平行四边形较难题库

勾股定理。难度一般2题库

1.如图，在矩形ABCD中，AB=3,BC=2，点E为AD中点，点F为BC边上任一点，

过点F分别作EB,EC的垂线，垂足分别为点G,H,则FG+FH为（）.

3

V10D,5710

2.如图，设四边形ABCD是边长为1的形，以对角线AC为边作第二个形ACEF,再

以对角线AE为边作第三个形AEGH,如此下去，则第n个形的边长为（）

A.nB.(n-1)^2C.(>/2)nD(72)n-1

3如图④②③④⑤五个平行四边形拼成一个含30°角的菱形EFGH（不重叠无缝隙）若

①②③④四个平行四边形面积的和为14cm2,四边形ABCD面积是llcm?,则①②③

④四个平行四边形周长的总和为（）

CG

A.48cmB.36cmC.24cmD.18cm

4.如图，菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为2和3,NA=120。，则图中阴影部分

的面积是（）

5.如图，矩形ABCD与菱形EFGH的对角线均交于点0,且EGIIBC,将矩形折叠,

使点C与点0重合，折痕MN恰好过点G若AB=几，EF=2,zH=120°,则DN的

A-TB.普迫C.GMD.2V3-V6

6.如图，矩形ABCD的面积为10cm2,它的两条对角线交于，点01以AB、AOi为

两邻边作平行四边形ABGOi,平行四边形ABCiOi的对角线交于点。2,同样以AB、

AO2为两邻边作平行四边形ABC26,依此类推，则平行四边形ABCQn的面积为

()

1O

D-10X--cin

2n

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7.如图，在矩形ABCD中，AB=4,BC=6，点E为BC的中点，将MBE沿AE折叠，

使点B落在矩形点F处，连接CF,则CF的长为（）

8.如图，已知形ABCD的边长为3,E是BC上一点，BE=6,Q是CD上一动点，

将ACEQ沿直线EQ折叠后，点C落在点P处，连接PA.点Q从点C出发，沿线段

CD向点D运动，当PA的长度最小时，CQ的长为（）

A.36-3B.3-V3C.-D.3

2

9.如图，在菱形ABCD中,AB=4,zA=120°，点P,Q,K分别为线段BC,CD,

BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为（）

D.273+2

10.如图,在矩形ABCD中，AB=3,BC=4,点P在BC边上运动连结DP,过点A

作AE±DP,垂足为E,设DP=x,AE=y,则能反映y与x之间函数关系的大致图象

是（）

11.如图,矢舱ABCD中,AB=9,AD=4.E为CD边上一点,CE=6.点P从点B

出发，以每秒1个单位的速度沿着边BA向终点A运动，连接PE.设点P运动的时间

为t秒.

(1)求AE的长；

(2)当t为何值时，WAE为直角三角形？

(3)是否存在这样的t,使EA恰好平分NPED,若存在，求出t的值;若不存在，请

说明理由.

12.如图所示，形ABCD的面积为12,MBE是等边三角形，点E在形ABCD,在对

角线AC上有一点P,使PD+PE的和最小，则这个最小值为.

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13.已知在矩形ABCD中，zADC的平分线DE与BC边所在的直线交于点E,点P是

线段DE上一定点（其中EP<PD）

（1）如图1,若点F在CD边上（不与D重合），将NDPF绕点P逆时针旋转90。后,

角的两边PD、PF分别交射线DA于点H、G.

①求证:PG=PF;

②探究：DF、DG、DP之间有怎样的数量关系，并证明你的结论.

（2）拓展：如图2,若点F在CD的延长线上（不与D重合），过点P作PGLPF,交

射线DA于点G，你认为（1）中DE、DG、DP之间的数量关系是否仍然成立？若成

立，给出证明；若不成立，请写出它们所满足的数量关系式，并说明理由.

14.操作：如图，边长为2的形ABCD,点P在射线BC上，将^ABP沿AP向右翻折，

得到AAEP,DE所在直线与AP所在直线交于点F.

探究：（1）如图1,当点P在线段BC上时，①若NBAP=30。，求NAFE的度数；②若

点E恰为线段DF的中点时，请通过运算说明点P会在线段BC的什么位置？并求出此

时NAFD的度数.

