新人教版高一年级数学必修二2.1《等差数列》优质教案

千里之行，始于足下让知识带有温度。第第2页/共2页精品文档推荐新人教版高一年级数学必修二2.1《等差数列》优质教案2.1《等差数列》教案

一、教材分析

数列在囫囵中学数学内容中处于一个学问汇集点的地位，无数学问都与数列有着密切联系，过去学过的数、式、方程、函数、简易规律等学问在这一章均得到了较为充分的应用，而学习数列又为后面学习数列与函数的极限等内容作了铺垫．教材实行将代数、几何打通的混编体系的主要目的是强化数学学问的内在联系，而数列正是在将各学问交流方面发挥了重要作用．因此本节内容是培养同学观看问题、启发同学思量问题的好素材．

二、学情分析

本节课在学习了数列的普通概念之后，将探索一类特别的数列——等差数列．首先是在生活中详细例子的基础上引出等差数列的概念，明确等差中项的概念，接着用不彻低归纳法归纳出等差数列的通项公式，并能通过通项公式与图象熟悉等差数列的性质．让同学明了一个数列的通项公式是关于正整数n的一次型函数，最后按照这个公式去举行有关计算．在学法上，引导同学去联想、探究，同时鼓舞同学大胆质疑，学会探索．在问题探究过程中，先从观看入手，发觉问题的特点，形成解决问题的初步思路，然后用归纳办法举行摸索，提出猜测，最后采纳证实办法(或举反例)来检验所提出的猜测．其中例1是巩固定义，例2是等差数列性质的灵便运用．

在教学过程中，应遵循同学的认知逻辑，充分调动同学的乐观性，尽可能让同学经受学问的形成和进展过程，激发他们的学习爱好，发挥他们的主观能动性及其在教学过程中的主体地位．使同学熟悉到生活离不开数学，同样数学也是离不开生活的．学会在生活中挖掘数知识题，解决数知识题，使数同学活化，生活数学化．

三、三维目标

1．通过实例理解等差数列的概念，通过生活中的实例抽象出等差数列模型，让同学熟悉到这一类数列是现实世界中大量存在的数列模型．同时经受由发觉几个详细数列的等差关系，归纳出等差数列的定义的过程．

2．探究并把握等差数列的通项公式，由等差数列的概念，通过归纳或迭加或迭代的方式探究等差数列的通项公式．通过与一次函数的图象类比，探究等差数列的通项公式的图象特征与一次函数之间的联系．

3．通过对等差数列的讨论，使同学明确等差数列与普通数列的内在联系，渗透特别与普通的辩证唯物主义观点，加强理论联系实际，激发同学的学习爱好．

四、重点难点

教学重点：等差数列的概念，等差数列的通项公式，等差中项及性质，会用公式解决一些容易的问题．

教学难点：概括通项公式推导过程中体现的数学思想办法，以及从函数、方程的观点看通项公式，并会解决一些相关的问题．

五、教学过程

（一）导入新课

老师引导同学先复习上节课学过的数列的概念以及通项公式，可故意识地在黑板上(或课件中)出示几个数列，如：数列1,2,3，…，数列0,0,0，…，数列0,2,4,6，…等，然后直接引导同学阅读教材中的实例，不知不觉中就已经进入了新课．

（二）新知探索

提出问题

(1)回忆数列的概念，数列都有哪几种表示办法？

(2)阅读教科书本节内容中的①②③3个背景实例，认识生活中常见现象，写出由3个实例所得到的数列.

(3)观看数列①②③，它们有什么共同特点？

(4)按照数列①②③的特征，每人能再举出2个与其特征相同的数列吗？

(5)什么是等差数列？怎样理解等差数列？其中的关键字词是什么？

(6)数列①②③存在通项公式吗？假如存在，分离是什么？

(7)等差数列的通项公式是什么？怎样推导？

活动：老师引导同学回忆上节课所学的数列及其容易表示法——列表法、通项公式、递推公式、图象法，这些办法从不同角度反映了数列的特点．然后引导同学阅读教材中的实例模型，指导同学写出这3个模型的数列：

①22,22.5,23,23.5,24,24.5，…；

②2,9,16,23,30；

③89,83,77,71,65,59,53,47.

