量子比特的含义、特性

-.z.关于量子比特的含义、特性、实现及各种操作TOC\f\h\z\u\t"标题2,1,标题5,2,标题6,3"一．绪论2二．量子比特的根本概念22.1经典比特22.2量子比特定义与表示32.2.1根本量子比特32.2.2复合量子比特42.2.3多进制量子比特52.3量子比特的实现5三．量子比特特性63.1.量子比特的数学特性63.2.量子比特的物理特性73.2.1叠加性和相干性73.2.2量子测不准性93.2.3不可克隆性103.2.4非正交态的不可区分性123.2.5量子纠缠性133.2.6量子互补性15四．量子比特的变换164.1量子逻辑门.164.1.1单量子比特逻辑门164.1.2多量子比特逻辑运算194.2量子线路22五．量子比特信息的测度235.1经典香农熵235.2量子冯•诺依曼熵245.3量子保真度265.4可获得的最大信息27六．量子存放器276.1量子存放器的存储286.2量子存放器量子态的测量30七．量子比特的存储31八．量子比特的制备328.1光场量子比特的制备328.2多原子最大纠缠比特的制备338.3、囚禁离子质心运动量子比特的制备34参考文献35一．绪论1983年，Stephenwiesner在他量子货币的提案中第一次引入了量子比特的概念。而"量子比特〞这个术语的问世应归功于Benjaminschumacher，在他论文的致谢辞中，schumacher表示术语"量子比特〞是他在同Williamwootters的一次谈话时提出的，只是因为它同古代的一种长度测量单位腕尺〔cubit〕的发音相似。在量子计算中，作为量子信息单位的是量子比特，量子比特与经典比特相似，只是增加了物理原子的量子特性。量子计算机的物理构造是纠缠态原子自身的有序排列，量子比特在系统中表示状态记忆和纠缠态。量子计算是通过对具有量子算法的量子比特系统进展初始化而实现的，这里的初始化指的是把系统制备成纠缠态的一些先进的物理过程。在两态的量子力学系统中量子比特用量子态来描述，这个系统在形式上与复数*围内的二维矢量空间一样。两态量子力学系统的例子是单光子的偏振，这里的两个状态分别是垂直偏振光和水平偏振光。在经典力学系统中，一个比特的状态是唯一的，而量子力学允许量子比特是同一时刻两个状态的叠加，这是量子计算的根本性质。本文将会首先阐述量子比特的根本概念，提出量子比特的几种实现方法，着重介绍量子比特的特性尤其是其物理特性，之后我们会研究对量子比特实施的几个重要的操作，最后提出了几种量子比特的制备方法。二．量子比特的根本概念信息、物质和能量被认为是构成一切系统的三大要素[王育民2005]。信息是一种抽象的、承载于具体消息之中的东西。信息是无形的，但大多可以定量描述，它与具体信宿的接收消息空间有关。信息的产生、传送、接收、处理和存贮等都离不开物质的运动，但它不是物质运动本身，而是借助于物质运动传递系统状态和变化的不确定性[王育民2005]。在经典领域，信息的衡量和研究主要是基于Shannon提出的信息量定义，其单位为比特〔bit〕，所以我们用经典比特表示经典通信系统和研究方法中对信息的表示，而用量子比特表示包含量子特性的量子通信和研究方法中对信息的表示。2.1经典比特由前述可知，信息的一个根本特征是不确定性，即接收方不知道发送方发给自己消息的内容。因此，对信息的描述和衡量需要概率论和随机过程理论。Shannon首先将概率统计中的观点和方法引入到通信理论中，给出了信息量的定义，假设消息的概率分布为，该消息携带的信息量为〔3-1〕其单位为比特〔bit〕。也可定义为奈特〔nat〕，将〔3.1.1〕中对数的底数换为e即可。二者的关系为：1nat=1.44bit,1bit=0.693nat。例如当符号"0〞和"1〞出现的概率均为1/2时，则每一个符号携带的信息量为，可见，符号"0〞和"1〞等概时，其携带的信息量均为1比特。假设符号"0〞出现的概率为1/4，符号1出现的概率为3/4时，符号0和1所携带的信息量分别为，。在物理上，符号"0〞和"1〞可以用不同的物理信号来表示，如电压的上下、信号的有无、脉冲的强弱等，不同的物理信号有不同的特性，因而在不同的通信系统中这两个状态有不同的物理描述。但是一个经典的二进制比特在*个时刻只能处在一种可能的状态，即要么处在0态上，要么处在1态上，这是由经典物理的决定论所决定的。2.2量子比特定义与表示参照Shannon信息论中比特描述信号可能状态的特征，量子信息中引入了"量子比特〞的概念。量子比特的英文名字为quantumbit，简写为qubit或qbit。从物理上来说量子比特就是量子态，因此，量子比特具有量子态的属性。由于量子态的独特量子属性，量子比特具有许多不同于经典比特的特征，这是量子信息科学的根本特征之一。目前，量子比特还没有一个明确的定义，不同的研究者采用不同的表达方式，例如，从物理学的角度，人们习惯于根据量子态的特性称为量子比特〔qubit或qbit〕、纠缠比特〔ebit〕、三重比特〔tribit〕、多重比特〔multibit〕和经典比特〔cbit〕等等。这种方式让人眼花缭乱，并且对量子比特的描述要根据具体的物理特性来描述。为了防止这些问题的困扰，这里从信息论的角度对量子比特做出统一的描述。2.2.1根本量子比特这里给出量子比特的表示方法：假设二维Hilbert空间的基矢为和，则量子比特可表示为〔3-2〕式〔3-2〕中α和β为复数，且。可见，从第二章介绍的理论可知，量子比特既可能处于态，也可能处于态，还可能处于这两个态的叠加态，其中以概率处于状态，以概率处于状态。要想获得准确结果必须测量该量子比特。