归纳：(2)若点P是线段BC上任意一点时(不与B,C重合)，ZAFD的度数是否会

发生变化？试证明你的结论；

猜想：(3)如图2,若点P在BC边的延长线上时，ZAFD的度数是否会发生变化？试

在图中画出图形，并直接写出结论.

15.如图，在矩形纸片ABCD中，AB=4,AD=12,将矩形纸片折叠，使点C落在AD

边上的点M处，折痕为PE,此时PD=3.

(1)求MP的值；

(2)在AB边上有一个动点F,且不与点A,B重合.当AF等于多少时，&MEF的周

长最小？

(3)若点G,Q是AB边上的两个动点，且不与点A,B重合,GQ=2.当四边形MEQG

的周长最小时，求最小周长值.(计算结果保留根号)

16.图1、图2是两形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小形的边长均为1,

每个小形的顶点叫做格点.

(1)在图1中画出等腰直角三角形MON,使点N在格点上，且NMON=90。；

(2)在图2中以格点为顶点画一个形ABCD,使形ABCD面积等于(1)中等腰直角

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三角形MON面积的4倍，并将形ABCD分割成以格点为顶点的四个全等的直角三角

形和一个形，且形ABCD面积没有剩余（画出一种即可）.

图1图2

17.在劳技课上，老师请同学们在一长为17cm,宽为16cm的长方形纸板上剪下一

个腰长为10cm的等腰三角形（要求等腰三角形的一个顶点与长方形的一个顶点重合，

其余两个顶点在长方形的边上）.请你帮助同学们设计出不同类型的，你认为符合条件

的等腰三角形，（分别在下列矩形中画出示意图）并分别计算剪下的等腰三角形的面

积.（位置不同，形状全等的将视为一种结果）

18如图,P是边长为1的形ABCD对角线BD上一动点P与B、D不重合）/APE=90°,

且点E在BC边上，AE交BD于点F.

（1）求证：①APAB空APCB;②PE=PC;

AP

（2）在点P的运动过程中，而的值是否改变？若不变，求出它的值；若改变，请说明

理由；

（3）设DP=x,当x为何值时，AEIIPC,并判断此时四边形PAFC的形状.

D

BEC

19.如图1所示,在形ABCD和形CGEF中，点B、C、G在同一条直线上，M是线

段AE的中点，DM的延长线交EF于点N,连接FM,易证：DM=FM,DM_LFM(无

需写证明过程)

(1)如图2,当点B、C、F在同一条直线上,DM的延长线交EG于点N,其余条件

不变，试探究线段DM与FM有怎样的关系？请写出猜想，并给予证明；

(2)如图3,当点E、B、C在同一条直线上，DM的延长线交CE的延长线于点N,

其余条件不变，探究线段DM与FM有怎样的关系？请直接写出猜想.

20.如图1,在AABO中,zOAB=90°,zAOB=30°,0B=8.以0B为一边，在—AB

外作等边三角形OBC,D是0B的中点，连接AD并延长交0C于E.

(1)求点B的坐标；

(2)求证：四边形ABCE是平行四边形；

(3)如图2,将图1中的四边形ABCO折叠，使点C与点A重合，折痕为FG,求

0G的长.

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21.已知，在矩形ABCD中，AB=a,BC=b,动点M从点A出发沿边AD向点D运

(1)如图1,当b=2a，点M运动到边AD的中点时，请证明NBMC=90°;

(2)如图2,当b>2a时，点M在运动的过程中，是否存在NBMC=90。，若存在，

请给与证明；若不存在，请说明理由；

(3)如图3,当b<2a时，(2)中的结论是否仍然成立？请说明理由.

22.在四边形ABCD中,ADllBC,AB=8cm,AD=16cm,BC=22cm,/AEC=90°.点

P从点A出发，以lcm/s的速度向点D运动，点Q从点C同时出发，以3cm/s的速

度向点B运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为

(1)当t=时,四边形ABQP成为矩形？

(2)当t=时，以点P、Q与点A、B、C、D中的任意两个点为顶点的四边形

为平行四边形？

(3)四边形PBQD是否能成为菱形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由，并探

究如何改变Q点的速度(匀速运动)，使四边形PBQD在某一时刻为菱形，求点Q的

速度.

