数列的函数特性课件-高二下学期数学北师大版选择性

第一章数列§1数列第2课时数列的函数特性1.理解数列可视作定义在正整数集（或其子集）上的函数概念，会画数列的图象.2.理解递增数列、递减数列、常数列的概念，并会判断数列的增减性.课标要求1.理解数列可视作定义在正整数集（或其子集）上的函数概念，会画数列的图象.（数学抽象、数学建模）2.理解递增数列、递减数列、常数列的概念，并会判断数列的增减性.（数学抽象）素养要求2.数列的增减性(1)递增数列:一个数列{an},如果从第2项起,每一项都_____它前面的一项,即______(n∈N+),那么这个数列叫作递增数列.(2)递减数列:一个数列{an},如果从第2项起,每一项都_____它前面的项,即______(n∈N+),那么这个数列叫作递减数列.(3)常数列:如果数列{an}的各项都_____,那么这个数列叫作常数列.(4)一个数列{an},如果从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项,这样的数列叫摆动数列.大于an+1>an小于an+1<an相等1.数列的三种表示法(1)列表法.(2)图像法.(3)___________.通项公式法1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”).(1)数列的图像可以分布在坐标系内的任意象限. (

)(2)递增数列没有最大项. (

)(3)递减数列的最大项一定是当n=1时取得. (

)提示:(1)×.数列的定义域决定了数列的图像只可能在y轴右侧,不可能在第二、三象限.(2)×.递增数列是有穷数列时必有最大项.(3)√.由递减数列的概念可知.2.数列{an}满足an+1=an+1,则数列{an}是 (

)

A.递增数列 B.递减数列C.常数列 D.摆动数列【解析】选A.因为an+1-an=1>0,所以{an}为递增数列.3.数列{an}中,an=-n2+11n,则此数列最大项的值是 (

)A.

【解析】选B.an=-n2+11n=,因为n∈N+,所以当n=5或6时,an取最大值30.类型一数列的表示方法(直观想象)

在数列{an}中,an=n2-8n,(1)画出{an}的图像.(2)根据图像判定数列{an}的增减性.【解析】(1)列表描点:在平面直角坐标系中描出下列各点即得数列{an}的图像:(1,-7),(2,-12),(3,-15),(4,-16),(5,-15),(6,-12),(7,-7),(8,0),(9,9),…n123456789…an-7-12-15-16-15-12-709…(2)数列{an}的图像既不是上升的,也不是下降的,则{an}既不是递增的,也不是递减的.1命题方向2

⇨数列单调性的判断类型二数列的增减性(逻辑推理)

1.已知数列{an}的通项公式为an=

,按项的变化趋势,该数列是(

)A.递增数列 B.递减数列C.摆动数列 D.常数列【解析】1.选B.因为an+1-an==<0,所以an+1<an.故该数列是递减数列.

『规律总结』判断一个数列的单调性，可以利用递增数列、递减数列、常数列的定义进行，即通过判断一个数列{an}的任意相邻两项之间的大小关系来确定数列的单调性．(1)利用作差比较法①若an＋1－an>0恒成立，则数列{an}是递增数列；②若an＋1－an<0恒成立，则数列{an}是递减数列；③若an＋1－an＝0恒成立，则数列{an}是常数列．2.已知递增数列{an}的通项公式为an=2kn+1,则实数k的取值范围是

.

【解析】因为{an}单调递增,所以an+1-an=[2k(n+1)+1]-(2kn+1)=2k>0,所以k>0.答案:(0,+∞)3.已知数列{an},an=-2n2+λn,若该数列是递减数列,则实数λ的取值范围是 (

)A.(-∞,3] B.(-∞,4]C.(-∞,5)D.(-∞,6)【解析】选D.依题意,an+1-an=-2(2n+1)+λ<0,即λ<2(2n+1)对任意的n∈N+恒成立.注意到当n∈N+时,2(2n+1)的最小值是6,因此λ<6,即λ的取值范围是(-∞,6).命题方向3

⇨数列中的最大(小)项问题(1)求数列an＝－2n2＋29n＋3的最大项；(2)求数列an＝n2－7n＋50的最小项．(1)求数列an＝－2n2＋29n＋3的最大项；(2)求数列an＝n2－7n＋50的最小项．

已知函数f(x)=

(x≥1),构造数列an=f(n)(n∈N+).(1)求证:an>-2.(2)数列{an}是递增数列,还是递减数列?为什么?2.(1)由题意得an=f(n)=.因为n∈N+,所以>0.所以an=-2+>-2.(2)数列{an}是递减数列,证明如下:因为an=,an+1=,所以an+1-an====<0,所以an+1<an,所以数列{an}是递减数列.41.已知数列{an}的通项公式为ann,求数列{an}中的最大项.【解析】设an是数列{an}中的最大项,则

即所以所以

即9≤n≤10,所以当n=9或n=10时,an最大,最大项a9=a101010.

2.若数列

的通项公式是ann,对于任意的正整数n都有an≤aN成立,则N为 (

)或7或8或9或10【解析】选n+1-an=(n+2)·n+1-(n+1)·n=,当n=8时,an+1-an=0,当n<8时,an+1-an>0,当n>8时,an+1-an<0.所以当n<8时,an+1>an,数列单调递增;当n>8时,an+1<an,数列单调递减,所以当n=8时,a9=a8为数列的最大项.3.在数列{an}中,an=(n+1)

(n∈N+).(1)求证:数列{an}先递增,后递减;(2)求数列{an}的最大项.【解析】(1)因为an+1-an=(n+2)-(n+1)=,当n<9时,an+1-an>0,即an+1>an;当n=9时,an+1-an=0,即an+1=an;当n>9时,an+1-an<0,即an+1<an.所以a1<a2<a3<…<a9=a10>a11>a12>…,所以数列{an}先递增,后递减.(2)由(1)可知数列中有最大项,最大项为第9,10项,即a9=a10=

.命题方向4

⇨数列的周期性3

『规律总结』

若存在非零整数T，使得am＋T＝am对于任意的正整数m均成立，那么称数列{an}为周期数列，其中T叫作数列{an}的周期．5C

1.已知数列{an}是递增数列,且an=

则λ的取值范围是

.

