专题61平面向量初步考点讲析教师版备战2020年数学新高考突破纸间书屋

PAGEPAGE3专题6.1平面向量初步（考点讲析）提纲挈领考点突破热门考点01平面向量的有关概念1．向量：既有大小又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模．2．零向量：长度等于0的向量，其方向是任意的．3．单位向量：长度等于1个单位的向量．4．平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．5．相等向量：长度相等且方向相同的向量．6．相反向量：长度相等且方向相反的向量．【典例1】给出下列结论：①数轴上相等的向量，它们的坐标相等；反之，若数轴上两个向量的坐标相等，则这两个向量相等；②对于任何一个实数，数轴上存在一个确定的点与之对应；③数轴上向量的坐标是一个实数，实数的绝对值为线段AB的长度，若起点指向终点的方向与数轴同方向，则这个实数取正数，反之取负数；④数轴上起点和终点重合的向量是零向量，它的方向不确定，它的坐标是0.其中正确结论的个数是()A.1 B.2 C.3 D.4【答案】D【解析】①向量相等，则它们的坐标相等，坐标相等，则向量相等，①正确；②实数和数轴上的点是一一对应的关系，即有一个实数就有一个点跟它对应，有一个点也就有一个实数与它对应，②正确；③数轴用一个实数来表示向量，正负决定其方向，绝对值决定其长度，③正确；④数轴上零向量其起点和终点重合，方向不确定，大小为0，其坐标也为0，④正确.故选：D.【典例2】给出下列命题：①若a＝b，b＝c，则a＝c；②若A，B，C，D是不共线的四点，则eq\o(AB,\s\up16(→))＝eq\o(DC,\s\up16(→))是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；③a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b；④若a∥b，b∥c，则a∥c.其中正确命题的序号是.【答案】①②【解析】①正确．∵a＝b，∴a，b的长度相等且方向相同，又b＝c，∴b，c的长度相等且方向相同，∴a，c的长度相等且方向相同，故a＝c.②正确．∵eq\o(AB,\s\up16(→))＝eq\o(DC,\s\up16(→))，∴|eq\o(AB,\s\up16(→))|＝|eq\o(DC,\s\up16(→))|且eq\o(AB,\s\up16(→))∥eq\o(DC,\s\up16(→))，又A，B，C，D是不共线的四点，∴四边形ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则eq\o(AB,\s\up16(→))∥eq\o(DC,\s\up16(→))且|eq\o(AB,\s\up16(→))|＝|eq\o(DC,\s\up16(→))|，因此，eq\o(AB,\s\up16(→))＝eq\o(DC,\s\up16(→)).③不正确．当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，故|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件．④不正确．考虑b＝0这种特殊情况．综上所述，正确命题的序号是①②.【易错提醒】有关平面向量概念的注意点(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象的移动混淆．(4)非零向量a与eq\f(a,|a|)的关系：eq\f(a,|a|)是与a同方向的单位向量，－eq\f(a,|a|)是与a反方向的单位向量．(5)两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等，但它们的模可以比较大小．(6)两平行向量有向线段所在的直线平行或重合，易忽视重合这一条件．热门考点02平面向量的线性运算1.平面向量的线性运算技巧(1)不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解．(2)含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来求解．2．利用平面向量的线性运算求参数的一般思路(1)没有图形的准确作出图形，确定每一个点的位置．(2)利用平行四边形法则或三角形法则进行转化，转化为要求的向量形式．(3)比较、观察可知所求．【典例3】（2018年理新课标I卷）在△中，为边上的中线，为的中点，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得，之后应用向量的加法运算法则三角形法则，得到，之后将其合并，得到，下一步应用相反向量，求得，从而求得结果.详解：根据向量的运算法则，可得，所以，故选A.【典例4】（2019·山东高考模拟（文））在正方形中，为的中点，若，则的值为（）A． B． C． D．1【答案】B【解析】由题得,.故选：B【特别提醒】关于平面向量的线性运算的考查，命题角度主要有两个：一是平面向量的线性运算，二是利用向量线性运算求参数.解题过程中应注意：①常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连向量的和用三角形法则．②找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解．热门考点03共线向量定理及其应用1.共线向量定理：向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b＝λa.2.