这是由日常生活中常常碰到的实际问题中得到的数列．观看这3个数列发觉，每个数列中相邻的后项减前项都等于同一个常数．固然这里我们是拿后项减前项，其实前项减后项也是一个常数，为了后面内容的学习便利，这个挨次不能颠倒．至此同学会熟悉到，具备这个特征的数列模型在生活中有无数，如上节提到的堆放钢管的数列为100,99,98,97，…，某体育场一角的看台的座位罗列：第一排15个座位，向后依次为17,19,21,23，…，等等．

以上这些数列的共同特征是：从第2项起，每一项与它前面一项的差等于同一个常数(即等差)．这就是我们这节课要讨论的主要内容．老师先让同学试着用自己的语言描述其特征，然后给出等差数列的定义．

等差数列的定义：普通地，假如一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示．

老师引导同学理解这个定义：这里公差d一定是由后项减前项所得，若前项减后项则为－d，这就是为什么前面3个模型的分析中总是说后项减前项而不说前项减后项的缘由．明显3个模型数列都是等差数列，公差依次为0.5,7，－6.

老师进一步引导同学分析等差数列定义中的关键字是什么？(同学在学习中常常碰到一些概念，能否抓住定义中的关键字，是能否正确、深化地理解和把握概念的重要条件，这是学好数学及其他学科的重要一环．因此老师应当教会同学如何深化理解一个概念，以培养同学分析问题、熟悉问题的能力)

这里“从其次项起”和“同一个常数”是等差数列定义中的核心部分．用递推公式可以这样描述等差数列的定义：对于数列{an}，若an－an－1＝d(d是与n无

关的常数或字母)，n≥2，n∈N*，则此数列是等差数列．这是证实一个数列是等差数列的常用办法．点拨同学注重这里的“n≥2”，若n包括1，则数列是从第1项向前减，明显无从减起．若n从3开头，则会漏掉a2－a1的差，这也不符合定义，如数列1,3,4,5,6，明显不是等差数列，因此要从意义上深刻理解等差数列的定义．

老师进一步引导同学探索数列①②③的通项公式，同学按照已经学过的数列通项公式的定义，观看每一数列的项与序号之间的关系会很快写出：①an＝21.5＋0.5n，②an＝7n－5，③an＝－6n＋95.

以上这几个通项公式有共同的特点，无论是在求解办法上，还是在所求的结果方面都存在许多个性．老师点拨同学探求，对随意等差数列a1，a2，a3，…，an，…，按照等差数列的定义都有：

a2－a1＝d，

a3－a2＝d，

a4－a3＝d，

……

所以a2＝a1＋d，

a3＝a2＋d＝(a1＋d)＋d＝a1＋2d，

a4＝a3＋d＝(a1＋2d)＋d＝a1＋3d.

同学很简单猜测出等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d后，老师适时点明：我们归纳出的公式只是一个猜测，严格的证实需要用到后面的其他学问．

老师可就此进一步点拨同学：数学猜测在数学领域中是很重要的思量办法，后面还要特地探索它．数学中有无数闻名的猜测，如哥德巴赫猜测常被称为数学皇冠上的明珠，对于它的证实中国已处于世界率先地位．无数闻名的数学结论都是从猜测开头的．但要注重，数学猜测仅是一种数学想象，在未得到严格的证实前不能当作正确的结论来用．这里我们归纳猜测的等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d是经过严格证实了的，只是现在我们学问受限，无法证实，所以说我们先承认它．鼓舞同学只要创新探索，自立思量，也会有自己的新鲜发觉．

老师按照教学实际状况，也可引导同学得出等差数列通项公式的其他推导办法．例如：

办法一(叠加法)：∵{an}是等差数列，

∴an－an－1＝d，

an－1－an－2＝d，

an－2－an－3＝d，

……

a2－a1＝d.