23.已知点0是AABC任意一点,连接0A并延长到E，使得AE=OA，以OB,0C

为邻边作。OBFC,连接OF与BC交于点H,再连接EF.

(1)如图1,若△ABC为等边三角形，求证:①EF_LBC;②EF=6BC；

(2)如图2,若AABC为等腰直角三角形(BC为斜边)，猜想(1)中的两个结论是否

成立？若成立，直接写出结论即可；若不成立，请你直接写出你的猜想结果；

(3)如图3,若AABC是等腰三角形，且AB=AC=kBC,请你直接写出EF与BC之间

的数量关系.

24.如图，在RNABC中，zBAC=90°,现在有一足够大的直角三角板，它的直角顶

点D是BC上一点，另两条直角边分别交AB、AC于点E、F.

(1)如图1,若DE±AB,DF±AC,求证：四边形AEDF是矩形；

(2)在(1)条件下，若点D在NBAC的角平分线上，试判断此时四边形AEDF的形

状，并说明理由；

(3)若点D在NBAC的角平分线上，将直角三角板绕点D旋转一定的角度，使得直角

三角板的两条边与两条直角边分别交于点E、F(如图2),试证明AE+AF=A/演D.

25.如图，矩形ABCD中，AB=16cm,BC=6cm，点P从点A出发沿AB向点B移

动(不与点A、B重合)，一直到达点B为止；同时，点Q从点C出发沿CD向点D移

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动(不与点C、D重合).

(1)若点P、Q均以3cm/s的速度移动，经过多长时间四边形BPDQ为菱形?

(2)若点P为3cm/s的速度移动，点Q以2cm/s的速度移动，经过多长时间^DPQ

为直角三角形？

26.如图1,已知点E在形ABCD的边BC上，若NAEF=90°,且EF交形外角的平分

图1图2

(1)图1中若点E是边BC的中点,我们可以构造两个三角形全等来证明AE=EF,请

叙述你的一个构造方案，并指出是哪两个三角形全等(不要求证明)；

(2)如图2,若点E在线段BC上滑动(不与点B,C重合).

①AE=EF是否总成立？请给出证明；

②在图2的AB边上是否存在一点M,使得四边形DMEF是平行四边形？若存在，请

给予证明；若不存在，请说明理由.

27.如图，在菱形ABCD中，AB=6,zABC=60°,AH±BC于点H.动点E从点B

出发,沿线段BC向点C以每秒2个单位长度的速度运动.过点E作EF±AB,垂足为

点F.点E出发后，以EF为边向上作等边三角形EFG，设点E的运动时间为t秒，4EFG

和AAHC的重合部分面积为S.

(1)CE=(含t的代数式表示).

(2)求点G落在线段AC上时t的值.

(3)当S>0时，求S与t之间的函数关系式.

(4)点P在点E出发的同时从点A出发沿A-H-A以每秒28个单位长度的速度作往

复运动，当点E停止运动时，点P随之停止运动，直接写出点P在AEFG部时t的取值

围.

3

28.如图①，在SBC中，AB=7,tanA=4,NB=45°.点P从点A出发，沿AB方

向以每秒1个单位长度的速度向终点B运也不与点A、B重合)过点P作PQ±AB交

折线AC-CB于点Q,以PQ为边向右作形PQMN,设点P的运动时间为t(秒)，形

PQMN与△ABC重叠部分图形的面积为S(平方单位).

(1)直接写出形PQMN的边PQ的长(用含t的代数式表示).

(2)当点M落在边BC上时，求t的值.

(3)求S与t之间的函数关系式.

(4)如图②，点P运动的同时，点H从点B出发，沿B-A-B的方向做一次往返运动,

在B-A上的速度为每秒2个单位长度，在A-B上的速度为每秒4个单位长度，当点H

停止运动时，点P也随之停止，连结MH.设MH将形PQMN分成的两部分图形面积

分别为Si、S2(平方单位)(0<Si<S2),直接写出当S223sl时t的取值围.

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29.如图,在等腰梯形ABCD中，ABllDC,AB=16cm,CD=10cm,AD=5cmDE

■LAB,垂足为E,点P从点A出发，以2cm/秒的速度沿AB向终点B运动；点Q从

点C出发，以1cm/秒的速度沿CD向终点D运动(P,Q两点中，有一个点运动到终

(2)当以点E、P、C、Q为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值；

(3)探索：是否存在这样的t值，使三角形PDQ是以PD为腰的等腰三角形？若存在，

求出t的值，若不存在，请说明理由.