平面向量共线定理的三个应用【典例5】（2019·上海市新川中学高二月考）正六边形ABCDEF中，P是△CDE内（包括边界）的动点，设，，则的取值范围是______【答案】【解析】如图所示，连接交于点，由正六边形的性质可得点为的中点．①，，，，化为，与向量，为实数）比较可得：．②，又，．，又，，即，此时．③当点位于线段上时，记作，则，此时．④当点不在线段上时，．．综上可得：．即故答案为：【典例6】设两个非零向量a与b不共线．(1)若eq\o(AB,\s\up16(→))＝a＋b，eq\o(BC,\s\up16(→))＝2a＋8b，eq\o(CD,\s\up16(→))＝3(a－b)，求证：A，B，D三点共线；(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．【答案】（1）见解析；（2）k＝±1.【解析】(1)证明：∵eq\o(AB,\s\up16(→))＝a＋b，eq\o(BC,\s\up16(→))＝2a＋8b，eq\o(CD,\s\up16(→))＝3(a－b)，∴eq\o(BD,\s\up16(→))＝eq\o(BC,\s\up16(→))＋eq\o(CD,\s\up16(→))＝2a＋8b＋3(a－b)＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5eq\o(AB,\s\up16(→))，∴eq\o(AB,\s\up16(→))，eq\o(BD,\s\up16(→))共线．又∵它们有公共点B，∴A，B，D三点共线．(2)假设ka＋b与a＋kb共线，则存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，即(k－λ)a＝(λk－1)b.又a，b是两个不共线的非零向量，∴k－λ＝λk－1＝0.消去λ，得k2－1＝0，∴k＝±1.【总结提升】求解向量共线问题的注意事项(1)向量共线的充要条件中，当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，注意待定系数法和方程思想的运用．(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得到三点共线．(3)直线的向量式参数方程：A，P，B三点共线⇔eq\o(OP,\s\up16(→))＝(1－t)·eq\o(OA,\s\up16(→))＋teq\o(OB,\s\up16(→))(O为平面内任一点，t∈R)．热门考点04平面向量基本定理及其应用平面向量基本定理如果是一平面内的两个不共线向量，那么对于这个平面内任意向量，有且只有一对实数，使.其中，不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．6．相反向量：长度相等且方向相反的向量．【典例7】（浙江省绍兴市第一中学2019届高三上期末）在中，点满足，当点在射线（不含点）上移动时，若，则的取值范围为__________．【答案】【解析】因为点在射线（不含点）上，设，又，所以，所以，，故的取值范围.【典例8】（2019·江西高考模拟（理））如图所示，矩形的对角线相交于点，为的中点，若，则等于（）．A． B． C． D．【答案】A【解析】由平面向量基本定理，化简，所以，即，故选：A．【总结提升】平面向量基本定理的实质及解题思路(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．热门考点05平面向量的坐标运算

平面向量的坐标运算(1)若，则；(2)若，则．(3)设，则，.【典例9】（2019·全国高考真题（文））已知向量a=(2，3)，b=(3，2)，则|a–b|=（）A． B．2C．5 D．50【答案】A【解析】由已知，，所以，故选A【总结提升】平面向量坐标运算的技巧(1)向量的坐标运算主要是利用向量的加、减、数乘运算的法则来进行求解，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．要注意点的坐标和向量的坐标之间的关系，一个向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标．(2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解．热门考点06平面向量共线的坐标表示平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略(1)利用两向量共线的条件求向量坐标．一般地，在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)，然后结合其他条件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量．(2)利用两向量共线求参数．如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若，则的充要条件是”解题比较方便．【典例10】（陕西高考真题（文））已知向量，，若，则实数等于（）A. B. C.或 D.0【答案】C【解析】.【典例11】（2018·南汇县大团中学高一期中）若，则与同方向的单位向量____________【答案】【解析】与同方向的单位向量故答案为：【典例12】（2019·江苏高考模拟）如图，在平面四边形中，，，，点为线段的中点．若()，则的值为_______．