对于确定的量子比特，α和β的值是确定的，例如当时，对应的量子比特，此时量子系统处于状态和的概率均为50%。由线性代数可知，Hilbert空间的基矢不唯一，一个量子比特也可以用不同的基矢表示，并且这种基矢有无穷多组。在不同的基中同一个量子比特的表示形式可以有所不同，如定义基矢和分别为，。容易验证〔为狄拉克符号，〕，即和是正交归一的，因此它们可以作为Hilbert空间的一组基矢，以这组基矢也可表示量子比特：〔3-3〕2.2.2复合量子比特上述定义的量子比特，也可称为简单量子比特〔singlequbit〕。也可定义高阶量子比特，对应于多重量子态。高阶量子比特也可称为复合量子比特[Zeng]。其一般表示形式为〔3-6〕n量子位复合量子比特可表示为项之和。复合量子比特可对应于直积态或纠缠态，假设两个粒子的状态可分，则这种状态为直积态，如〔3-7〕假设两个粒子的状态不可分，则这种状态称为纠缠态，如〔3-8〕纠缠系统构成的复合基量子比特中，最简单的是双基量子比特，其中，四个Bell态是典型而常用的双基量子比特，它们在量子通信和量子计算中起着重要的作用。四个Bell态是：Bell态是Clauser等人提出的Bell算符的本征态，其中为单重态，其它为三重态。容易验证，它们构成一组正交归一基。此外，三基量子比特Green-Horne-Zeilinger(GHZ)三重态也常用于量子通信的协议和实验中，它有32种可能的状态，其中常用的状态为〔3-9〕2.2.3多进制量子比特除了简单量子比特和复合量子比特外，量子通信中还常用的一种称为多进制量子比特，这与经典通信中的多进制编码的字符相对应，如q进制单基量子比特可表示为〔3-10〕其中.一个3进制量子比特可表示为〔3-11〕也可定义q进制复合基量子比特，如三进制双基量子比特可以表示为〔3-12〕式中，上标"3”表示3进制，下标"2”2.3量子比特的实现目前，量子信息和量子计算实验研究中，用到的量子比特实现方法各种各样。归纳起来，承载量子比特的物理实体有光子、光学相干态、电子、原子核、光学栅格、约瑟夫结、单个充电的量子点对和量子点。其中对光子而言，可用偏振态、光脉冲中的光子数和光子出现的时间来表示量子比特和；对于光学相干态，可用其不同分量表示不同量子比特；对于电子，可用其自旋方向或电子的有无来表征量子比特；对于原子核，可采用不同的核自旋方向表示不同的量子态；对于光学栅格，可采用原子的自旋方向表示量子比特；对于约瑟森夫结，可采用超导量子岛〔island〕是否带电、超导流〔flu*〕的电流方向或超导相位〔基态/激发态〕来表示量子比特；对于单个充电的量子点，可用电子的位置表示量子比特；对于量子点，可用量子点的自旋方向表示量子比特。汇总起来，如表3.1所示。表3.1量子比特的物理实现物理实体属性光子光子的偏振水平偏振垂直偏振光脉冲的光子数无光子〔真空态〕单个光子光子的出现时间无延时〔相对于时钟〕有延时〔相对于时钟〕光学相干态压缩光场的光学分量幅度压缩态相位压缩态电子电子自旋自旋向上自旋向下电子数目无电子单个电子原子核核自旋自旋向上自旋向下光学栅格原子自旋自旋向上自旋向下约瑟夫森结超导带电量子比特Unchargedsuperconductingisland(Q=0)Chargedsuperconductingisland(Q=2e,onee*traCooperpair)超导恒流量子比特顺时针方向电流反时针方向电流超导相位量子比特基态第一激发态单个充电的量子点对电子的位置电子在左边点上电子在右边点上量子点量子点自旋自旋向上自旋向下离子阱微波共振腔三．量子比特特性3.1.量子比特的数学特性量子比特也可以用图形来表示，式〔3-2〕可改写为〔3-4〕式中，均为实数,是相因子，不具任何可观测效应，因此上式可简写为〔3-5〕可以验证，上式中的参数定义了三维单位球面上的一个点，这个三维单位球面称为Bloch球，如图3.1所示。可知，球面上的每一个点代表二维Hilbert空间中的一个矢量，即一个根本量子比特。如图3.1所示。图3.1量子比特的Bloch球表示Bloch球为量子比特的数学意义提供了一个可视化的解释：量子比特的基矢是球的两极，而任意量子比特是Bloch球上的一个几何点，该几何点与Z轴间的夹角为，而该几何点在*Y平面上的投影与*轴间的夹角为。图中画出了几个特殊的量子比特对应的几何点，容易算出这些几何点〔量子比特〕所对应的参数和的值。如，时，位于球面顶部。时，位于球面底部。Bloch球在量子计算中起着重要的作用，常常作为测试量子通信和量子计算新思想的一个有效工具。Bloch球只能描述根本量子比特，对复合量子比特和多进制量子比特的描述显得无能为力，原因是复合基量子比特和多进制量子比特无法用三维空间表示。不过，数学上任意量子比特可表示为〔〕式中为单位矩阵，为Paui矩阵，为参数。3.2.量子比特的物理特性除了上一节提到的数学性质外，量子比特还具有丰富的物理性质，这些物理性质构成了量子密码和量子**通信的根底。下面介绍量子比特的几个主要物理性质，包括叠加性、测不准性、不可克隆性、不可区分性、纠缠性、互不性、相干性等。3.2.1叠加性和相干性由于每一个量子比特对应于一个量子态，量子比特也满足叠加原理，具有相干性。量子比特的叠加性表现在对量子比特尤其是对复合量子比特的存贮和运算大大提高了信息存贮和处理的效率，这一点我们可回忆一下第二章对量子力学根本假设的介绍。对于〔3-2〕式所表示的量子比特，量子叠加性就是说量子比特既可能处在态，也可能处在态，或者其叠加态，观测到的结果由测量算子决定，以概率处于状态，以概率处于状态。