2019年数学中考考前冲刺提分训练：四边形综合（附解析）

2019年数学中考考前冲刺提分训练：四边形综合

图①图②图③

(1)如图①，当四边形力打步和仔CG均为正方形时，连接8尸.

(，)求证：l\CAEs(XCBF；

(//)若BE=1,AE=2,求交的长；

(2)如图②，当四边形483和次冶均为矩形，且罂=冬=〃时，若维=1,羔=2,

CE=3,求〃的值；

(3)如图③，当四边形/反步和次冶均为菱形，HZDAB=NGEF=45°时，设BE=m,

AE=n,CE=p,试探究m,n,p三者之间满足的等量关系.(直接写出结果，不必写出解

答过程)

(1)(/)证明：；四边形力仇》和中笫均为正方形，

.ACCEr

一而守一'巧

ZACB=ZECF=45°,

，ZACE=NBCF、

在和△渐中,

前AC百CE班r-

ZACE=ZBCF

:.XCAEsXCBF.

(//)解：•:[\CAEsl\CBF、

AE_AC

：.NCAE=NCBF,

BF^BC

又,：NCA曰NCBE=9Q°,

:.NCBRNCBE=9Q°,

:./EBF=9Q°,

V7..AEACLAC—O

又.丽而S'AE-2

Dr

--•BF=V2，

.•.房=初+才=/+（&）2=3,

:・EF=M，

,:C户=2EP=b,

••CE=yJ"^.

（2）如图②，连接3尸，

•旭=型=〃

'BCFC'

.'.BC=a,AB=ka、FC=b,EF=kb、

^=VEF2+FC2=Vk2b2+b2=bVk2+r

噜辛』ACE=4BCF,

DCFU

在和△8C尸中，

'ACECr-2-

.而而Wk+1,

tZACE=ZBCF

JAACES丛BCF,

，嚣噂二五2+1，/CAE=NCBF,

又,Z£=2,

2

,:NCAE=ZCBF,NCA24CBE=9Q°,

；.NCBBrNCBF=9Q",

:.NEBF=9Q°,

(3)连接81，同理可得N晶尸=90°,过C点作。熊延长线于

.・.四边形力放M为菱形,

.\AB=BC、设AB=80=x,

•：4CBH=/DAB=45°,：.BH=GH=&

•x.

2

:.AC=A#+C#=(/孚*)2+(券X)2,=(2+e)x,

，四：BC："=1：1：(2+72)，

同理可得于：F#：4=1：1：(2+加)，

22

,Ef?-EC_p

'2+V22+V2

在和△仇才中,

ACEC_「—l

<BC~FCv2+V2?

ZACE=ZBCF

:、XACESMBCF、

AE?AC2「

••・哈•=空/2+料，4CAE=NCBF,

BFZBC*

又•：〃=%

2_AE2_n2

BF

-2+近-2+近

■：ZCAE=ZCBF,NCA曰NCBE=90°,

：.NCBHNCBF=qQ°,

:./EBF=9Q",

：・E户=B^+B户,

22

・__P__2.n

■,WT-1"+W

(2+A/^)m+rf=p,

即m,",。三者之间满足的等量关系是：(2+&)■+〃2=/.

2.如图，将矩形483沿4片折叠，使点〃落在8c边上的点石处，过点、E悔EG"CD交AF

于点G,连接。G.

(1)求证：四边形是菱形；

(2)探究线段EG、GF、力厂之间的数量关系，并说明理由；

(3)若4G=6,EG=2近,求的的长.

：.AEGF=Z.DFG.

•••由翻折的性质可知：GD^GE,DF=EF,NDGF=ZEGF,

/.4DGF=4DFG.

.\GD=DF.

：.DG=GE=DF=EF.

二四边形4PG为菱形.

(2)EC=1~GF・AF.

2

理由：如图1所示：连接。£,交4尸于点0.

：.GFA.DE,OG=OF=^-GF.

•:/DOF=ZADF=9Q°,ZOFD=NDFA,

：.XDOFSXADF.

_..DF__FU_gpD^=FOAF.

AFDF

•：FO=^-GF,DF=EG,

,1

：.E^=—GF'AF.

2

（3）如图2所示：过点G作G/ALOC,垂足为，

•：E（^=^GF-AF,AG=6,EG=2辰,

.•.20=¥G（吩6）,整理得：密+・6尸G-40=0.

