大学一年级高数期末考试题

精品文档精品文档PAGE精品文档第一学期高等数学期末考试试卷答案

一．计算题（本题满分 35分，共有5道小题，每道小题 7分），

1．求极限lim1cosxx2x．sin3xx0解：xx1cosx12x1cosx11cosxx2x22limlimlimsin3xx3x3x0x0x0xlncosxxln1cosx1cosx1cosx1xlnlne21e2122limlimx3lim1limx3x2x0x0cosxx0x0xln2limsinx1．x01cosx2x4与x23x2．设x0时，fx是等价无穷小，ftdt与Axk等价无穷小，求常数k与A．20

解：

3x

3xftdt由于当x0时，ftdt与Axk等价无穷小，所以lim0k1．而0x0Ax3x21x31ftdtf3x223x2f3x233x2x3x31lim0lim3limAxkAkxk2Akxklimlimx0x01x0x31x06Akxk1x06Akxk1211．因此，k1,1．所以，limAx06Akxk16x2axba与b应满足的条件．3．如果不定积分21dx中不含有对数函数，求常数x1x2解：

将x2axb化为部分分式，有2x2x11x2axbAB2CxD，2x1x11x2x11x2因此不定积分x2axbdx中不含有对数函数的充分必要条件是上式中的待定系数x121x2AC0．x2axbBDB1x2Dx12即．x121x2x121x2x121x2所以，有x2axbB1x2Dx12BDx22DxBD．比较上式两端的系数，有1BD,a2D,bBD．所以，得b1．525．计算定积分min1,x2dx．0解：min1,x2x2x211x211x12x1x2．x22x31x355212213所以，min1,x2dx1dx2xdxx2dx．001285．设曲线C的极坐标方程为rasin3，求曲线C的全长．3解：曲线rasin3一周的定义域为03，即03．因此曲线C的全长为3322d333a．srra2sin6a2sin4cos2dasin2d00333032

二．（本题满分 45分，共有5道小题，每道小题 9分），

6fxlimsinx．求出函数12x2n的所有间断点，并指出这些间断点的类型．n解：sinxx121sinxx1fx22lim2n11．n12xx220x12因此x111是函数fx与x22的间断点．2limfxlim00，limfxlimsinx1，因此x1是函数fx的第一类可x1x1x112222x2去型间断点．limfxlimsinx1，limfxlim01是函数fx的第一类可去型0，因此xx1x1x1x122222间断点．7．设是函数fxarcsinx在区间0,b上使用Lagrange（拉格朗日）中值定理中的“中值”，求极限lim．b0b解：fxarcsinx在区间0,b上应用Lagrange中值定理，知存在0,b，使得arcsinbarcsin01b0．12b2所以，21．因此，arcsinbb2212b2limarcsinblimarcsinb2limb2b2arcsinb2b0bb0b0

令tarcsinb，则有

lim2t2sin2tt2sin2t2lim2sin2tlimt4b0bt0tt0lim2tsin2tlim22cos2t11cos2t1lim2sin2t14t312t2limt22t3t0t06t06t0所以，lim1．b0b31x18．设fxey2ydy，求fxdx．00解：111fxdxxfxxfxdx0001x在方程fxey2ydy中，令x1，得0110f1ey2ydyey2ydy0．001xx2再在方程fxey2ydy两端对x求导，得fxe1，01111因此，fxdxxfxxfxdxxfxdx0000111ex211e1．xe1x2dxexex2dxe002029．研究方程exax2a0在区间,内实根的个数．解：设函数fxax2ex1，fx2axexax2exax2xex．令fx0，得函数fx的驻点x10,x22．由于a0，所以limfxlimax2ex1，xx

limfxlim2xalimx21alim2x1alim211．axe1xxxxxxexexe因此，得函数fx的性态x,000,222,fx00fx14ae211⑴若4ae210，即ae2时，函数fxax2ex1在,0、0,2、2,内4各有一个零点，即方程exax2在,内有3个实根．⑵若4ae210，即ae2时，函数fxax2ex1在,0、0,内各有一个零4点，即方程exax2在,内有2个实根．⑶若4ae210，即ae2时，函数fxax2ex1在,0有一个零点，即方程4exax2在,内有1个实根．

．设函数fx可导，且满足

f x xf x 1，f0 0．

试求函数 fx的极值．

解：在方程fxxfx1中令tx，得fttft1，即fxxfx1．fxxfxxfx，得在方程组xfx中消去xfxfxxx2．1x2

x

积分，注意 f0 0，得f x f0

0

2

t t1 t2dt．即

xt2dt1ln1fxtxx2arctanx．01t22由fxxx2fx的驻点x10,x21．而fx12xx21x2得函数1x22．所以，f010，f110．21ln2所以，f00是函数fx极小值；f11是函数fx极大值．24三．应用题与证明题（本题满分20分，共有2道小题，每道小题10分），

11 ．求曲线 y x的一条切线，使得该曲线与切线 l及直线x 0和x 2所围成的图形绕 x轴旋

转的旋转体的体积为最小．

解：

设切点坐标为t,t1，可知曲线yx在t,t处的切线方程为，由y2tyt11xt．xt，或y2t2t

因此所求旋转体的体积为

2

V

0

1282xtxdx42t2t43t所以，dV820．得驻点t2，舍去t2．由于dt43t233d2V160，因而函数V在t2dt243t2处达到极小值，而且也是最小值．因此所求切t2t2333线方程为y31．x2412．设函数fx在闭区间0，1上连续，在开区间0，1内可导，且

2efxarctanxdx1，f10．02证明：至少存在一点0，1，使得f1．12arctan解：因为fx在闭区间0,1上连续，所以由积分中值定理，知存在0,2，使得

2

efxarctanxdx2efarctan．02由于efxarctanxdx1，所以，2efarctan1．再由f10，得022efarctanef1arctan1．4作函数gx