30.如图是三个形的网格，每个小形的边长是1,请你分别在三个网格图中画出面积为

5的平行四边形、矩形、形.

要求：(1)图形的顶点在格点上；(2)所画图形用阴影表示；(3)不写结论.

31.如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,E,F分别是OA,OC

(1)根据题意，补全原形；

(2)求证：BE=DF.

32.现有形ABCD和一个以0为直角顶点的三角板，移动三角板，使三角板的两直角

边所在直线分别与直线BC,CD交于点M,N.

(1)如图1,若点。与点A重合，则0M与ON的数量关系是；

(2)如图2,若点。在形的中心(即两对角线的交点)，则(1)中的结论是否仍然成

立?请说明理由；

(3)如图3,若点。在形的部(含边界)，当OM=ON时，请探究点0在移动过程

中可形成什么图形？

(4)如图4是点。在形外部的一种情况.当OM=ON时，请你就"点0的位置在各

种情况下(含外部)移动所形成的图形"提出一个正确的结论.(不必说理)

33.(1)如图1,在矢耶ABCD中，zBOC=120°,AB=5,求BD的长.

(2)如图2,在菱形ABCD中，对角线AC,BD交于点0,长度分别是8和6,求菱

形的周长.

34.在平面直角坐标系中，0是坐标原点，矩形OABC的位置如图所示，点A,C的

坐标分别为(10,0),(0,8).点P是y轴正半轴上的一个动点，将AOAP沿AP翻

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折得到AO'AP,直线BC与直线O'P交于点E,与直线0A'交于点F.

(1)当点P在y轴正半轴，且NOAP=30°时,求点。'的坐标；

(2)当0'落在直线BC上时，求直线O'A的解析式；

(3)当点P在矩形OABC边0C的运动过程中，是否存在某一时刻，使得线段CF与

线段0P的长度相等？若存在,请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

35.如图，在矩形OABC中，点A、C的坐标分别为(10,0),(0,2),点D是线段

BC上的动点(与端点B、C不重合)，过点D作直线y=-lx+m交线段OA于点E.

(1)矩形OABC的周长是；

(2)连结OD,当OD=DE时，求m的值；

(3)若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形OiAiBiQ,试探究四边形

OiAiBiCi与矩形OABC重叠部分的面积是否会随着E点位置的变化而变化，若不变，

求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由.

36.已知：0为矩形ABCD对角线的交点,DEIIAC,CEllBD.试判断四边形OCED

的形状，并说明理由.

37.AABC中，NBAC=90°,AB=AC,点D为直线BC上一动点(点D不与B,C重

合)，以AD为边在AD右侧作形ADEF,连接CF.

(1)观察猜想

如图1,当点D在线段BC上时，

①BC与CF的位置关系为：.

②BC,CD,CF之间的数量关系为：；(将结论直接写在横线上)

(2)数学思考

如图2,当点D在线段CB的延长线上时，结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予

证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明.

(3)拓展延伸

如图3,当点D在线段BC的延长线上时，延长BA交CF于点G,连接GE.若已知

1

AB=2&,CD=4BC,请求出GE的长.

38.已知，如图1,BD是边长为1的形ABCD的对角线，BE平分NDBC交DC于点E,

延长BC到点F,使CF=CE,连接DF,交BE的延长线于点G.

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(1)求证：ABCE当DCF;

(2)求CF的长；

(3)如图2,在AB上取一点H,且BH=CF,若以BC为x轴，AB为y轴建立直角

坐标系，问在直线BD上是否存在点P，使得以B、H、P为顶点的三角形为等腰三角

形？若存在，直接写出所有符合条件的P点坐标；若不存在，说明理由.

39.如图，在RbABC中，zB=90°,AC=60cm,NA=60°,点D从点C出发沿CA

方向以4cm网的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的

速度向点B匀速运动,当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动.设点D、

E运动的时间是t秒(0<t415).过点D作DFXBC于点F,连接DE,EF.

(1)求证：AE=DF;

(2)四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值，如果不能，说明理由；

(3)当t为何值时，ADEF为直角三角形？请说明理由.