解得：FG=4,FG=~10（舍去）.

YDF=GE=2后,AF=W,

•■•»^=VAF^DP=4V5.

GHl.DC,ADS.DC,

：.GH//AD.

：.4FGHs&FAD.

.GHFG口nGH「4

,,AD"AF'即艰F，

.ru-8辰

5_

：.BE=AD-6仁4旗-冬度=丝叵

55

3.在正方形483中，点£,尸分别在边仇?，CD上,且NEAF=NCEF=45°.

(1)将△加尸绕着点4顺时针旋转90°,得到△48G(如图①)，求证：△?!£侬△%F；

(2)若直线标与四，力。的延长线分别交于点优/V(如图②)，求证：左=痣+*；

(3)将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变(如图③)，请你直接写出线

段£尸，BE,炉之间的，数量关系.

(1)证明：•••△/I。尸绕着点4顺时针旋转90°,得到△48G,

：.AF^AG,NFAG=9Q°,

:N£4尸=45°,

，NG/£=45°,

在与△4T中，

'AG=AF

<NGAE=/FAE=45°,

.AE=AE

：.XAGEQXAFE(S4S)；

(2)证明：设正方形布切的边长为a.

将△加尸绕着点/顺时针旋转90°,得到△羔6连结成

则△必丝△48G,DF=BG.

由（1）铅XAEG^XAEF、

：.EG=EF.

•；NCEF=45°,

:•XBME、XDNF、△胶均为等腰直角三角形，

:.CE=CF,BE=BM,心=&*

3一BE—3—DF、

:.BE=DF,

:.BE=BM=DF=BG、

：・NBMG=45°,

：・NGME=450+45°=90°,

.,.用=格+这，

•：EG=EF,MG=-/2BM=y[2DF=NF^

.•.芯=游+游；

（3）解：E户=2B户+2D户.

如图所示，延长中交布延长线于明点，交加延长线于/V点，

将△力相绕着点力顺时针旋转90°,得到△/G”,连结朝HE.

由（1）知XAEgXAEF、

则由勾股定理有（G伊硝?+BG=E#,

即（G卅BQ2+（BM-G衲2=ER

又:.EF=HE,DF=GH=GM,BE=BM,所以有（G卅BE）2+（BE-GH）”=Ep,

即2（D户+BE）=房

D

4.在正方形4仇》中，动点£,尸分别从。C两点同时出发，以相同的速度在直线CB

上移动.

(1)如图①，当点£自。向C,点尸自C向8移动时，连接然和〃尸交于点P,请你写

出与炉的位置关系，并说明理由；

(2)如图②，当£尸分别移动到边。C,第的延长线上时，连接/£和勿；(1)中的结

论还成立吗？(请你直接回答“是”或“否。不须证明)

(3)如图③，当£,尸分别在边3,8c的延长线上移动时，连接DF,(1)中的结论

还成立吗？请说明理由；

(4)如图④，当£,尸分别在边〃C,第上移动时，连接力£和〃尸交于点匕由于点£,F

的移动，使得点户也随之运动，请你画出点。运动路径的草图.若为32,试求出线段

%的最小值.

E

解：(1)AE=DF,AELDF.

理由：：四边形力仇》是正方形，

：.AD^DC,NADH/gqG.

在和尸中，

'AD=DC

<ZADC=ZC,

,DE=CF

:.△ADEQXDCF(SAS).

：.AE=DF,ZDAE=/CDF,

由于NCDR~NADF=90°,

:•NDA®/ADF=9Q°.

:.AELDF；

(2)是；

(3)成立.

理由：由(1)同理可证/£=。尸，/DAE=4CDF

延长用交瓶于点G,

:.NAD—DAE=9Q°.

:.AE'DF；

(4)如图:

由于点P在运动中保持N/外=90°,

，点P的路径是一段以力。为直径的弧,

设的中点为0,连接。C交弧于点儿此时。的长度最小，

在Rt/x0DC中，OC=VCD2+QD2=V22+12=V5)

:.C4QC-Q—娓T.

5.如图1,矩形中，48=4,AD=3,把矩形沿直线4C折叠，使点8落在点F处，AE

交切于点打，连接球

(1)求证：△DEC^XEDA、

(2)求相的值；

(3)如图2,若户为线段EC上一动点，过点户作△/日?的内接矩形，使其顶点。落在线

段上，顶点欣〃落在线段AC上，当线段所的长为何值时，矩形。。削的面积最大？

并求出其最大值.

