人教版九年级上册数学24章圆的动点最值问题期末压轴训练题

人教版九年级上册数学24章圆的动点最值问题期末压轴训练题一、单选题1.如图，。。的半径为5,弦A8长为8,P为弦A8上动点，则线段0P长的取值范围是（ ）A.3<OP<5B.3<OP<5C.4VopcA.3<OP<5B.3<OP<5C.4Vopc5D.4<OP<52.如图，2.如图，MN是。。的直径，MN=2,点A在。。上，NAMN=40。，8为弧AN的中点，P是直径MN上一动点,))C.5D.3C.5D.33.如图，A8是。。的直径，A8=4,C为半圆。的三等分点（靠近点A）,P为。。上一动点.若。为A尸的中点,A.73-1 B.2 C.&+1 D.4.如图，以G（0,1）为圆心，半径为2的0G与大轴交于A、B两点、,与y轴交于C、。两点，点E为。G上一动点，CF上AE于F,当点E从点8出发顺时针运动到点。时，点尸所经过的路径长为（ ）试卷第1页，共5页兀

正3♦AB.兀

正3♦AB.乃

¥

C-乃3-4

♦D.如图，菱形ABC。中，NA=60。，A8=3,的半径分别为2和1,点尸、E、尸分别是边。、OA和OB上的动点，则PE+PF的最小值是（ ）A.1 B.2 C.2.5 D.3.如图，A8是半。。的直径，点C在半。。上，A8=5cm,AC=4cm.。是BC上的一个动点，连接A0,过点C作CELA。于E,连接8瓦在点。移动的过程中，8E的最小值为（ ）A.1 B.V1T-2 C.272-1 D.3.如图，点A是半圆上一个三等分点，点B是弧AN的中点，点P是直径M/V上一动点，。。的半径为1,则AP+80的最小值为（ ）A.3 B.3 C.72 D.2二、填空题.如图，A8是半圆。的直径，点O在半圆。上，A8=13,AD=5,C是弧BO上的一个动点，连接AC,过。点作。”_LAC于连接8”，在点。移动的过程中，BH的最小值是一.试卷第2页，共5页

DBO.已知：如图，在心△ABC中，NACB=90。，AC=BC=2,以BC为直径的半圆交AB于DP是。。上的一个动点,连接AP,则AP的最小值是.如图，43为O。的直径，A8=10,C,。为。。上两动点（C,。不与A,8重合），且8为定长，CELAB于E,M是C。的中点，则EW的最大值为..如图，是。。的直径，MN=2,点A在。。上，N4MN=40。，8为弧AN的中点，P是直径MN上一动点,则PA+PB的最小值为..如图，A3是。。的一条弦，点。是。。上一动点，且A8=60。，点£，尸分别是A。，3C的中点，直线针与O。交于G,〃两点，若。。的半径为6,则宓+"/的最大值为.如图所示，48是。。的直径，AB=20,NC4B=30。，点。为弧8c的中点，点尸是直径A3上的一个动点,PC+PD的最小值为.试卷第3页，共5页

.如图，在RSOA8中，4。8=90。,。4=8,48=10,。。的半径为4,点尸是A8上的一动点，过点尸作0。的一条切线P。，。为切点，则P。的最小值为..如图，已知。。的半径为5,3c是直径，点A是圆上任意一点，点。、E是直径8c上的动点，且BD=CE,则AO+AE的最小值为..如图，在心”36^,ZACB=90°,ZB=30°,AC=4,以A3直径作圆，尸为8C边的垂直平分线。E上一个动点，则图中阴影部分周长的最小值为.三、解答题.占希腊数学家毕达哥拉斯认为：“一切平面图形中最美的是圆”.波波决定研究一下圆.如图，OA、08是。。的两条半径，OA上OB,。是半径08上一动点，连接AC并延长交。。于0,过点。作圆的切线交。3的延长线于E,已知。4=6.(1)求证：ZECD=AEDCx(2)若BC=2OC,求。石长：(3)当NA从15。增大到30c的过程中，求弦AO在圆内扫过的面枳.试卷第4页，共5页