40.如图，在边长为2的形ABCD中，P为AB的中点，Q为边CD上一动点，设DQ=t

(0<t<2),线段PQ的垂直平分线分别交边AD、BC于点M、N,过Q作QE±AB

于点E,过M作MFLBC于点F.

(1)当tHl时，求证：APEQ^NFM;

(2)顺次连接P、M、Q、N,设四边形PMQN的面积为S,求出S与自变量t之间

的函数关系式，并求S的最小值.

41.已知形ABCD,P为射线AB上的一点，以BP为边作形BPEF，使点F在线段CB

的延长线上，连接EA、EC.

(1)如图1,若点P在线段AB的延长线上，求证：EA=EC;

(2)若点P在线段AB上.

①如图2,连接AC,当P为AB的中点时，判断&ACE的形状，并说明理由；

②如图3,设AB=a,BP=b,当EP平分NAEC时，求a:b及NAEC的度数

42.如图，菱形ABCD的边长为48cm,zA=60°,动点P从点A出发，沿着线路AB

-BD做匀速运动，动点Q从点D同时出发，沿着线路DC-CB-BA做匀速运动.

B

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(1)求BD的长；

(2)已知动点P、Q运动的速度分别为8cm/s、10cm/s.经过12秒后，P、Q分别

到达M、N两点，试判断AAMN的形状，并说明理由，同时求出AAMN的面积；

(3)设问题(2)中的动点P、Q分别从M、N同时沿原路返回，动点P的速度不变，

动点Q的速度改变为acm/s，经过3秒后，P、Q分别到达E、F两点，若YEF为直

角三角形，试求a的值.

43.如图，把AEFP放置在菱形ABCD中，使得顶点E,F,P分别在线段AB,AD,

AC上，已知EP=FP=6,EF=66,zBAD=60°,SAB>673.

(1)求NEPF的大小；

(2)若AP=8,求AE+AF的值；

(3)若AEFP的三个顶点E,F,P分别在线段AB,AD,AC上运动，请直接写出AP

长的最大值和最小值.

44.已知：如图，E为nABCD中DC边的延长线上的一点，且CE=DC,连结AE分

别交BC、BD于点F、G,连结AC交BD于O,连结OF.求证：AB=2OF.

45.操作：将一把三角尺放在边长为1的形ABCD上,并使它的直角顶点P在对角线

AC上滑动，直角的一边始终经过点B,另一边与射线DC相交于点Q,设A、P两点

间的距离为X.

探究：

(1)当点Q在边CD上时，线段PQ与线段PB之间有怎样的大小关系？试证明你观

察到的结论；

(2)当点Q在边CD上时，设四边形PBCQ的面积为y,求y与x之间的函数关系式,

并写出x的取值围；(3)当点P在线段AC上滑动时,SCQ是否能成为等腰三角形？

如果可能，指出所有能使APCQ成为等腰三角形的点Q的位置，并求出相应x的值；

如果不可能，试说明理由.

46.已知形ABCD中，NMAN=45",zMAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、

DC(或它们的延长线)于点M、N.当/MAN绕点A旋转至!]BM=DN时(如图1),易

证BM+DN=MN.

图1图2

(1)当/MAN绕点A旋转到BMHDN时(如图2),线段BM,DN和MN之间有怎

样的数量关系?写出猜想，并加以证明.

(2)当/MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM,DN和MN之间又有怎样

的数量关系？请写出你的猜想并加以证明.

47.如图，在。ABCD中，点E、F是AD、BC的中点，连接BE、DF.

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ED

(2)若BE平分/ABC且交边AD于点E,如果AB=6cm,BC=10cm,试求线段DE

的长.

48.如图1,四边形ABCD中，ADUBC,NADC=90°,AD=6,BC=4，点M从点D

出发，以每秒2个单位长度的速度向点A运动，同时，点N从点B出发，以每秒1个

单位长度的速度向点C运动其中一个动点到达终点时另一个动点也随之停止运动过

点N作NPXAD于点P,连接AC交NP于点Q,连接MQ.设运动时间为t秒.

(2)当四边形ANCP为平行四边形时，求t的值.

(3)如图2,将MQM沿AD翻折，得SKM,是否存在某时刻t,

①使四边开乡AQMK为菱形，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由

②使四边形AQMK为形，则AC=_.