例如，设用水平偏振的光子代表，垂直方向偏振的光子代表，对于式〔3-2〕表示的量子态，假设用沿水平方向的偏振片测量该光子的状态，测量的结果可能是，即光子通过偏振片，也可能是，即光子不通过偏振片，两者概率均为50%。但是，经测量后只可能有一个测量结果，即光子要么通过，要么不通过。同样，纠缠比特也具有量子叠加性，要获得最终结果，同样需要测量。如果测量算符为Q，其本征态为，本征值为，则有(3-32)任意量子比特可按Q的本征态展开〔3-33〕由以上两式可得其中c为*一常数。可见，不是算子Q的本征态。如果令是测量算符的本征态，对应的本征值为，即〔3-34〕因为是一组正交规一基，具有线性独立性，*成一个线性空间。但是，与不能正交归一，因此，它们不能同时是和的本征态，所以和不对易，即〔3-35〕于是，和不可同时测量。这样，以为测量算符对应的测量基测量和以为测量算符对应的测量基测量得出的结果不同，即测不准性。量子比特的不可准确测量性是由海森堡测不准原理所决定的，这种性质在量子通信中起着重要的根底作用。量子比特的相干性是指量子比特保持其原始叠加态的能力[尹浩2006]。量子比特在传递过程中，由于信道的噪声〔参见第四章〕导致相干性减弱，或完全退相干。而量子通信是建立在相干性根底上的，如相位调制的光纤QKD系统靠干预进展测量。因此保持或恢复量子比特的相干性是量子信道的一个重要命题。3.2.2量子测不准性由于量子比特的叠加性，要获得关于量子比特的最终结果必须测量该量子比特。测量中能否准确地获得该量子比特的有关信息依赖于该量子比特是否是测量所对应的算符的本征态。选定测量算符，设该算符的本征态为，则任意量子比特可按的本征态展开，〔〕令是测量算符的本征态，即〔〕因为是一组正交规一基，具有线性独立性，*成一个线性空间。但是，由(3.4.3)式可知与不能正交归一，因此，它们不能同时是和的本征态，所以和不对易，即〔〕于是，和不可同时测量。这样，以为测量算符对应的测量基测量和以为测量算符对应的测量基测量得出的结果不同，即测不准性。考虑一个例子，在根本量子比特的一般表达式(3.2.1)中，量子比特可能处于0态，也可能处于1态，对应的概率分别为和，另外，根据叠加原理该量子比特还可以处于这两个态的线性态，但无法知道该量子比特具体处于哪一个状态，要获得确定的结果必须测量该量子比特。而量子测量与测量基〔即测量坐标系〕的选取有关，假设测量基选得不适宜，测量不能给出准确结果。在图3.2中，二维Hilbert空间中的一个任意量子比特可表示为以基矢和为坐标系的Hilbert空间中的一个矢量。于是，以基矢和构成的测量基和对ψ测量，得到的结果要么为要么为，但不能完全确定，因为量子比特的振幅能完全确定，但相位完全不确定〔振幅与相位是一对测不准量〕，因而不能完全确定该量子比特。但是，如果以为测量基测量量子比特〔见图3.2〕，图3.2量子比特的测不准性则该量子比特是完全确定的，因为这种情况下量子比特可表示为。之所以量子比特在中能完全测定而在中不能确定，是因为该量子比特的相位和振幅在{中是确定的而在中是不确定的，根据量子力学的测不准原理，在中量子比特的相位和振幅不能同时准确测定，因而无法准确测定该量子比特。量子比特的不可准确测量性是由测不准原理所决定的。值得指出的是，量子比特的这种特性使得量子比特和经典比特的性质完全不同。对于经典比特，任何条件下的经典比特都能被准确测定，而对于量子比特，假设测量基矢不适宜〔当量子比特不是测量算符的本征态时〕，不可能对该量子比特获取准确的信息。这种性质在量子计算中造成一定的困难，但在量子**通信中起着根底而重要的作用。3.2.3不可克隆性克隆〔clone〕是遗传学上的术语，是指来自同一个祖先、经过无性繁殖所产生一样的分子(DNA、RNA)、细胞的群体或遗传学上一样生物个体。能否克隆出一个与未知量子比特完全一样的新量子比特，而且同时不破坏原来的量子比特？1982年Wootters和Zurek在"Nature"上发表了一篇题为"单量子态不可克隆〞的论文，提出了著名的量子不可克隆定理[Wootters1982]。定理3.1：在量子力学中，一般情况下未知量子态不可能被克隆。下面我们看这个定理的简单证明[Desurvire2009]。证明：给定系统A，处于任意态，另外一个系统B，任意一个纯态，如果通过酉算子U将复制到，即〔3-36〕如果存在这样一个克隆算子U，那个对系统A中的另一个态〔有〕也可以复制到系统B中，即〔3-37〕由于上述变换是线性的，则对系统A中的任意态〔是复数〕也有：〔3-38〕将上式中的用的线性组合表示，则式〔3-38〕左边可写为有〔3-39〕式〔3-38〕右边可写为〔3-40〕将〔3-39〕和〔3-40〕代入〔3-38〕有〔3-41〕由于是纯态，要使〔3-41〕成立，需使，所以或。也就是说，如果存在一个算子U可以克隆，但是该算子不能克隆其线性组合。也就是说，一般情况下未知量子态不能被克隆。■如果两个量子态正交的话，则它可以用同一酉演化过程克隆；反过来就是说非正交量子态不可克隆。定理3.2：如果克隆过程可表示成一幺正演化，只有两个态相互正交时，它们才可以被一样的物理过程克隆，亦即非正交量子态不可克隆。证明：设有任意两个量子态和可以通过U算子克隆，即〔3-42〕〔3-43〕取上面两个方程的内积，并考虑幺正算符U的特性，对纯态，有，有〔3-44〕〔3-45〕上式有两个可能的解：或，即或者。即这两个特殊的量子态要么相等，要么正交。3.2.4非正交态的不可区分性如果两个量子比特和〔归一化向量〕的内积则称这两个比特正交，如果，则称这两个量子比特非正交。