部横截面积与材积量具有很强的线性相关性，(3)a≈0.05，c≈0.07．【分析】（1）由a，b，c为等差数列及表格中数据的平均值，解得b的值；（2）利用相关系数计算公式判断线性相关性强弱，利用回归方程计算公式求回归方程；（3）利用（2）求得方程，计算a，c.【详解】（1）由a，b，c为等差数列，得，由表格得该树木根部横截面积的平均值为，可得，故，解得．（2）由已知得，，相关系数，故这种树木的根部横截面积与材积量具有很强的线性相关性．，，所以该林区这种树木的根部横截面积与材积量的回归直线方程为．（3）由表格数据可得，根部横截面积为a，c时对应的材积量分别为，，代入回归直线方程分别得，，解得，．21．如图，在长方体中，，．若，分别为棱，上的点，且，平面与棱，分别交于，，．(1)求证：；(2)求平面与平面所成的锐二面角余弦值的取值范围．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）建立恰当的空间直角坐标系，用向量法可证（2）用表示所求二面角的余弦值，求其取值范围即可【详解】（1）在长方体中，，，两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系则，，，所以，所以所以（2），则（），，，因为平面，平面所以，又且，平面，平面所以平面所以为平面的一个法向量设为平面的法向量则，所以即令，则所以平面的一个法向量设平面与平面所成的锐二面角为，则则设，则开口向上，对称轴为在区间的右侧所以在上单调递减所以，所以所以即22．已知函数．⑴当时，求函数的极值；⑵若存在与函数，的图象都相切的直线，求实数的取值范围．【答案】（1）当时，函数取得极小值为，无极大值；（2）【详解】试题分析：（1），通过求导分析，得函数取得极小值为，无极大值