49.已知：如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对

角线，AGIIDB交CB的延长线于G.

D.

(1)求证：AADE好CBF;

(2)若四边形BEDF是菱形，则四边形AGBD是什么特殊四边形？并证明你的结论.

50.如图，在平行四边形ABCD中，M是BC的中点，且AM=9,BD=12,AD=10,

求平行四边形ABCD的面积.

51.四边形ABCD是形，AC与3。相交于点。，点E、F是直线AD上两动点，且

AE=DF,C尸所在直线与对角线3。所在直线交于点G，连接AG，直线AG交8E

于点H.

①求证：ZDAG=4DCG；

②猜想AG与/过的位置关系，并加以证明；

(2)如图2,在(1)条件下，连接"O，试说明HO平分NBHG；

(3)当点E、尸运动到如图3所示的位置时，其它条件不变，请将图形补充完整，并

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直接写出的度数.

52.某数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究：

问题发现：如图1,在等边三角形ABC中，点M是边BC上任意一点，连接AM,以

AM为边作等边三角形AMN,连接CN,证明：BM=CN.

变式探究：如图2,在等腰三角形ABC中，BA=BC,zABC=za，点M为边BC上任

意一点，以AM为腰作等腰三角形AMN,MA=MN，使NAMN=NABC,连接CN,

请求出雪勺值.(用含a的式子表示出来)

BM

解决问题：如图3,在形ADBC中，点M为边BC上一点，以AM为边作形作AMEF,

N为形AMEF的中心，连接CN，若形AMEF的边长为伍,CN=正，请你求形ADBC

的边长.

53.(1)如图1,将直角的顶点E放在形ABCD的对角线AC上,使角的一边交CD

于点F,另一边交CB或其延长线于点G,求证：EF=EG;

(2)如图2,将(1)中的“形ABCD”改成“矩形ABCD”，其他条件不变.若AB=m,

BC=n,试求理的值；

EG

(3)如图3,将直角顶点E放在矩形ABCD的对角线交点,EF、EG分别交CD与CB

于点F、G,且EC平分NFEG,若AB=2,BC=4,求EG、EF的长.

i_____________________D

一

GBCBGC2?GC

图1图2图3

考点：四边形综合题.

54.操作：将一把三角尺放在边长为1的形ABCD上,并使它的直角顶点P在对角线

AC上滑动，直角的一边始终经过点B,另一边与射线DC相交于点Q,设A、P两点

间的距离为x.

探究：

(1)当点Q在边CD上时,线段PQ与线段PB之间有怎样的大小关系？试证明你观

察到的结论；

(2)当点Q在边CD上时，设四边形PBCQ的面积为y,求y与x之间的函数关系式,

并写出x的取值围；(3)当点P在线段AC上滑动时，APCQ是否能成为等腰三角形？

如果可能，指出所有能使APCQ成为等腰三角形的点Q的位置，并求出相应x的值;

如果不可能，试说明理由.

55.如图1,在直角坐标系中,A(O,1),B(O,3),P是x轴上一动点，在直线y=x

上是否存在点Q,使以A、B、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，画出所

有满足情况的平行四边形，并求出对应的P、Q的坐标；若不存在，请说明理由.

56.在形ABCD中，DE为形的外角NADF的角平分线，点G在线段AD上，过点G

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作PG±DE于点P,连接CP,过点D作DQ±PC于点Q,交射线PG于点H.

(1)如图1,若点G与点A重合.

①依题意补全图1；

②判断DH与PC的数量关系并加以证明；

(2)如图2,若点H恰好在线段AB上，形ABCD的边长为1,请写出求DP长的思

路(可以不写出计算结果).

57.如图，在四边形ABCD中，ABIICD,过点C作CEllAD交AB于E,连接AC、

DE,AC与DE交于点F.

(1)求证：四边形AECD为平行四边形；

(2)如果EF=2也，ZFCD=30°,zFDC=45°,求DC的长.

58.已知矩形长和宽分别为4和2,是否存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知

矩形的！？若存在请计算这个矩形的两边长，若不存在请说明理由.