【答案】【解析】以A为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，不妨设AB＝BC＝2，则有A（0,0），B（2,0），C（2,2），E（2,1），AC＝2，AD＝2×tan30°＝，过D作DF⊥x轴于F，∠DAF＝180°－90°－45°＝45°，DF＝sin45°＝，所以D（，），＝（2,2），＝（，），＝（2,1），因为，所以，（2,2）＝（，）+（2,1），所以，，解得：的值为故答案为：【总结提升】主要命题角度有两个，一是利用向量共线求向量或点的坐标，二是利用向量共线求参数，总体难度不大.热门考点07平面向量数量积的运算一、两个向量的夹角1．定义已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角．2．范围向量夹角θ的范围是0°≤θ≤180°a与b同向时，夹角θ＝0°；a与b反向时，夹角θ＝180°.3．向量垂直如果向量a与b的夹角是90°，则a与b垂直，记作a⊥b.二、平面向量的数量积1．已知两个非零向量a与b，则数量|a||b|·cosθ叫做a与b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ，其中θ是a与b的夹角．规定0·a＝0.当a⊥b时，θ＝90°，这时a·b＝0.2．a·b的几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积．三、数量积的运算律1．交换律：a·b＝b·a.2．分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c.3．对λ∈R，λ(a·b)＝(λa)·b＝a·(λb)．【典例13】（2018·天津高考真题（文））在如图的平面图形中，已知,则的值为（）A．B．C．D．0【答案】C【解析】如图所示，连结MN，由可知点分别为线段上靠近点的三等分点，则，由题意可知：，，结合数量积的运算法则可得：.本题选择C选项.【典例14】（2019·全国高考真题（理））已知=(2,3)，=(3，t)，=1，则=（）A．-3 B．-2C．2 D．3【答案】C【解析】由，，得，则，．故选C．【典例15】(2019·云南第一次统一检测)在▱ABCD中，|eq\o(AB,\s\up15(→))|＝8，|eq\o(AD,\s\up15(→))|＝6，N为DC的中点，eq\o(BM,\s\up15(→))＝2eq\o(MC,\s\up15(→))，则eq\o(AM,\s\up15(→))·eq\o(NM,\s\up15(→))＝()A．48B．36C．24D．12【答案】C【解析】eq\o(AM,\s\up15(→))·eq\o(NM,\s\up15(→))＝(eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(BM,\s\up15(→)))·(eq\o(NC,\s\up15(→))＋eq\o(CM,\s\up15(→)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up15(→))＋\f(2,3)\o(AD,\s\up15(→))))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)\o(AB,\s\up15(→))－\f(1,3)\o(AD,\s\up15(→))))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up15(→))2－eq\f(2,9)eq\o(AD,\s\up15(→))2＝eq\f(1,2)×82－eq\f(2,9)×62＝24.【总结提升】计算向量数量积的三种常用方法(1)定义法：已知向量的模与夹角时，可直接使用数量积的定义求解，即a·b＝|a||b|cosθ(θ是a与b的夹角)．(2)基向量法：计算由基底表示的向量的数量积时，应用相应运算律，最终转化为基向量的数量积，进而求解．(3)坐标法：若向量选择坐标形式，则向量的数量积可应用坐标的运算形式进行求解．热门考点08平面向量数量积的性质

一、向量数量积的性质1．如果e是单位向量，则a·e＝e·a.2．a⊥ba·b＝0.3．a·a＝|a|2，.4．cosθ＝.(θ为a与b的夹角)5．|a·b|≤|a||b|.二、数量积的坐标运算设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则：1．a·b＝a1b1＋a2b2.2．a⊥ba1b1＋a2b2＝0.3．|a|＝eq\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)).4．cosθ＝＝.(θ为a与b的夹角)【典例16】（2019·浙江高考模拟）已知平面向量不共线，且，，记与的夹角是，则最大时，（）A． B． C． D．【答案】C【解析】设，则，，所以.易得，，当时，取得最小值，取得最大值，此时.故选C.【典例17】（2019·全国高考真题（理））已知为单位向量，且=0，若，则___________.【答案】.【解析】因为，，所以，，所以，所以．【典例18】（2018·北京高考真题（文））设向量=（1,0），=（−1,m）,若，则m=_________.【答案】-1.【解析】，，由得：，，即.【总结提升】1.求向量夹角问题的方法(1)当a，b是非坐标形式时，求a与b的夹角θ，需求出a·b及|a|，|b|或得出它们之间的关系；(2)若已知a＝(x1，y1)与b＝(x2，y2)，则cos〈a，b〉＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))·\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2))).提醒：〈a，b〉∈[0，π]．2．平面向量模问题的类型及求解方法(1)求向量模的常用方法①若向量a是以坐标形式出现的，求向量a的模可直接利用公式|a|＝eq\r(x2＋y2).