定义量子比特和的不可区分度D为[zeng2010]〔3-46〕其中是两个量子比特的夹角，。如果两个量子比特是正交的，则它们是可区分的；如果量子比特非正交，则称它们是不可区分的。区分任意两个非正交量子比特是量子信息中的重要命题。目前已出现多种近似区分任意两个非正交量子比特的方法，大多是基于POVM测量，这里给出两种方法：Bennett方法和Ekert方法[Zeng2010]。〔1〕Bennett方法Bennett方法选取两个投影算子(3-47)(3-48)对量子比特进展测量，获得正确结果的概率为(3-49)则获得错误结果的概率为(3-50)可见，对非正交量子态，测量结果错误概率大于。〔2〕Ekert方法Ekert方法构造的算子为(3-51)(3-52)(3-53)式中表示非确定性算符。利用这些测量算子对量子比特进展操作，获得非确定性结果的概率(3-54)即说明非正交量子比特是不可区分的。3.2.5量子纠缠性本章第2节介绍了复合基量子比特，它可以表示成(3.2.5)式的形式。复合基量子比特中有一类特殊的量子比特—纠缠比特。从物理意义上来说，纠缠比特中的n个单基对应n个"系统〞〔这里n个"系统〞指n个粒子或同一个粒子的n个状态〕，因此，在纠缠比特的情况下〔〕式的物理意义是：n个系统通过〔〕式的方式纠集在一起而构成一个总体。量子信息和量子力学中称量子比特的这种性质为纠缠性，具有纠缠性的量子比特称为纠缠比特或纠缠态。纠缠比特是量子计算的根底，但不是量子通信的根底，却发挥重要作用。纠缠量子比特具有一个重要性质—关联性，下面以量子信息中常用的2粒子系统和3粒子系统中的EPR纠缠比特和GHZ纠缠比特为例说明这种独特的性质。两个粒子组成的纠缠量子比特中最为典型的是EPR纠缠对，EPR纠缠对可用下面的形式表示，〔〕其中脚标"1〞和"2〞对应于两个粒子。这个系统的特征是：当粒子"1〞处于状态时，粒子"2〞也必定处于状态，而当粒子"1〞处于状态时，粒子"2〞也必定处于状态，其概率均为50%。因此在对粒子"1〞和"2〞的测量过程中，假设测得粒子"1〞得结果是〔或〕态，即使没有测量粒子"2〞也可以断定该粒子状态必定为〔或〕态，而不管两个粒子相距多远。但是，一旦这个系统被测量，两粒子间的纠缠特性不复存在。上面介绍的是两个粒子处于一样状态的情况，这种情况下两个粒子称为是相干的。另外也存在反相干的纠缠量子比特。例如下面纠缠比特的纠缠性，〔〕实验上已能制备纠缠量子比特。在光学参量下转换过程中，一个入射到适当非线性光学材料的泵浦光子会同时产生出一对光子(称为孪生光子对)，在型参量过程中，这两个光子具有一样的频率但其偏振态彼此正交。因此，使用型参量下转换非线性光学过程，其中所产生的自发辐射孪生光子对即为EPR粒子对，它可表示为(3.4.23)的形式。这种情况下和表示光子的两个相互正交的光子偏振态。例如,假设光子的极化是线偏振型的,对其进展测量时,假设一个是水平方向,则另一个是垂直方向,因此记录的时侯,一方(如Alice)记录为水平方向,另一方(Bob)记录必为垂直方向,反之亦然。如前所述，GHZ三重态是一个典型的三粒子纠缠系统，这种纠缠比特具有如下的特征和性质：定理3.3以共轭子空间表示的GHZ三重态中，其中两个粒子的态，在该GHZ三重态未与其它任何粒子相互作用时，一定能知道第三个粒子的状态。证明：GHZ三重态可表示为如下形式〔〕式中脚标1,2,3分别代表三个粒子。定义两个本征态,，用基矢,表示为如下形式，注意到，GHZ三重纠缠态可表示为(3.4.25)上式说明可根据对粒子1和2的测量基来判定粒子3的测量结果，例如，假设沿+*方向测量粒子1和2，则粒子3的量子态为；假设分别沿+*和-*方向测量粒子1和2，则粒子3的量子态为。类似(3.4.25)式的推导，可以得出其它情况下的关联性，如下表所列，表3.1GHZ三重态中三粒子的相干性〔〕〔〕〔〕〔〕〔〕〔〕〔〕〔〕〔〕〔〕〔〕〔〕〔〕〔〕〔〕〔〕由表3.1可见,联合粒子1和2的测量结果可以确定粒子3的量子态。定理3.4以共轭子空间表示的GHZ三重态中，其中一个粒子的态，在没有辅助量子比特的情况下，不能判定另外两个粒子的状态，但可以知道两个粒子的量子态是否一样。证明：不失一般性，设GHZ三重态中第三个粒子被测量而被人知道其状态。因为对GHZ三重态中的任意一个粒子测量或后，三粒子纠缠被解除，但未被操作的另外两个粒子构成两粒子纠缠系统，其可能的取值有四个：(3.4.26)(3.4.27)(3.4.28)(3.4.29)式(3.4.26-29)说明，GHZ纠缠比特坍塌后的两粒子纠缠系统的状态是不确定的，其状态取上述四个态中任意一个态的概率一样。即使两粒子系统的纠缠状态确定〔假设取态〕，两粒子系统中每一个粒子的状态仍然是不确定的，因为粒子1可以处在态，也可以处在，其概率各占1/2。因此，在GHZ三重态中，其中一个粒子的态，在没有辅助量子比特的情况下，不能判定另外两个粒子的状态。但可以知道两个粒子的量子态是否一样，从表1中可知这一结论。3.2.6量子互补性共轭性是量子比特的另一个根本属性。下面以光子的偏振来说明量子比特的共轭性。每个光子都有一个偏振方向,其偏振方向即是电场的振荡方向。在量子密码学中用到光子的线偏振和圆偏振两种光子偏振,其中线偏振可取两个方向:水平方向和垂直方向;圆偏振包括左旋和右旋两种情况。在量子力学中,光子的线偏振和圆偏振是一对共轭量,也就是说,光子的线偏振态与圆偏振态是不可同时测量的。值得说明的是,在同一种偏振态下的两个不同的方向是可完全区分的,例如,在线偏振态中的水平方向和垂直方向是可完全区分的，在圆偏振中取两个垂直方向如和也是完全可区分的。