2

59.广场有一块边长为2a米的形草坪，经统一规划后，南北方向要缩短3米，东西方

向要加长3米，则改造后的长方形草坪的面积是多少？

60.如图1,在AOAB中,zOAB=90°,zAOB=30°,OB=8.以OB为边，在^OAB

夕M乍等边AOBC,D是OB的中点，连接AD并延长交OC于E.

(1)求证：四边形ABCE是平行四边形；

(2)如图2,将图1中的四边形ABCO折叠，使点C与点A重合，折痕为FG,求

OG的长.

61.如图，将长方形纸片ABCD沿对角线BD折叠得到3DE,DE交AB于点G.

(1)求证：DG=BG;

(2)gAD=4,AB=8,求&BDG的面积.

62.如图1,在直角坐标系中，点A的坐标为(1,0),以OA为一边在第一象限作形

OABC,点D是x轴正半轴上一动点(OD>1,且ODH2)，连接BD,以BD为边在第

一象限作形DBFE,设M为形DBFE的中心，直线MA交y轴于点N.如果定义：只

有一组对角是直角的四边形叫做损矩形.

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(1)试找出图1中的一个损矩形

(2)试说明(1)中找出的损矩形一定有外接圆；

(3)随着点D的位置变化，点N的位置是否会发生变化？若没有发生变化，求出点N

的坐标；若发生变化，请说明理由.

(4)在图2中，过点M作MG_Ly轴，垂足是点G,连结DN,若四边形DMGN为

损矩形,求点D的坐标.

63.在一个边长为a(单位：cm)的形ABCD中，点E、M分别是线段AC,CD上的

动点，连结DE并延长交形的边于点F,过点M作MNLDF于H,交AD于N.

图1

(1)如图1,当点M与点C重合，求证：DF=MN;

(2)如图2,假设点M从点C出发，以lcm/s的速度沿CD向点D运动，点E同时

从点A出发，以&cm/s速度沿AC向点C运动，运动时间为t(t>0);

①判断命题"当点F是边AB中点时，则点M是边CD的三等分点"的真假，并说明

理由.

②连结FM、FN,&MNF能否为等腰三角形？若能，请写出a,t之间的关系；若不能,

请说明理由.

64.已知：如图，菱形ABCD中，对角线AC,BD相交于点0,且AC=12cm,

BD=16cm.点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为lcm/s;同时，直线EF

从点D出发，沿DB方向匀速运动，速度为lcm/s,EFLBD,且与AD,BD,CD分

别交于点E,Q,F;当直线EF停止运动时，点P也停止运动.连接PF,设运动时间

为1($)(0<1<8).解答下列问题：

(1)当t为何值时，四边形APFD是平行四边形？

(2)设四边形APFE的面积为y(cm2),求y与t之间的函数关系式；

(3)是否存在某一时刻t,使S四边形APFE：S菱形ABCD=17:40?若存在，求出t的值，

并求出此时P,E两点间的距离；若不存在，请说明理由.

65.如图,矢邸ABCD中，AB=8,AD=6，点E、F分另！CD、AB上.

(1)若DE=BF,求证：四边形AFCE是平行四边形；

(2)若四边形AFCE是菱形，求菱形AFCE的周长.

66.四边形ABCD的对角线交于点E,有AE=EC,BE=ED以AB为直径的半圆过点E,

圆心为O.

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(1)利用图1,求证：四边形ABCD是菱形.

(2)如图2,若CD的延长线与半圆相切于点F,已知直径AB=8.

①连结0E,求AOBE的面积.

②求弧AE的长.

67.通过类比联想、引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的.下面是一个

案例，请补充完整.

EF=BE+DF,试说明理由.

(1)思路梳理

•.AB=CD,

，把AABE绕点A逆时针旋转90。至AADG,可使AB与AD重合.

•.zADC=zB=90°,

，NFDG=。，点F、D、G共线.

根据___________SAS

易证AAFG缄AAEF

，得EF=BE+DF.

(2)类比引申

如图2,四边开乡ABCD中，AB=AD,zBAD=90°.点E、F分别在边BC、CD上，N

EAF=45°.若NB、ND都不是直角，则当NB与ND满足等量关系zB+z

D=°

时，仍有EF=BE+DF.

(3)联想拓展

如图3,在AABC中，NBAC=90°,AB=AC,点D、E均在边BC上，且NDAE=45°.猜

想BD、DE、EC应满足的等量关系，并写出推理过程.