E

(1)证明：由矩形和翻折的性质可知：AD=CE,DC=EA,

在与△庞2中，

'AD=CE

<DE=ED

,DC=EA

:.△DEgXEDA(SSS)；

(2)解：如图1,

、：/ACD=/BAC、4BAO=4CAE,

，ACD=/CAE、

:・AF=CF、

设DF=x,贝l]4尸=纺=4-x,

在RtZ\4?尸中，4/+%2=力厂,

即3?+/=(4-x)2,

解得：

o

即DF=L

8

(3)解：如图2,由矩形只掰V的性质得尸。〃)

.PEPQ

"CE=CA

22=5

又•"=3,^VAB+BC

设户£=x(0VxV3),则々■身，即加

353

过£•作£礼4?于G,则/W〃笛

.CP=PN

■■CE-EG

1o

又：在Rt△然C中，EG'AC=AE'CE,解得&?=卫,

5

PN_4

.■-2TL=12,即衿薮(3-x),

3V5

设矩形的面积为S,

4q2

贝ljS=P0・/W=-*x+4x=-q+3(0<x<3)

3—2

3

所以当*=卷，即由

,矩形。MV的面积最大，最大面积为3.

6.如图1,在菱形483中，对角线4C与劭相交于点0,48=13,放=24,在菱形48切

的外部以熊为边作等边三角形4维.点尸是对角线薇上一动点(点尸不与点8重合)，

将线段力尸绕点/顺时针方向旋转60°得到线段AM,连接FM.

(1)求40的长；

(2)如图2,当点尸在线段BO上,且点M,F,C三点在同一条直线上时，求证：46=扬的

(3)连接W若的面积为40,请直接写出的周长.

解：(1)..•四边形48”?是菱形,

:.ACLBD,OB=OD=,BD,

rBg2*

.〔08=12,

在RtZsOIS中,

■：AB=\3,

^=VAB2-OB2=V132-122=5-

(2)如图2,

B

图2

•••四边形熊3是菱形，

，能垂直平分AC,

：.FA=FC,2FAg乙FCA、

由已知〃'=4/,N例尸=60°,

.•.△4?为等边三角形，

N"=N"^=60°,

:点KF,。三点在同一条直线上,

AZ.FAC+Z.FCA-=AAFM=6Q°,

AFAC=FCA=3G°,

/.^MAC=ZMAF+^FAC=600+30°=90°,

在中

AC

tanN仁

AM

=AC

.".tan60°-AM

:.AC=y/yiM.

•••△/!非是等边三角形，

：.AE^AB,N)8=60°,

由(2)知△47为等边三角形,

：.AM^AF,NMAF=60°,

：.NEAM=NBAF,

在△力日/和△/b尸中，

'AE=AB

-NEAM=NBAF,

AM=AF

：./\AEM^/\ABF(SAS),

・・•△力昂/的面积为40,△力^厂的高为

40,8尸=16,

：.FO=BF-8gl6-12=4

AF=VA02+F02=V52+42=屈,

•・•△//的周长为3屈.

7.某数学兴趣小组对线段上的动点问题进行探究，已知48=8.

问题思考：

如图1,点户为线段四上的一个动点，分别以在、的为边在同侧作正方形4勿C、BPEF.

(1)当点户运动时，这两个正方形的面积之和是定值吗？若是，请求出；若不是，请求

出这两个正方形面积之和的最小值.

(2)分别连接力久DF、AF,AF交DP于袅K,当点。运动时，在XAPK、XADK、XDFK

中，是否存在两个面积始终相等的三角形？请说明理由.

问题拓展：

(3)如图2,以48为边作正方形ABCD,动点P、。在正方形的边上运动，且PQ=Q.若

点。从点4出发，沿的线路，向点。运动，求点户从4到。的运动过程中，

。。的中点。所经过的路径的长.

(4)如图3,在“问题思考”中，若点欣〃是线段48上的两点，且Mf=8N=1,点、G、

〃分别是边3、)的中点，请直接写出点户从M到人的运动过程中，G”的中点。所经过

的路径的长及。附必的最小值.

图1图2图3

解：(1)当点户运动时，这两个正方形的面积之和不是定值.