.己知A3是。。的直径，点。在A3的延长线上，AB=4,8c=2,P是。。上半部分的一个动点，连接。尸，CP.（1）如图①，△OPC的最大面积是（2）如图②，延长P0交。。于点。，连接。8,当CP=DB时,求证：CP是。。的切线.图②图①图②.如图，△ABC中，AC=BC,C。是△ABC的高，AB=8,CD=3,以点C为圆心，半径为2作。C,点E是。C上一动点，连接AE,点尸是AE的中点，求线段OF的最小值.如图，已知EO为。O的直径且石。=4,点A（不与重合）为。O上一个动点，线段48经过点E,且EA=EB,F为。O上一点，/FEB=90°,环的延长线与AD的延长线交于点C.（1）求证：aEFB-ADE；（2）当点A在。。上移动时，求四边形尸CQE的最大面积.BB试卷第5页，共5页参考答案B解:过点。作OCLLAB于点C,连接。4,如图所示:•••。。的半径为5,弦A8长为8,,OA=5,AC=-AB=492在RSAC。中，OC=y/OA1-AC2=3,TP为弦AB上动点，工线段0P长的取值范围是3so叱5；故选B.B解：作点B关于MN的对称点C,则点C在圆。上，连接AC交MN于点P,则尸点就是所求作的点.此时附+PB最小，且等于AC的长.连接OA,0C,「NAMN70。，,NAON=80。，•・，B为弧AN的中点，/.NAOB=NBON=40。,答案第1页，共16页根据垂径定理得8V=OV，:.ZCON=ZBON=40°t：.NAOC=120。，*：MN=2,：.OA=OC=1,：.ZOAC=ZOCA=30q9过点。作。G,AC于点G,，AG=CG,OG=-OA=-92 2-\AG=CG=\loA2—OG2= ,:.AC=S.故选：B.A解：•・•直径AB=4,・・・C0=A0=2,连接。。，以A。为直径作圆G,过G作GF_LOC于凡•••。为AP的中点，。。过。，••・0£>J_A尸，即点。在。G上，GD=yOA=l.答案第2页，共16页，OG=1,•・•点C为半圆。的三等分点(更靠近A点),,ZAOC=60\：.N尸GO=30。,：.OF=』OG=』,GF=30F=g3,•:CDNCG-GD,ACD>V3-1,的最小值是人-1,故选:A.A连接AC,取其中点H,则点尸的运动轨迹是以“为圆心，以"A为半径的圆的OA上,;以G(0,1)为圆心，半径为2的。G与工轴交于A、8两点，与y轴交于C、O两点,/.OG=19GA=GC=29OC=3,/NAOG=90。，/.OG=1,GA=GC=2,*•OA=32,了=3，AC=次+函尸=2y/3，/•HA=5/3,,NHCO=30。,：.NA”O=60。,答案第3页，共16页

•・点/所经过的路径长为6°x"6=正兀，180 3故选A.D连接8。,..AB=AD=CD=BC=3,ABAD=ABCD=60°,:4ADB、△3CO是等边三角形,；•ZBDC=ZADB=60。,/.ZADN=连接8。,..AB=AD=CD=BC=3,ABAD=ABCD=60°,:4ADB、△3CO是等边三角形,；•ZBDC=ZADB=60。,/.ZADN=1800-ZADB-ZB£>C=60°,二ZADN=ZADN=^。,・•.ZADB+ZADN+Z4W=180°,「.A,D,8在一条直线上，由题意可得出：当尸与。重合，E点在AD上,尸在8。上时，PE+PF最小,VBD=AB=AD=3,0A、0B的半径分别为2和1,..PE=AD-AE=19PF=BD-BF=2,二房+尸产的最小值是3.故选：D.6.B解:如图，连接8。:BC.答案第4页，共16页VCE±AD,/.ZAEC=90°9•・在点D移动的过程中，点石在以AC为直径的圆上运动，〈AB是直径，/.ZACB=90°9在RSABC中，VAC=4.AB=5,•・bc=Jab?-3=6-中=3,。6=2,在RSBCO中，B0'=y]BC2+CQ,~=6+3'=岳，-：O'E+BE>O'B,•・当。、E、8共线时，8E的值最小，最小值为。强-OE=JIJ-2,故选：B.7.C【详解】解：作点A关于MN的对称点山，连接48交MN于点P,则%+尸8最小,••,点A与加关于MN对称，点A是半圆上的一个三等分点,:"NON=/AON=60。,PA=PA\•・•点8是AN的中点，:.ZBON=30。，,ZAf0B=ZAf0N+ZBON=60°+30°=90°,又・・・OA=OA，=1,在RtAOAfB中,・•.ABjo*+OB'=JF+F=应，:.PA+PB=PA&PB=A，Bf.答案第5页，共16页故选：C.8闹-5• 2解:连接BD,取A0的中点E,连接BE,如下图:,：DH±AC工点”在以点E为圆心，AE为半径的圆上，当8、H、E三点共线时，8〃取得最小值•••A8是直径'ZBDA=90在中，A8=13,AD=5由勾股定理得：BD~=AB2-AD2即：BD2=169-25=144VBD>0••・83=12•・•£为AO的中点：.DE=-AD=-2 2在RSBDE中,a12,£>E=|由勾股定理得：BE2=DE2+BD~即：5E2=—+144=—4 4VBE>0:.BE旦2又・・・O”_LAC,且点E为AO的中点：.EH=-2:.BH=BE-EH= --=^~52 2 2故答案为：耐-，2答案第6页，共16页75-1解：连接AO与0。相交于点P,如图,在^AOP中，AP+OP>AO,即：AP是AP的最小值，•・・/ACB=90。，AC=BC=2,BC为直径,・・・PO=CO=1,,*•A0=y]AC2+CO2=>/5，^AP'=y/5-L,・・・AP的最小值是否-1.故答案为：>/5—1.5解：如图，当CO〃AB时，EM的值最大,连接。M、CE、OC,・・£)M=CM,J.OMVCD,：CD//AB.CELAB,•・ZOMC=ZMOB=ZOEC=900,•・四边形OMCE是矩形，:・EM=OC=5,,EM的最大值为5,故答案为：5.答案第7页，共16页11.百解：作点B关于MN的对称点C,连接AC交MN于点P,则P点就是所求作的点.此时必+PB最小，且等于AC的长.连接。4,OC,0B,作。O_LAC于D,・•NAMN=40。，:.NAON=80。，••8为弧AN的中点，:.NAOB=NNOB=40。,由对称可知，NCON=NNOB=40。，:.ZA0C=12Q°,・・MN=2.•・OA=OC=1,.•・NOAC=NOCA=30。，***0D=",CD=>JOC2-OD2=^,AC=2CD=G.故答案为乔.12.9解：如图，连接OA,OB,答案第S页，共16页,AB=60°，，NAO8=60。，•：OA=OB,・•・为等边三角形，V。。的半径为6,二•AB=OA=OB=6,,:点、E,尸分别是AC,8C的中点，EF=—AB=—x6=3,2 2:.GE+FH=GH-EF=GH-3,要求GE+尸”的最大值，即求弦G4的最大值，•・•当弦G”是圆的直径时，GH最大，最大值为：6x2=12,・•・GE+H7的最大值为：12—3=9.故答案为：9.13.105/2解：作出。关于AB的对称点。，连接OC,ODf,CD'.又•・•点C在。。上，NC48=30。，。为弧8C的中点，即60=6。，/.ZBADr=^ZCAB=15°.：.NC4O'=45，/.ZCOD'=90\则△C。。是等腰直角三角形.*：OC=OD'=^AB=10,答案第9页，共16页