②若向量a，b是以非坐标形式出现的，求向量a的模可应用公式|a|2＝a2＝a·a，或|a±b|2＝(a±b)2＝a2±2a·b＋b2，先求向量模的平方，再通过向量数量积的运算求解．(2)求向量模的最值(范围)的方法①代数法：把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解．②几何法(数形结合法)：弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解．3．平面向量垂直问题的类型及求解方法(1)判断两向量垂直第一，计算出这两个向量的坐标；第二，根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可．(2)已知两向量垂直求参数根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数．热门考点09平面向量的综合应用1.向量与平面几何综合问题的解法(1)坐标法把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决．(2)基向量法适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程进行求解．2．向量在解析几何中的作用（解析几何专题中详讲）(1)载体作用：向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题时关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题．(2)工具作用：利用a⊥b⇔a·b＝0；a∥b⇔a＝λb(b≠0)，可解决垂直、平行问题，特别是向量垂直、平行的坐标表示在解决解析几何中的垂直、平行问题时经常用到．3．向量与三角的综合应用（三角函数专题中详讲）解决这类问题的关键是应用向量知识将问题准确转化为三角问题，再利用三角知识进行求解．*【典例19】（2018·浙江高考真题）已知a，b，e是平面向量，e是单位向量．若非零向量a与e的夹角为，向量b满足b2−4e·b+3=0，则|a−b|的最小值是（）A．B．C．2D．【答案】A【解析】设，则由得，由得因此的最小值为圆心到直线的距离减去半径1，为选A.【思路点拨】先确定向量所表示的点的轨迹，一个为直线，一个为圆，再根据直线与圆的位置关系求最小值.【典例20】（2019·上海市嘉定区第二中学高二月考）在，若，且，则的形状为（）A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等边三角形 D.无法判断【答案】C【解析】由题意可得：，故，，且：，则，结合可知△ABC为等边三角形.故选：C.【典例21】（2019·江苏高考模拟）在平面四边形ABCD中，，，．若，则的最小值为____．【答案】【解析】如图，以的中点为坐标原点，以方向为轴正向，建立如下平面直角坐标系.则，，设，则，，因为所以，即：整理得：，所以点在以原点为圆心，半径为的圆上.在轴上取，连接可得，所以，所以由图可得：当三点共线时，即点在图中的位置时，最小.此时最小为.巩固提升1．（2019·重庆高二期末）下列命题中，正确的个数是（）①单位向量都相等；②模相等的两个平行向量是相等向量；③若，满足且与同向，则；④若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合；⑤若，则．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】A【解析】对于①，单位向量的大小相等，但方向不一定相同，故①错误；对于②，模相等的两个平行向量是相等向量或相反向量，故②错误；对于③，向量是有方向的量，不能比较大小，故③错误；对于④，向量是可以自由平移的矢量，当两个向量相等时，它们的起点和终点不一定相同，故④错误；对于⑤，时，，，则与不一定平行．综上，以上正确的命题个数是0．故选A．2．关于位移向量说法正确的是()A.数轴上任意一个点的坐标有正负和大小，它是一个位移向量B.两个相等的向量的起点可以不同C.每一个实数都对应数轴上的唯一的一个位移向量D.的长度是数轴上两点到原点距离之差【答案】B【解析】A，因为一个点不能构成位移向量，位移向量需要有起点和终点，故错误.B，两个相等的向量起点可以不同，故正确.C.实数只对应一个点，构不成位移向量，故错误.D，的长度是数轴两点之间的距离，故错误.3．（2019·辽宁高一期末）已知点，，则与向量的方向相反的单位向量是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】,向量的方向相反的单位向量为，故选A.4．（2018·江西高一期末）如图，是半圆的直径，、是弧的三等分点，，是线段的三等分点．若，则的值是（）A.12 B. C.26 D.36【答案】C【解析】连接，由、是弧的三等分点，得∠AOD＝∠BOC＝60°，．故选：C.5．（2018·江西高一期末）若两个非零向量，满足，则向量与的夹角是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】将平方得：，解得：..所以向量与的夹角是.6．（2018·上海市第四中学高二期中）已知O,A,B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，且，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为，所以,所以，故选：A.7．（2019·全国高考真题（文））已知非零向量a，b满足=2，且（a–b）b，则a与b的夹角为（