设/4P=x,则阳=8-x,

根据题意得这两个正方形面积之和=必+(8-x)2

=2x2-16/64

=2(x-4)，32,

所以当x=4时，这两个正方形面积之和有最小值，最小值为32.

(2)存在两个面积始终相等的三角形，它们是外与△/X

依题意画出图形，如答图2所示.

设AP=a,则PB=BF=8-a.

•：PE//BF,

.PKAPpn_PK__a

■■BF^AB）即可『T

8

DK=PD-PK=a--a，=jL

88

S^APK=^-PK-PA=^^^--a=^^L,S^K=^-DK-EF=.工・（8-a）=

228162—3

2

a：（8-a）

~~16~~，

(3)当点。从点4出发，沿/Hgg。的线路，向点。运动时，不妨设点。在"边上,

若点?在点4点。在点〃，此时夕。的中点。即为加边的中点；

若点。在的边上，且不在点。，则点。在上，且不在点4

此时在RtZVl。。中，。为的中点，所以/k2=g&?=4.

所以点。在以4为圆心，半径为4,圆心角为90°的圆弧上.

户。的中点0所经过的路径是三段半径为4,圆心角为90°的圆弧，如答图3所示：

DC

所以。。的中点。所经过的路径的长为：-X2nX4=6n.

4

（4）点。所经过的路径长为3,在阳的最小值为丁岳.

如答图4-1,分别过点G、0、〃作布的垂线，垂足分别为点/?、S、T,则四边形0?出

为梯形.

：.0S^—（G砧HT）=—（4代"8）=4,即0s为定值.

22

•••点。的运动路径在与四距离为4的平行线上.

,.,W=6,点户在线段减上运动，且点。为G”中点，

•••点。的运动路径为线段XY,XY=、N=3,X%48且平行线之间距离为4,点不与点4

点7与点8之间的水平距离均为2.5.

如答图4-2,作点的关于直线片的对称点〃‘，连接8”,与W交于点”

xr

由轴对称性质可知，此时初出=8”最小.

在中，MM，=2X4=8,加7,由勾股定理得：BM'=7MMZ2+BM2=VU3-

.•.0册期的最小值为五正.

8.已知：如图，在梯形四切中，AB//CD,NP=90°,加=加2,点£在边47上(不与

点A。重合)，NCEB=45。，第与对角线/1C相交于点尸，设,DE=x.

(1)用含x的代数式表示线段次的长；

(2)如果把△勿£的周长记作邑神，△必尸的周长记作以印，设誓坦=心求y关于

CABAF

x的函数关系式，并写出它的定义域；

解：(1)-：AD=CD.

：.ZDAC=^ACD^45°,

,:NCEB=45",

:.ZDAXNCEB,

'：/ECA=/ECA、

:.XCEFsXCAE、

.CECF

,'CA=CE'

在RtZ\C史中，根据勾股定理得，在=”+4,

,:CA=2瓜

.7X2+4_CF

■■-2VF=W

.-.^=V2(X2+4).

4

(2)•：4CFE=4BFA,/CEB=/CAB、

・・・N助=180°-NCEB-4CFE=18G0-NCAB-ZBFA,

•・・N48尸=180°-NCAB-NAFB,

：.NECA=4ABF,

YNCAE=/BAF=45°,

:ZEASABFA,

2—x

・"黑谭=短耳亘=箸（°y

(3)由(2)知，△皈s△济4

.AEAF

'AC=AB'

班(x2+4)

•­-2-x4

2^2-AB

;J8=A+2,

3

•・・N4%的正切值是9,

5

AE2-x_3

：.tanZABE=—

AB2+x5

1

2

5

：.AB=)&2=—.

2

9.在正方形4民盟中，对角线4C与劭交于点0；在RtZ\/WV中，Z解290°.

(1)如图1,若点。与点。重合且以入加、PNLAB,分别交加、AB于点、E、F,请直接

写出"与"的数量关系；

(2)将图1中的Rt△必W绕点。顺时针旋转角度a(0。<a<45°).

①如图2,在旋转过程中(1)中的结论依然成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说

明理由；

②如图2,在旋转过程中，当/加湖=15°时，连接体若正方形的边长为2,请直接写

出线段)的长；

③如图3,旋转后，若RtZ\/WV的顶点。在线段如上移动(不与点0、8重合)，当劭=

3昭时，猜想此时所与所的数量关系，并给出证明；当BD=m,BP时,请直接写出在

与用的数量关系.