实际上任意的正交量子态都是可区分的，因而可同时测量，但任何两个非正交态是不可区分的。在对光子的偏振态进展测量时,可用晶片来测量光子的偏振方向。如果用于测量用的晶片(体)的轴与光子的偏振方向平行,光子能够完全通过,否则完全不能通过;如果光子的偏振方向与晶轴成一定的夹角,则在与晶轴平行的方向有光子的偏振态以一定的几率出现,即光子的偏振态发生改变。用量子力学中Dirac算符来表示光子，两个线偏振光子态0、,其中前者表示水平方向，后者表示垂直方向，在圆偏振光子态中取两个方向、，这两个态可用光子线偏振态表示(3.4.30)(3.4.31)如果晶轴的方向与光子线偏振态的方向一样，则当所测量的光子是0、中任意一个时，晶片能准确测出光子态，光子能完全通过。当所测量的光子是π/4、中任意一个时，晶片不能准确测量光子态，因为光子被测成0态和态的几率各为一半，这实际上是由测不准原理所决定。光子的一对共轭偏振态是互补的,正是这一本质特征为BB84协议提供了实现的物理根底。四．量子比特的变换在一个量子系统中，经常会涉及到对量子比特的变换，包括对单个量子比特的变换和对多个量子比特的变换。在量子力学中，一种变换对应一个量子力学算符，而在量子信息领域中，一种变换就是一个量子逻辑门。下面介绍几种典型的量子逻辑门和它们组成的简单量子线路的原理。4.1量子逻辑门.量子比特逻辑门是构成量子器件及量子逻辑运算单元的根本单位，广泛应用于量子计算、量子编码、量子通信和量子信息处理中。本节介绍单量子比特逻辑门和多量子比特逻辑门。4.1.1单量子比特逻辑门单量子比特逻辑门包括Pauli-*门、Pauli-Y门、Pauli-Z门、量子Hadamard门、相位门和门。下面分别讲述。1.Pauli-*门Pauli-*门又称为量子非门，简称*门，其将量子比特中的状态和交换，即把状态变为。假设用矩阵表示这一变换，对应于Pauli-*矩阵，这里用*表示该变换矩阵(3-13)假设把量子态写成向量形式，则量子非门的输出为〔3-14〕2.Pauli-Y门Pauli-Y门〔简称Y门〕即对量子比特施行Pauli-Y矩阵〔算子〕运算，用Y表示该算子，即(3-15)假设把量子态写成向量形式，则Pauli-Y门的输出为〔3-16〕3.Pauli-Z门Pauli-Z门〔简称Z门〕即对量子比特施行Pauli-Z矩阵〔算子〕运算，用Z表示该算子，即〔3-17〕假设把量子态写成向量形式，则Pauli-Z门的输出为〔3-18〕在二维坐标平面看的话，Z门的结果是将量子比特进展旋转。4.量子Hadamard门量子Hadamard门，简称H门。其变换矩阵H为(3-19)假设把量子态写成向量形式，则H门的输出为(3-20)可见，H门是将以和为基矢的Hilbert空间转化为以和为基矢的Hilbert空间。由于，可见对量子比特连续进展两次H门变换相当于没有进展任何逻辑运算。5.相位门我们先定义相移门〔phaseshiftgate〕，对应的矩阵为〔3-21〕假设把量子态写成向量形式，则门的输出为〔3-22〕可见，门不改变基矢，将基矢映射为，等效于在Bloch球面上水平旋转度。当时，相移门称作相位门，变换矩阵S为〔3-23〕S门等效于在Bloch球面上将量子比特水平旋转90度。6.门相位门中，当时，称作门，其变换矩阵T可写为〔3-24〕量子比特经过T门后，输出为〔3-25〕在Bloch球面上相当于绕水平面上旋转45度。上述但量子比特逻辑门对应的矩阵均为酉矩阵。虽然存在无穷多个2×2酉矩阵,但是任一单量子比特酉门都可以分解成一个旋转运算和绕轴旋转的门再加上一个全局相移的乘积,即[Neilsen2000]〔3-26〕其中,,和是实数。其中，第二个矩阵是普通的旋转，第一和最后一个矩阵为在不同平面内的旋转。通过该分解可准确描述任意单量子比特逻辑门的操作。4.1.2多量子比特逻辑运算多量子比特量子逻辑门有很多种，如受控非(controlled-NOT，简写为OT)门、交换门〔swapgate〕、受控U门、Toffoli门和Fredkin门[Neilsen2000]。1.受控非(OT)门OT门为两量子比特门，当第一个量子比特〔称为控制量子比特〕为时，对第二个比特〔称为目标量子比特〕执行非操作，否则维持不变。其对应的变换矩阵为〔3-27〕OT门的线路示意图如图3.2所示。图3.2OT门受控非门可以表示为如下映射：，其中是模2加法，2.交换门交换门实现两个输入量子比特的互换，其线路符号如图3.3(a)所示。交换门的变换矩阵可写为：〔3-28〕(a)SWAP门的线路符号(b)用OT门构建SWAP门图3.3SWAP门交换门可由OT门构成，如图3.3(b)所示。设输入态为，可用映射关系来分析：可见，该线路能实现两个量子比特的交换。3.受控U门受控U门的输入有两个量子比特，如图3.4所示。图3.4受控U门第一个量子比特是控制比特，其对输入的映射关系为受控U门对应的矩阵为〔3-29〕例如U门可以三个Pauli算子*、Y、Z，则可称为受控*门、受控Y门和受控Z门。4.Toffoli门Toffoli门也叫COT(controlled-controlled-not)门，如图3.5所示，与OT门相比，它有两个量子比特的控制端。图3.5Toffoli门的线路示意图Toffoli门是一个3量子比特门。如果前两个量子比特均为时，对第三个量子比特执行Pauli-*门操作。其真值表如表3.2所示。INPUTOUTPUT0

0

0

0