••C£)/=io>/2，故答案为：105/T.14.处5解：连接OP,OQ,TP。与圆。相切，，/尸。。=90。，不变，・••当。尸最小时，尸。最小,此时。尸与AB垂直，VOA=S,AB=10,工0B=y/AB2-OA2=6,.吩OAxOB24AB5••・/0=«产_尸。二=随,故答案为：士叵.515.15.10解:延长40交。。于丁，连接。T,ET.•；BD=CE,OB=OC,・•・OD=OE,QA=OT,工四边形AOTE是平行四边形,答案第答案第10页，共16页：.AD=ET,*：AI>rAE=AE+ET>10,：,AD^AE的最小值为10.故答案为：10.8+把3解:如图，连接CE，连接BP?为BC边的垂直平分线DE上一个动点，•・点C和点B关于直线DE对称，：.CP=BP,JAP+CP=AP+BP,当动点P与点E重合时AP+B尸最小，此时AP+CP最小,VZACB=90°,ZB=30。，AC=4,AAB=2AC=8,AE=4,：,CP=AP=AC,•・△ACP是等边三角形，JZAPC=60°,・•AP+CP=AP+BP=AB=8,60。xx4 4万,阴影部分的周长最小值为8+°：。：-=8+?.lot） 5故答案为8+3-.解：（1）证明：连接。。，如图1所示：答案第11页，共16页・・・。石是。。的切线，..ZEDC+NODA=90。,-OA±OB9二ZACO+ZOAC=90°9.Q、。8是。。的两条半径，:.OA=OB,:.AODA=ZOAC9：.^edc=zaco9.・NECO=NACO,.-.ZECD=ZEDC；(2)解：vBC=2OC,OB=OA=6,・・OC=2,设DE=x,-ZECD=ZEDC9.CE=DE=x,，QE=2+x,vZO£)E=90o,:.ODz^DE2=OE29即：6W=(2+x)z,解得：x=8,/.DE=8；(3)解：过点。作。打,人。交AO的延长线于尸，如图2所示:答案第12页，共16页当24=15。时，^DOF=30°,TOC\o"1-5"\h\z:.DF^-OD=-OA=3,ZZXM=150°,2 2150〃61, 1S弓粉BD=S^^oda-Shod=———--OADF=15^--x6x3=15^-9,360 2 2当/4=30°时，ZDOF=60°,/.DF=^OD=*OA=3百,ZDOA=120°,S弓形abo=S叨形8A-Su。。=~ —A。DF=12^---x6x3。=12）一95/3,JOUz 2，当NA从15。增大到30。的过程中，AO在圆内扫过的面积为：（154一9）一（12〃-9乔）=31+9"-9.18.解：(1)・・・AB=4,：・OB=2,OC=OB+BC=4.在△OPC中，设OC边上的高为人**Saopl50C*h=2h»・•・当］最大时,Sa8C取得最大值.观察图形，当。P_LOC时，/?最大，如图所示:此时力=半径=2,Saopc=2x2=4.•••△OPC的最大面积为4.(2)如图，连接ARBP.答案第13页，共16页•：PD,AB都是圆的直径，NAPB=NPBD=90。JZAPB+ZPBD=180°：.AP//BD,ZA=ZD=ZAPZ>ZABD,丁NAOP=/DOB：.^AOP与△BOD中OA=OB,^AOP=/BODOP=OD：.AAOP^^BOD(SAS),:.AP=BD,•:CP=DB,；.AP=CP,・•・ZA=ZC