2022-2023学年河北省承德市重点高中高一年级下册学期期中联考数学试题【含答案】_第1页
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2022-2023学年河北省承德市重点高中高一下学期期中联考数学试题一、单选题1.已知复数满足,则的虚部为(

)A. B. C. D.2【答案】A【分析】根据复数除法法则,再结合虚部的概念即可得到答案.【详解】由,则,所以的虚部为.故选:A.2.下列说法中不正确的是(

)A.零向量与任一向量平行 B.方向相反的两个非零向量不一定共线C.单位向量是模为1的向量 D.方向相反的两个非零向量必不相等【答案】B【分析】根据向量的定义、共线向量、相等向量的定义求解.【详解】根据规定:零向量与任一向量平行,A正确;方向相反的两个非零向量一定共线,B错误;单位向量是模为1的向量,C正确;根据相等向量的定义:长度相等方向相同的两个向量称为相等向量,所以方向相反的两个非零向量必不相等,D正确;故选:B.3.在中,若,则(

)A. B.16 C.9 D.0【答案】B【分析】根据题意得到,再根据数量积和向量的加法法则即可求解.【详解】由,则,所以,所以.故选:B.4.若,,则的值为(

)A. B. C. D.【答案】D【分析】根据角的范围,结合同角的三角函数关系式,利用两角和的余弦公式进行求解即可.【详解】因为,所以,所以,所以.故选:D.5.在中,角所对的边分别为,若,,,则此三角形解的情况为(

)A.无解 B.有两解 C.有一解 D.有无数解【答案】C【分析】利用正弦定理可得,由的取值范围可求得的范围,结合大边对大角可知为锐角的一个,由此可得结果.【详解】由正弦定理得:,,,则,,,,只能为锐角的一个值,只有一个解.故选:C.6.已知的三边长分别为,,,且最大内角是最小内角的2倍,则最小内角的余弦值为(

)A. B. C. D.【答案】B【分析】设的最小内角为,利用正弦定理得到,再利用余弦定理得到,进而即可求解.【详解】设的最小内角为,由正弦定理得,整理得,又余弦定理得,所以,解得,则.故选:B.7.已知点是所在平面内一点,若非零向量与向量共线,则(

)A. B.C. D.【答案】D【分析】计算得出,可得出,即可得出结论.【详解】因为,所以与垂直,因为与共线,所以,则.故ABC均无法判断,D对.故选:D.8.将函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象,若在上单调递增,则的取值范围为(

)A. B. C. D.【答案】C【分析】根据辅助角公式和图象的平移变换得到,再根据正弦函数的单调性求出函数的单调递减区间,然后根据条件给出的区间建立不等式关系进行求解即可.【详解】由,将函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象,则,由,,得,又在上单调递增,则,,解得,即,又,则当时,,即的取值范围是.故选:C.二、多选题9.若复数为纯虚数,则(

)A.为实数 B.为实数C.为实数 D.为实数【答案】ACD【分析】根据题意,设且,得到,结合复数的运算法则,逐项判定,即可求解.【详解】因为为纯虚数,设且,则,由,所以A正确;由,所以B错误;由为实数,所以C正确;由为实数,所以D正确.故选:ACD.10.已知函数,则下列关于函数的图象与性质的叙述中,正确的有(

)A.函数的最小正周期为B.函数在上单调递增C.函数的图象关于直线对称D.【答案】ABC【分析】根据正切函数的性质画出图象,即可判断A、B、C的正误,由正切函数及诱导公式求判断D.【详解】函数的大致图象,如下图示,由上图象,易知:最小正周期为、上单调递增、图象关于直线对称,故A,B,C正确,又,所以,故D错误.故选:ABC.11.已知非零向量,满足,则下列结论正确的是(

)A.若,共线,则B.若,则C.若,则D.【答案】BD【分析】当,同向时即可判断A;根据,有,再对两边平方即可判断B;根据,求解即可判断C;对两边平方,再结合基本不等式,绝对值不等式即可判断D.【详解】对于A,由,,所以当,同向时,,此时,故A错误;对于B,若,则,,两边平方得,故B正确;对于C,由,所以,即,故C错误;对于D,由,得,故D正确.故选:BD.12.在锐角中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,,且,则下列结论正确的是(