,•,四边形48。。为正方形,

:.乙BAC=4DAC,又.PMLAD、PNLAB,

:.PE=PF；

(2)①成立，理由:

,­AC.故是正方形4及?〃的对角线,

：.OA=OD,4FA0=/EDg45°,N加P=90°,

；.NDOB~NAOE=9Q°,

•:/Mpgqy,

:.NFO外NAOE=9Q°,

/FOA=4DOE,

在勿和中，

rZFAO=ZEDO

-OA=OD,

,ZFOA=ZDOE

:Z。监XEQD、

：.OE=OF、BPPE=PF；

②作彼148于G,

•:/LD04\5°,

N/。尸=15°,则N故？=30°,

■：cosZFOG=—,

OF

-L-o./Z

•••°尸=爽_=与之，又OE=OF,

T3

：.EF=^^]

3

③PE=2PF、

证明：如图3,过点、P作HPLBD交AB干点、H,

则△初3为等腰直角三角形，NHPD=90°,

：.HP^BP,

-：BD=3BP,

：.PD^2BP,

：.PD=2HP,

又,：2HPPr4HPE=q0°,/DP®4HPE=90",

：.ZHPF=/DPE,

又YNBHH4EDH45",

：./\PHF^^PDE,

.PF=PH=1

''PE-PD-T

即PE=2PF,

由此规律可知，当BD="BP时,PE=(m-l)・PF.

M

10.如图，正方形018c的边。I,比在坐标轴上，点8的坐标为(-4,4).点户从点4出

发，以每秒1个•单位长度的速度沿x轴向点。运动；点。从点。同时出发，以相同的速

度沿x轴的正方向运动，规定点夕到达点。时，点。也停止运动.连接的，过夕点作8。

的垂线，与过点。平行于y轴的直线/相交于点2劭与y轴交于点£,连接在£设点户

运动的时间为t(s).

(1)N户劭的度数为45°,点〃的坐标为(t,t)(用力表示)；

(2)当t为何值时，△联为等腰三角形？

(3)探索△。8周长是否随时间方的变化而变化？若变化，说明理由；若不变，试求这

个定值.

解:(1)如图1,

由题可得：AP=00=1Xt=t(秒)

：.AO=PQ.

.・.四边形"8C是正方形，

.\A0=AB=BC=OC,

ZBAO=ZAOC=ZOCB=ZABC=90°.

,:DP，BP,

・・・N8%=90°.

/.ZBF^A=90°-4DPQ=4PDQ.

•：AO=PQ,AO=AB,

:・AB=PQ.

在△外户和△户初中，

'NBAP二NPQD

<ZBPA=ZPDQ

kAB=PQ

：./\BAP^/\PQD(/WS).

：.AP=QD,BP=PD.

'：ZBPD=90°,BP=PD、

:・/PBD=4PDB=45°.

'：AP=t,

*'•DQ=t.

・•・点。坐标为(t,t).

故答案为：45°,(匕，匕).

(2)①若PB=PE,则2=0,符合题意

②若EB=EP,

则NPBE=NBPE=45°.

・•・/弼=90。・

/.ZPEO=9Q°-』BEC=/EBC.

在△户如和△£■期中，

rZPEO=ZEBC

,ZPOE=ZECB

,EP=BE

，△户。虑(A4S).

：.OE=CB=OC.

，点£与点C重合(EC=O).

•••点户与点。重合(⑶=0).

•.•点8(-4,4),

.-.AO=CO=4.

此时t=4P=40=4.

③若BP=BE,

在Rt△外。和RtABCE中,

[BA=BC

IBP=BE

，Rt△泡心Rt△盛(AZ.).

:.AP=CE.

•：AP^t,

CE=t.

:.PgEgA-t.

•：4POE=90°,

­■--P£=VPO2+EO2

=&(4-t).

延长"到点R使得力厂=宏，连接8R如图2所示.

在△78和△&石中，

'AB=CB

<ZBAF=ZBCE=90°

AF=CE

:•△FAB^RECB.

:・FB=EB、4FBA=/E&C.

NEBP=45°,N腕=90°,

：・NAB44EBC=45Q.

・•・4FBP=/FB点/ABP

=ZEBC+4ABp=45。.

・•・4FBP=4EBP.