68.已知，在4ABC中，E,M,N分别是AB,AC,BC的中点,CFllAB,连接MN,

连接并延长EM,与直线CF交于F,连接FN交直线AB于点D,交AC于。点.

(1)如图(1),BA=BC,求证：四边形FMNC为菱形；

(2)如图(2),连接MB,NE,在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图(2)

中的所有平行四边形(BE为边的除外).

69.如图1,在形ABCD中，E,F,G,H分别为边AB,BC,CD,DA上的点，

图1图2图3

(1)如图2,连接EF,FG,GH,HE,试判断四边形EFGH的形状，并证明你的结论；

(2)将形ABCD沿线段EG,HF剪开，再把得到的四个四边形按图3的方式拼接成一

个四边形.若形ABCD的边长为3cm,HA=EB=FC=GD=lcm,贝U图3中阴影部分的

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面积为cm2.

70如图所示，在直角梯形ABCD中,AD〃BC/A=90°AB=12,BC=21AD=16动

点P从点B出发，沿射线BC的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q同时从点

A出发，在线段AD上以每秒1个单位长的速度向点D运动，当其中一个动点到达端

点时另一个动点也随之停止运动.设运动的时间为t(秒).

(1)设ADPQ的面积为S,用含有t的代数式表示S.

(2)当t为何值时，四边形PCDQ是平行四边形？

71.(2014秋•永春县期末)如图，在3BC中，AB=AC,AD是BC边上的中线,

BC=12cm,AD=6cm.

(1)AABC的面积等于cm2;

(2)点P从点B出发，在线段BC上以每秒2cm的速度向点C匀速运动，与此同时,

垂直于AD的直线L从底边BC出发，以每秒1cm的速度沿DA方向匀速平移，分别

交AB、AC、AD于E、F、H,当点P到达点C时，点P与直线L同时停止运动，设运

动时间为t秒(t>0).

①如图1,当P点与D点重合时，连接DE、DF,求证：四边形AEDF为形；

②在整个运动过程中，求&PEF的面积的最大值；

③当t为何值时，使WEF为直角三角形？

72.如图,在f形纸片ABCD中,AB=4,BC=8，点E,F分另!］在AD,BC上，将

纸片ABCD沿直线EF折叠，点C落在AD上的一点H处，点D落在点G处，有以下

四个结论：

②EC平分NDCH;

③线段BF的取值围为"BF“；

④当点H与点A重合时，EF=2后.

以上结论中，你认为正确的有.（填序号）

73.如图,在菱形ABCD中,NABC=60°,AB=2,点P是这个菱形部或边上的一点,

若以点P、B、C为顶点的三角形是等腰三角形，则P、D（P、D两点不重合）两点间

的最短距离为.

74.如图，形ABCD中，AB=4,动点E从点A出发向点D运动，同时动点F从点D

出发向点C运动，点E、F运动的速度相同，当它们到达各自终点时停止运动，运动过

程中线段AF、BE相交于点P,M是线段BC上任意一点，则MD+MP的最小值为.

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E

Ai

M

75.如图，三个形的边长分别为2,6,8；则图中阴影部分的面积为

76.如图，形。ABC与形ODEF是位似图形，点。为位似中心，相似比为1:

五,若点A的坐标为（1,0）则点E的坐标为.

77.如图，菱形ABCD的两条对角线分别长6和8,点P是对角线AC上的一个动点,

点M、N分别是边AB、BC的中点，则PM+PN的最小值是

D

78如图耨矩形ABCD沿对角线AC剪开，再把4ACD沿CA方向平移得到△AiJDi,

连结ADi、BCi.若NACB=30。,AB=1,CCi=x,AACD与△A1C1D1重叠部分的面积

为S,则下列结论：①AAiADi学CC1B;②s=Yi底一2)2(0<x<2);③当x=l

8

时，四边形ABCiDi是形;④当x=2时ABDDi为等边三角形其中正确的是(填

序号).

79.如图，在矩形ABCD中,AB=16,BC=12，顺次连结各边中点,得菱形A£GA；

再顺次连结菱形44G4的各边中点彳导矩形A282c；再顺次连结矩形A&GQ的

各边中点，得菱形A38c3。3，……这样继续下去.则图中的四边形4