)A. B.a>c C.c>a D.【答案】ACD【分析】利用正弦边角关系可得,结合余弦定理及锐角三角形知、判断A、B、C正误;再由正弦边角关系得,应用倍角公式得,注意,即可得范围判断D正误.【详解】由正弦边角关系知:,则,所以,而,则,A正确;由上知:,即,B错误,C正确;由知:,则,又,故,则,即,D正确.故选:ACD三、填空题13.计算:___________.【答案】【分析】由复数的除法化简复数,进而求模即可.【详解】.故答案为:14.已知,向量在上的投影向量为,则__________.【答案】【分析】设向量的夹角为,根据投影向量的概念,再结合数量积的概念即可求解.【详解】设向量的夹角为,由在方向上的投影向量为,则,即,所以.故答案为:.15.已知某扇形材料的面积为,圆心角为,则用此材料切割出的面积最大的圆的周长为______.【答案】【分析】根据条件求出扇形半径,设割出的圆半径为,圆心为,由求得,从而求得的周长.【详解】设扇形所在圆半径为,∴如图:设割出的圆半径为,圆心为,∴,,故,所以最大的圆周长为.故答案为:16.记的内角,,的对边分别为,,,若为的重心,,,则__________.【答案】【分析】根据及余弦定理建立方程得出,再由余弦定理求解即可.【详解】连接,延长交于,由题意得为的中点,,所以,,因为,所以,得,又,则,故.故答案为:.四、解答题17.已知虚数z满足.(1)求证:在复平面内对应的点在直线上;(2)若是方程的一个根,求与.【答案】(1)证明见解析(2),【分析】(1)由题设可得,应用代数运算化简并确定点坐标,即可证结论;(2)将复数代入方程求参数即可.【详解】(1)设,由,则,所以,所以在复平面内对应的点为,在直线上.(2)同(1)设复数,因为z是方程的一个根,所以,即,所以且,得,因为,所以,把代入得:,所以,.18.已知函数的图象的一部分如图所示.(1)求函数的解析式;(2)当时,求函数的最值.【答案】(1);(2)最小值;最大值.【分析】(1)由函数的图象,求得,,得到,再由,求得,即可得到函数的解析式;(2)化简得到函数,结合三角函数的性质,即可求解.【详解】(1)由函数的图象,可得,,即,所以,可得,又因为,即,可得,又由,所以,所以函数的解析式为.(2)由题意,函数.因为,所以,所以当,即时,取最小值;当,即时,取最大值.【点睛】本题主要考查了利用三角函数的图象求解函数的解析式,以及三角函数的图象与性质的综合应用,其中解答中熟练应用三角函数的图象与性质是解答的关键,着重考查推理与运算能力.19.已知的内角的对边分别为,向量,且.(1)求角A;(2)若的周长为,且外接圆的半径为1,判断的形状,并求的面积.【答案】(1)(2)等边三角形,【分析】(1)由,可得,后由正弦定理结合即可得答案;(2)由(1),的周长为,且外接圆的半径为1,可得,后由余弦定理可得,解出b,c即可得答案.【详解】(1)因为,所以,即.由正弦定理得,因为,所以.因为,所以,所以.因为,所以.(2)设外接圆的半径为,则.由正弦定理,得.因为的周长为,所以.由余弦定理,得,即,所以.则.所以为等边三角形,的面积.20.已知向量,满足,,.(1)求向量与的夹角;(2)求.【答案】(1)(2)【分析】(1)由,,解得,再由向量的数量积,即可得出答案.(2),由向量的数量积,即可得出答案.【详解】(1)解:因为,所以,因为,所以,解得.而,所以,又,所以.(2)解:因为,,所以,所以.21.2023年的春节,人们积蓄已久的出行热情似乎在这一刻被引爆,让旅游业终于迎来真正意义上的“触底反弹”.如图是某旅游景区中的网红景点的路线图,景点A处下山至处有两种路径:一种是从A沿直线步行到,另一种是先从A沿索道乘缆车到B,然后从B沿直线步行到.现有甲、乙两位游客从A处下山,甲沿匀速步行,速度为.在甲出发后,乙从A乘缆车到B,在B处停留后,再从B匀速步行到.假设缆车匀速直线运行的速度为,索道长为,经测量,.(1)求山路的长;(2)乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短?【答案】(1)(2)当时,甲、乙两游客距离最短【分析】(1)利用,可得,后由正弦定理可得答案;(2)假设乙出发分钟后,甲在D点,乙在E点.由图,题意,余弦定理可得,即可得答案.【详解】(1)在中,因为,所以.从而.由正弦定理,得.所以山路的长为;(2)假设乙出发分钟后,甲在D点,乙在E点.此时,,,所以由余弦定理得.因为,即,故当时,甲、乙两游客距离最短.22.已知圆的半径为2,圆与正的各边相切,动点在圆上,点满足.(1)求的值;(2)若存在,使得,求的最大值.【答案】(1)51(2)5【分析】(1)方法1,由题可得O为正三角形中心,则,,又由,可得,后注意到即可得答案;方法2,以点为坐标原点,直线为轴,过点与直线垂直的直线为轴建立直角坐标系,设,则可得,化简后可得答案;(2)方法1,由,可得,平方后结合(1)可得,后由基本不等式可将其化为,即可得答案;方法2,由(1)结合,可得,则.

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