在△诙和△西中，

'BF=BE

<ZFBP=ZEBP

BP二BP

:.XFBP^XEBP(SAS).

:.FP=EP.

,\EP=FP=FA^AP

=C3AP.

：.EP=t+t=2t.

・•・«(4-t)=2t.

解得：亡=4j^-4

・•・当士为。秒或4秒或(4^2-4)秒时，△户跳为等腰三角形.

(3)YEP=CHAP、

/.ORPROE=OP^AP^-CB-OE

=A(hCO

=4+4

=8.

11.如图(1),已知正方形四3在直线帆的上方8c在直线仰上，E是8c上一点、,以为£

为边在直线神的上方作正方形AEFG.

(1)连接劭，求证：侬△力维；

(2)连接3,观察并直接写出N&W的度数(不要写出解答过程)

(3)如图(2),将图中正方形微改为矩形加切，加=6,仇=8,£是线段8c上一动

点(不含端点&C),以力£为边在直线仰的上方作矩形使顶点G恰好落在射线

CD上.判断当点£由8向C运动时，N&W的大小是否总保持不变，若NRW的大小不变，

请求出tanN&W的值.若NRW的大小发生改变，请举例说明.

(1)证明：；四边形四切和四边形AEFG是正，方形，

：.AB^AD,AE^AG^EF,/BAD=NEAX匕ADX9Q°,

ZBAE^ZEAD=ZDAG^ZEAD,NADG=90°=AABE,

：.』BAE=4DAG,

'/ADG=NABE

在△加G和△力寸中，.ZDAG=ZBAE,

,AD=AB

:.丛ADG^AABE(A45).

(2)解：NFCN=45°,理由如下：

作■FHLMN千H,如图1所示：

贝1]/日照=90°=NABE,

YNAEF=NABE=9Q°,

:.NBAB~NAEB=9Q°,NFE*ZAEB=9Q",

fZEHF=ZABE

:2FE42BAE,在△&7/和△/)维中，，ZFEH=ZBAE,

,EF=AE

:.△EFgXABE(44S),

：.FH=BE,EH=AB=BC,

:.C4BE=FH,

,：ZFHC=90°,

：./FCm45°.

(3)解：当点£由8向C运动时，N&W的大小总保持不变，理由如下:

作FH1.椒于H,如图2所示：

由已知可得N£4G=N84?=N〃71=90°,

结合(1)(2)得：△方侬△〃〃，XEF注sXABE、

：.EH=AD=BC=Q,

：.CH^BE,

.EH_FH_FH

''AB-BE-CH；

在Rt△%/中，tanZA-C^—,

CHAB63

G

12.已知矩形彳成力，作N48c的平分线交4?边于点K作N8版?的平分线交灯?边于点也

(1)若人为切的中点，如图1,求证：BM=Al>DM}

(2)若力与。点重合，如图2,求tanN优。的值；

(3)若粤=[,AB=6,如图3,求8c的长.

DN2

.•四边形彳仇力是矩形，

\AD//BC,AD=BC,ZABC=90°,

D=/NCE,4DMN=ZNEC,

.〃是外的中点，

：.DN=CN,

:ZNM^ACNE(/MS),

:,DM=CE、

YBM平令/ABC,NABC=90°,

:・NABM=NMBE=45°,

,:AD〃BC,

；・NAMB=NEBM=45°,

・・・N8磔=180°-45°=135°,

,:MN平俺乙BMD、

:,NBMN=NDMN=0.5。,

：.4E=4DMN=615,

：・NBMN=4E=675,

/.BM=BE=BOCE=A步DM。,

：,BC=BM,

设48=x,则8M=8C=J^x,

・：AD=BC、

DM="Rx-x,

RtZXZM1中，tanN"3^=&x-x=&_1；

DCx

(3)解：如图3,延长梆、8c交于点G,

图3

,••四边形4民加是矩形，

CD=AB=6,

..CN=l

・丽W，

:・CN=2,DN=4,

•.•△48%是等腰直角三角形,

BM=6^2，

由(1)知：BM=BG=6限

'：DM//GG.

SDMNsACGN、

.DNDM4_

..--=---=---z0,

CNCG2

设CG=m、贝I]DM=2m,

6^/2=6+2/m,

m=2料-2,

BC=6+2OT=2+4^2-

13.如图，在平面直角坐标系丫勿中有矩形"8C,A(4,0),C(0,2),将矩形"8C绕原

点0逆时针旋转得到矩形B'C.