两边分离相加得an－a1＝(n－1)d，

所以an＝a1＋(n－1)d，

办法二(迭代法)：{an}是等差数列，则有

an＝an－1＋d，

＝an－2＋d＋d

＝an－2＋2d

＝an－3＋d＋2d

＝an－3＋3d

……

＝a1＋(n－1)d.

所以an＝a1＋(n－1)d.

研究结果：

(1)～(4)略．

(5)假如一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．其中关键词为“从第2项起”、“等于同一个常数”．(6)三个数列都有通项公式，它们分离是：an＝21.5＋0.5n，an＝7n－5，an＝－6n＋95.

(7)可用叠加法和迭代法推导等差数列的通项公式：an＝a1＋(n－1)d.

（三）应用示例

例1(教材本节例1)

活动：本例的目的是让同学认识公式，使同学从中体味公式与方程之间的联系．教学时要使同学熟悉到等差数列的通项公式其实就是一个关于an、a1、d、n(自立的量有3个)的方程，以便于同学能把方程思想和通项公式相结合，解决等差数列问题．本例中的(2)是推断一个数是否是某等差数列的项．这个问题可以看作(1)的逆问题．需要向同学说明的是，求出的项数为正整数，所给数就是已知数列中的项，否则，就不是已知数列中的项．本例可由同学自己自立解决，也可做板演之用，老师只是对有困难的同学赋予恰当点拨．

点评：在数列中，要让同学明确解方程的思路．

例2在等差数列｛an｝中，已知a5=11,a8=5,求通项公式an

点评：本例解法是数列问题的基本运算，应要求同学娴熟把握，固然对学有余力的学生来说，老师可引导探索一些其他解法，从而得出通项公式的变形及灵便应用.

例3已知等差数列｛an｝，满足a2+a3+a4=18,a2a3a4=66,求通项公式an

点评：本例用基本量法解决，运算量大且简单出错，老师引导同学应用等差数列的性质巧妙转换，训练同学灵便运用等差数列的通项公式及性质，加深对等差数列的定义及重要结论的深刻理解．

（四）课堂检测

1．在等差数列{an}中，已知a1＝2，a2＋a3＝13，则a4＋a5＋a6等于()A．40B．42C．43D．45

2．已知等差数列{an}中，a1＋a3＋a5＋a7＝4，则a2＋a4＋a6等于()A．3B．4C．5D．6

3.数列{an}中，a3＝2，a7＝1，且数列{1an＋1}是等差数列，则a11等于()A．－25B.12C.23D．5

4.等差数列{an}的公差d＜0，且a2a4＝12，a2＋a4＝8，则数列{an}的通项公式是…()

A．an＝2n－2(n∈N*)B．an＝2n＋4(n∈N*)

C．an＝－2n＋12(n∈N*)D．an＝－2n＋10(n∈N*)5.在－1与7之间顺次插入三个数a、b、c，使这五个数成等差数列，求此数列．

（五）课堂小结

1．先由同学自己总结回顾这节课都学习了哪些学问？要注重的是什么？都用到了哪些数学思想办法？你是如何通过旧学问来猎取新学问的？你在这节课里最大的收获是什么？

2．老师进一步画龙点睛，本节学习的重点内容是等差数列的定义及通项公式，等差数列的基本性质是“等差”．这是我们讨论有关等差数列的主要动身点，是推断、证实一个数列是否为等差数列和解决其他问题的一种基本办法，要注重这里的“等差”是对随意相邻两项来说的．

（六）作业

习题2—2A组1、2、3.

（七）设计感想

本教案设计突出了教法学法与新课程理念的接轨，按照课程标准、同学的认知特点而设计的，活动主