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001001010010011011100100101101110111111110Toffoli门也可表示为如下映射：(3-30)5.Fredkin门Fredkin门也称为受控置换〔ControlledSWAP,CSWAP)门，是一个3量子比特门，如图3.6所示。图3.6Fredkin门的线路图其真值表如表3.所示。表Fredkin门的真值表INPUTOUTPUTCI1I2CO1O20

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001001010010011011100100101110110101111111Fredkin门也可以表示为如下的映射：(3-31)4.2量子线路量子线路是指由用量子线〔简称"线〞〕将各种量子门连结起来而组成的系统。显然，在量子线路中，量子线与量子门是两种根本的组成局部。与电子线路相比拟，这里的"线〞具有不同的含义。量子线不一定是一根实物线，它代表的是量子比特的时间或空间演化过程。例如，一个光子从光纤的A点传输到B点，或者从时刻t1到t2的过程都对应着一根量子线。因此，任意量子比特从一个时刻到另一个时刻所经历的过程，或者，量子比特从空间中的一个点到另一个点所经历的过程都可视为一根"量子线〞。由于运动和时间的方向性，量子线也是有方向的，这是区别于电子线路中"实物线〞的关键所在。根据量子线的上述定义，量子线路具有如下特点：1〕量子线路中不能有回路(loop)，即量子线路是非循环的。这意味着在量子线路中反应是不存在的，因为反应意味着时间的倒流。2〕量子线路中无多端输入和输出。具体来说，量子线路中不能有多根输入线并入一根输出线，也不能有一个输入线分开成多根输出线的情况。这个特点是由量子操作的幺正性决定的。显然，量子线路的上述特点与电子线路是完全不一致的。这正是量子线路区别于电子线路之处，这些特点导致了量子线路具有不同于电子线路的特点、属性和功能。由量子线路可以构造出一些新的量子门，这种量子逻辑门称为复合量子门。下面介绍的量子交换门即为复合量子门中的一个典型例子。交换门即SWAP门，如图5.7为量子交换门和它的量子线路图。从图5.7〔a〕容易知道，这种量子门由三个门组成，但中间的量子控制非门与前后两个的方向恰好相反。三个量子控制非门的这种组合构成一个SWAP门，如图5.7(b)所示。SWAP门的作用是将两个量子比特的状态互相交换，如图5.7所示。在上面的量子线中输入的量子比特为，下面的量子线的输入为，图5.7SWAP门但是它们的输出则恰好相反，即上面的量子线输出而下面的量子线输出为，这个过程可以从下面的计算中更清楚地了解到。〔〕式中a,b∈[0,1]，对于一般形式的输入量子比特，容易验证上面的结果也是成立的。另一个典型的例子是Toffoli门。Toffoli门的作用是用两个控制量子比特来控制一个靶量子比特，它是一个多量子比特门。Toffoli门的内部构造即对应的量子线路图比拟复杂，如图5.8所示，但是，容易发现Toffoli门主要由门、门、门和门构成，这些都是根本的量子门。可以证明，任何复杂的量子门都可分解为这些根本量子门的组合。图5.8Toffoli门五．量子比特信息的测度本节介绍经典香农熵、量子诺依曼熵、量子保真度和可访问的最大信息。5.1经典香农熵如3.1.1节所述，Shannon定义了信息量的概念，即Shannon熵，这里我们介绍离散型随机变量时情形，对于连续型随机变量可以类推。对离散随机变量，且，则*的平均自信息量〔即熵〕H(*)为〔3-55〕这里定义：。假设离散随机变量*有两个事件和，且，，则*的平均自信息量〔熵〕为〔3-56〕称为二元熵。其函数曲线如图3.2所示。图3.2二元熵的曲线由图3.2可见，当p=0或p=1时，H(*)=0。当0<p<1时，H(*)>0。当p=1/2时，H(*)到达最大值。给定一个二维离散型随机变量,其概率分布为，则*相对于Y的条件熵为〔3-57〕*与Y的联合熵定义为〔3-58〕熵、条件熵、联合熵之间的关系：H(*,Y)=H(*)+H(Y|*)=H(Y)+H(*|Y)。当*与Y相互独立时，H(Y|*)=H(Y)，因此此时H(*,Y)=H(*)+H(Y)。*与Y的平均互信息量定义为如下的I(*;Y)：〔3-59〕互信息量和熵、条件熵的关系为〔3-60〕5.2量子冯•诺依曼熵设量子比特对应的量子态的密度算符或密度矩阵为，则量子比特所携带的信息量可用冯诺依曼熵〔VonNeuyeman熵〕来描述：〔3-61〕式〔3-〕中"〞表示求迹，对数的底数是2。可见，诺依曼熵与香农熵相比，信源是量子系统，用密度算子而不是概率密度表征。如果由两个子系统A和B组成的系统密度算子为，则称〔3-62〕为子系统A和B的联合熵。Neumann熵具有如特性：〔1〕Neumann熵非负，对于纯态S(ρ)=0；〔2〕对维数为N的Hilbert空间，当系统处于最大混态时，S(ρ)到达最大值log2N；〔3〕改变ρ的基时，S(ρ)不变，即〔3-63〕〔4〕S(ρ)是凹的，也就是说给定一组正数λi〔且Σiλi=1〕，和密度算子ρi，有〔3-64〕〔5〕S(ρ)是可加的，对两个独立的系统A和B，其密度矩阵分别为ρA,ρB，有〔3-65〕假设ρA,ρB是一般态ρAB的约化密度矩阵，则有[Araki1970]:〔3-66〕〔6〕Neumann也是强次可加的，给定三个Hilbert空间A,B,C,有[Lieb1973]〔3-67〕与经典Shannon熵相对应，也可定义相对熵、条件熵和互信息。假设两个系统的密度算子分别是和，则到得相对熵定义为〔3-68〕量子相对熵非负，即，当时取等号。