【解析】由于数列为递增数列,所以解得λ∈.答案:

2.(2022·哈尔滨高一检测)已知数列满足:

且数列{an}是递增数列,求实数a的取值范围.【解析】根据题意,an=f(n)=,(n∈N*),要使{an}是递增数列,必有,据此有:,综上可得2<a<3.3.已知数列{an},an=

,则数列{an}中的最小项是第

项.

【解析】an=令3n-16<0,得n<.又因为f(n)=an在上单调递减,且n∈N+,所以当n=5时,an取最小值.答案:54.(2020·上海高一检测)已知数列

若对任意正整数n都有an≤ak,则正整数k=

.

【解析】因为

所以n≤9时,an>0,n≥10时,an<0,又因为{an}在[1,9]上递增,所以(an)max=a9,又因为对任意正整数n都有an≤ak,所以k=9.答案:95.已知an=

(n∈N+),设am为数列{an}的最大项,则m=

.

【解析】因为an=(n∈N+),所以根据函数的单调性可判断:数列{an}在[1,7],[8,+∞)上单调递减,因为在[1,7]上an<1,在[8,+∞)上an>1,所以a8为最大项.答案:86.若不等式

<a-2019对任意n∈N*恒成立,则最小的整数a=(

)A.2018

B.2019

C.2020

D.2021【解析】选C.设an=,所以an+1=所以an+1-an=所以an>an+1,所以{an}是单调递减数列,所以(an)max=a1=,所以<a-2019,所以a>2019+,a∈Z,所以amin=2020.7.若数列{n(n+4)}中的最大项是第k项,求k.【解析】由ak+1≤ak,ak≥ak-1得k(k+4)≥(k+1)(k+5),k(k+4)·≥(k-1)(k+3),化简得k2≥10,k2-2k-9≤0,解得

≤k≤+1,由于k是正整数,所以k=4.8.已知函数f(x)=2x-2-x,数列{an}满足f(log2an)=-2n.(1)求数列{an}的通项公式.(2)证明:数列{an}是递减数列.【解析】(1)因为f(x)=2x-2-x,f(log2an)=-2n, 所以

所以an-

=-2n,所以

+2nan-1=0,解得an=-n±

.因为an>0,所以an=-n,n∈N+.(2)因为an>0,所以an+1<an,所以数列{an}是递减数列.9.已知数列an的通项公式为an=n+

,若对任意n∈N+,都有an≥a3,则实数k的取值范围为 (

)A.[6,12] B.(6,12)C.[5,12]D.(5,12)【解析】选A.由已知n+≥3+对任意n∈N+恒成立,所以k≥3-n,即k≥3-n,当n≥4时,k≤3n,所以k≤12;当n=1时,k≥3;当n=2时,k≥6,以上三式都成立,所以取交集得6≤k≤12.10.已知数列{an}的通项公式为an=

下列表述正确的是(

)A.最大项为0,最小项为

B.最大项为0,最小项不存在C.最大项不存在,最小项为

D.最大项为0,最小项为

【解析】选A.令t=,则an=f(t)=t(t-1),0<t≤1,对称轴t=.又因为n为整数,则n=3时,an取到最小项为

,n=1时,取到最大项为0.11.数列{an}满足an+1=

,若{an}单调递增,则首项a1的范围是

.

【解题指南】先表示出an+1-an,再结合{an}单调递增可求首项a1的范围.【解析】因为an+1=,所以an+1-an=-3an>0,解得an>3或an<0,则有a1>3或a1<0.由于a2=-2a1,所以-2a1>3或-2a1<0,解得a1>3或a1<-1(0<a1<2舍去).答案:(-∞,-1)∪(3,+∞)1.函数f(x)定义如表,数列{xn}满足x0=5,且对任意的自然数均有xn+1=f(xn),则x2020= (

)x12345f(x)51342【解析】选B.根据定义可得,x1=f(x0)=2,x2=f(x1)=1,x3=f(x2)=5,x4=f(x3)=2,…,所以周期为3,所以x2020=x1=2.2.已知数列{an}的通项公式an=n2-7n-8.(1)数列中有多少项为负数?(2)数列{an}是否有最小项?若有,求出其最小项.【解析】(1)令an<0,即n2-7n-8<0,得-1<n<8.又n∈N+,所以n=1,2,3,…,7,数列从第1项至第7项均为负数,共7项.(2)方法一:an=n2-7n-8是关于n的二次函数,其对称轴方程为n==3.5,所以当1≤n≤3时,{an}单调递减;当n≥4时,{an}单调递增,所以当n=3或4时,an最小,且最小项a3=a4=-20.方法二:设an为数列{an}的最小项,则即

解得3≤n≤4,故当n=3或n=4时,a3=a4是数列中的最小项,且最小项a3=a4=-20.

3.一给定函数y=f(x)的图像在下列图中,并且对任意a1∈(0,1),由关系式an+1=f(an)得到的数列{an}满足an+1>an,则该函数的图像是 (

)【解析】选A.因为an+1=f(an),an+1>an,所以f(an)>an,即f(x)>x.4.对于函数y=g(x),部分x与y的对应关系如表:数列{xn}满足:x1=2,且对于任意n∈N+,点(xn,xn+1)都在函数y=g(x)