量子条件熵定义为〔3-69〕如果两个子系统A和B不相关，即，则〔3-70〕〔3-71〕量子互信息定义为〔3-72〕量子比特所能提供的〔或可访问的〕信息量是经典信息量，可用Shannon熵来表示。假设对量子比特进展投影测量，即对可观测的Hermite算子M〔3-73〕其中为投影算子，向量为M的本征值对应的本征态。则输出第m个测量结果的概率为〔3-74〕所以〔3-75〕与Shannon信息论一样，量子比特的熵也反映了量子比特信息量的不确定程度。5.3量子保真度量子保真度用来衡量两个量子态之间的距离，对于量子态和，保真度定义为〔3-76〕保真度的数值越接近于1，其距离越近。根据上述定义[Neilsen2000]：〔1〕当和对易时，且按标准正交基态和可写为〔3-77〕〔3-78〕则和的保真度为〔3-79〕即当和对易时，量子保真度变为和的特征值和之间的经典保真度〔特征值组成的向量之间的欧氏距离〕。〔2〕纯态和任意状态之间的保真度可写为〔3-80〕当对和分别进展酉变换时，其保真度保持不变，即〔3-81〕在经典数字通信系统中，常用误码率来衡量传输信息的可靠性。在量子通信系统中，量子信息调制在量子态上，量子信息传输的可靠性可以用保真度来衡量。5.4可获得的最大信息假设量子信源以概率制备量子态，则系综的密度算子为。通过设计测量最大能获取多少信息呢？Holevo界〔Holevo’sbound〕答复了这个问题，对任何测量有〔3-82〕如果采用POVM测量，测量算子为，则信源的态*和测量输出态Y之间的互信息I(*;Y)也满足Holevo界：〔3-83〕六．量子存放器将大量纠缠态比特聚集在一起就构成了量子比特存放器。量子计算机就是通过在存放器中对量子比特进展操作来执行计算。qubyte是八个纠缠比特的聚合。在2005年12月，奥地利因斯布鲁克大学量子光学和量子信息研究所的一个团队第一次演示了。量子存放器〔qregister〕的作用类似于经典力学中的处理缓存器。量子存放器的数学描述用量子比特左矢右矢的*量积来实现。例如，一个n量子比特的存放器在*量积希尔伯特空间可以描述为，6.1量子存放器的存储下面我们着重研究一个n位量子存放器为何能存储个n位数。n个量子位的有序集合称为n位量子存放器.它的态是n个量子位的态的*量积(tensorproduct).*量积亦称直积,用符号表示,它的表达式如下:假设,则.在本文中,还将用到如下的*量运算规则:式中A,B,C,D为矩阵或向量,a,b为标量.对于2位量子存放器,可得出:假设一个2位量子存放器的每一位都处于,则此存放器的态为假设则式中可以看出存放器中的数可以为00,也可以为01,它们存在的概率分别为和.假设则式中存放器中的数可以同时为00,01,10,11,它们存在的概率分别为:,,和.也可以说2位量子存放器的叠加态是维Hilbert空间的单位向量,它有4个相互正交的根本态:。对于3位量子存放器,其叠加态为式中是维Hilbert空间的单位向量,它有8个相互正交的根本态:同理,对于n位量子存放器,其叠加态为是维Hilbert空间的单位向量,它有个相互正交的根本态.式中所以,在量子计算机中,处于叠加态的n位量子存放器中的数是从0到的所有的数,它们各以一定的概率同时存在.在常规计算机中,1个n位存放器只能保存1个n位二进制数;而在量子计算机中,1个n位量子存放器可以同时保存个n位二进制数.量子存放器位数的线性增长使存储空间指数增长,这是量子计算机的一个根本特点.6.2量子存放器量子态的测量量子存放器的态的测量可以通过测量存放器中的各个量子位的态来完成,每个量子位的态的测量都是对各自的根本态进展的.以2位量子存放器为例,其叠加态ûW〉为为清楚起见,下面用下标L和R分别表示量子位在量子存放器的左边位置和右边位置.在测量左位的态时,可将写成如下的表达式:式中和表示右位为归一化的单位向量,即，现欲测为的概率,先测量左位为的态,测量后坍缩为,左位为的概率为.再测量右位为的态,两次测量后,坍缩为,为的概率为。所以,在测量量子存放器的态时,其叠加态将坍缩。n位量子存放器虽然可以存储个n位数,但在测量(即读出)时,只能测得*一个n位数。多个量子位的态如果不能表示成*量积的形式,则称这多个量子位处于纠缠态(entangledstate).例如或为纠缠态,而则不为纠缠态,因为可写成如下的*量积:量子位的纠缠态对量子计算十分重要.当多个量子位处于纠缠态时,对局部量子位的态的测量将影响其它量子位的态的测量.例如测量时,测量一个量子位的态,将使另一个量子位的态与之一样;测量时,测量一个量子位的态,将使另一个量子位的态与之相反.但测量时,对右边那位的态不管如何测量,左边那位的态总是为.七．量子比特的存储2008年10月23号的"自然"期刊发表了名为"用P核自旋的固态量子存储器〞的论文，在文中，包括美国能源部劳伦斯伯克利国家实验室的研究人员在内的国际科研团队对第一次将由电子自旋实现的量子比特的叠加态相干地转移到"核自旋〞的量子比特存储器的过程做了报告，该存储过程持续时间相对较长〔1.75秒〕。这次试验被认为是第一次相对连续的量子数据存储，是推动量子计算开展的关键一步。2009年2月12日中国科技大学得悉**微尺度物质科学国家实验室潘建伟教授及其同事赵博、陈宇翱等，与德国、奥地利的同事合作，利用对磁场不敏感的原子态来存储量子态，并通过延长自旋波波长的实验技术，在国际上首次将单量子存储的寿命延长至毫秒量级，到达１毫秒以上。该实验成果将单量子存储的寿命提高了２个数量级，向未来基于量子中继器的远距离量子通信迈出了坚实的一步。近日出版的英国"自然"子刊"自然物理"发表了这项研究成果。量子存储技术在量子信息理论的各个领域都有着十分重要的意义。例如在BB84密钥分配方案中,引入量子存储器的"先公布基后测量〞的策略就可以使它的效率提高一倍从而接近100%。又例如一些量子比特承诺和正交态密码方案中本身就建立在量子存储技术根底之上。我们这里提出一种新型的单光子偏振态存储方案[11]。量子存储是量子中继器的关键部件。由于退相干机制的存在，使得已实现的量子存储的寿命都非常短，只有１０微秒左右，这极大地限制了量子中继器在远距离量子通信中的实际应用。通常认为，存储寿命短是由存储量子态的自旋波在梯度磁场下退相干所造成的。潘建伟研究小组通过对量子存储退相干机制的详细研究发现，除了磁场的影响之外，原子热运动造成的自旋波的失相〔相对相位的混乱〕也是导致量子存储寿命短的一个重要因素，而这一退相干机制在以往的研究中往往被无视。基于这一发现，他们在实验中通过选择对磁场不敏感的原子"钟态〞来存储量子态，同时延长自旋波激发的波长，从而将量子存储的寿命首次提高到１毫秒以上，相当于光可以在空气或光纤中传播超过３００公里。审稿人评价该工作说明并克制了一个重要的退相干机制，对光量子存储及光对物质的量子操控具有极其重要的意义。长寿命量子存储的实验实现为各种实用化的量子信息处理开创了新的起点，对基于量子存储的线性光学量子计算和基于量子中继器的远距离量子通信具有深远的影响。八．量子比特的制备根据前面介绍的内容容易发现，一个量子系统的根底是量子比特的性质以及对量子比特施行的各种量子操作，因此，量子系统的实现主要依赖于对量子比特的制备〔符号集〕、变换和检测〔测量〕等环节涉及到的技术。本节主要研究几种量子比特的制备方法。8.1光场量子比特的制备到目前为止，制备光场量子比特的方法主要有两种．第一种方法是寻找一个适当的哈密顿量，使光场作一个特定的么正变换而演化到所期待的量子比特．比方，让一束处于相干态|>的光通过一个克尔介质，选择适当的相互作用时间，则输出光为两个幅度一样、相位相反的相干态的叠加，即其中N为一归一化因子．|>是一个薛定谔猫态．虽然相干态本身是最接近经典的态，但由于叠加所引起的量子干预效应使得这种猫态能够呈现出正交相位压缩和亚泊松分布等非经典性质：在数学上，总可以找到一个适当的哈密顿量，使光场演化到一个特定的量子比特．但在物理上能够实现的哈密顿量却很有限，因而这种方法有比拟大的局限性．

制备光场量子比特的另一种方法是利用量子纠缠．两个子系统通过相互作用可发生纠缠，这是一个么正演化过程．这时对其中一个子系统进展探测，可使另一个子系统坍缩到一个特定的状态．这是一个波包坍缩过程，它是非么正的．这个方法大致又可分为两种类型：第一种是利用不同光场之间的相互作用，让输入信号光与探测光在克尔介质中相互作用并发生纠缠，然后对输出探测光的*一个正交相位分量进展探测，可使输出信号光坍缩到*个非经典态上．另一种类型是利用Jaynes－Cummings模型：这是一个描述单个双能级原子与单模量子化光场相互作用的全量子化模型．不久前，Vogel等人[12]在Jaynes－Cummings模型的框架中提出了一个方案，以制备单模光场的福克叠加态．在此方案中，N个初始处于激发态与基态的叠加态的双能级原子，逐个地被注入到一个初始处于真空态的共振腔中．假定每个原子在经过相互作用后都被探测到处于基态，则腔模将被制备到达如下的福克叠加态上：

其中|n>为福克态，系数Cm可由原子的初态的叠加系数来控制上述过程实质上是原子的相干性〔量子信息〕向光场转移的过程．由于量子态可近似展开为有限个福克态的叠加态，因此这种方法原则上可制备出任意量子态．当然这个方法必须进展很屡次探测，因而成功的几率比拟小。在上述方案中，原子与光场是共振的.当原子与光场的失谐量比拟大时，原子与光场在相互作用过程中不交换能量．但是，这时光场的相位将受到调制．Brune等人[13]发现，将一系列的双能级原子注入一初始时处于一相干态的腔中，经过非共振相互作用后，对这些原子进展适当的探测，可以将腔场制备成为薛定谔猫态对Brune等人的方法进展推广，并借助一个幅度与相位都可调节的经典场，我们提出了一个方法[14]，可制备出权重因子可控制的猫态．

除了标准的Jaynes－Cummings模型外，还有很多种推广的Jaynes－Cummings模型基于这些广义的Jaynes－Cummings模型，可以设计许多制备单模非经典光场的方案．利用受驱动Jaynes－Cummings模型，我们提出了一个方案，以制备位移福克态.我们还发现，利用非简并的双光子Jaynes－Cummings模型，可以制备相干态[15].8.2多原子最大纠缠比特的制备

量子非局域性是量子密码和量子计算等量子信息学科的根本原理．它指的是当两个量子系统处于一个纠缠态时，不管它们在空间分开多远都不能被看作相互独立的．它的证明对量子力学以及量子信息科学都具有重要意义．当两个自旋为1/2的粒子处于最大纠缠态时，Bell不等式将被最大地违反，这意味着局域隐参量理论是不正确的．几年前，Greenberger等人]研究了另一种类型的最大纠缠态，亦即Greenberger－Horme－Zeilinger〔GHZ〕态．这种最大纠缠态包括三个以上的粒子．与两粒子的纠缠态不同，多粒子最大纠缠态对局域隐参量理论的违背不需借助Bell不等式，在实验中只要对各个粒子的自旋做一次适当的探测就可以了．

一个双能级原子等同于一个自旋为1/2的粒子，而且对原子的探测效率可根本上到达100%．此外，原子在空间上容易分开．因此，如何将多个原子制备到最大纠缠态是一个十分有趣的课题．