(I)如图1,当点4首次落在回上时，求旋转角；

(II)在(I)的条件下，求点"的坐标；

(III)如图2,当点夕首次落在x轴上时，直接写出此时点看的坐标.

解：(I)­：A(4,0),C(0,2),

...〃=4,00=2,

由旋转的性质得：OA'=^Z4=4,

.・.四边形"8c是矩形，

：.Z008=90°,OA//BC,

在RtZ\0OT中，OC=^OAl,

・•・//'a=30°,

'：OA//BC,

・・・N4"'=N"'C*=30°,

即当点4首次落在8c上时，旋转角为30°；

(II)由矩形和旋转的性质得：0Af=04=4,48'=AB=0C=2,

作B'E工BC于E、如图1所示：

'SBC//A0.

・•・/"'C=AAf0/1=30°,

ZB'A'£=60°,B'E=sinN8'A'EXBB'=除X2=我，EA'=cosZB'A'E

XBB'=—X2=1,A'C^cos^OA'CXOA'=*X4=2J1,

22

C.CE^CA'-EA'=273-1,B'的纵坐标为：2+我，

点"的坐标为：(273-1.2+代)；

(III)过点4作4dx轴于尸，如图2所示：

:NB'4O=90°,A'Fl.B'0,

；.80=如2+42=2粕,N4电90°,

'：Z.A'0F=Z.B'0A',

A'0^/\A'F0,

yy7y

.0BQAAFHn2V54AF

'0AyOFA'B''4OF2'

解得：0尸=竺叵，彳尸=织£,

55

14.类比等腰三角形的定义，我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”.

(1)概念理解：

如图1,在四边形力83中，添加一个条件使得四边形483是“等邻边四边形”.请写出

你添加的一个条件.

(2)问题探究：

①小红猜想：对角线互相平分的“等邻边四边形”是菱形，她的猜想正确吗？请说明理

由.

②如图2,小红画了一个RtZUbC,其中,AB=2,BX1,并将沿

N4民?的平分线防’方向平移得到△/!'B'C,连结4*,仇7,小红要使平移后的四

边形为8,*是“等邻边四边形”，应平移多少距离(即线段仍'的长)？

(3)拓展应用:

如图3,“等邻边四边形”为加盟中，AB=AD,NBA5NBCD=qO°,AC,劭为对角线，AC

=扬8,试探究8aCD,做的数量关系.

解：(1)46=宛或所＞切或或(任写一个即可)；

(2)①正确，理由为：

••,四边形的对角线互相平分，，这个四边形是平行四边形，

••.四边形是“等邻边四边形”，，这个四边形有一组邻边相等，

这个“等邻边四边形”是菱形；

②.：/ABC=qy,AB=2,BC=1,

-AC=

•.,将RtZ\48C平移得到△*B'C,

：.BB'=AA',A'B'//AB,A'B'=48=2,B'C=BX1,A'C=AX后,

(/)如图1,当初'=49时，BB'=44'=AB=2-,

(//)如图2,当A4'=A'C时，BB'=AA'=A'C=依；

(///)当4C=BC'=立时，

如图3,延长CB'交于点。则CB'rAB,

•：BB'平分NA8C,

AABB'=—Z/5C=45°,

2

:.NBB'X'NABB'=45°

：.B'D=BD,

设8'ABD=x,

则C'D=x+\,BB'

•.,在RtZ\8C'。中，加+0)2=(8C')2

x+(/1)2=(泥)2,

解得：不=1,x2=-2(不合题意，舍去)，

(IV)当时=羔=2时，如图4,与(III)方法一同理可得：BG+Z?)』(BC)

2

J

设BrD=BD=x,

贝"+("I)2=22,

解得：%=T+#7,%=士近(不合题意，舍去)，

22

：.BB'=扬=吗Y0；

(3)BC,CD,8。的数量关系为：Bd+Cj=2B[f,如图5,

'：AB=AD,

・,・将△/1勿绕点A旋转到尸，连接CF,

:•△ABFQXADC、

：・4ABF=4ADC,NBAF=NDAC,AF=AC,FB=CD,

：./BAD=/CAF,—=—=1,

AFAB

:.△ACFSRABD,

CF=V2^?,

BDABY个乙

Y/BA步/ADC+/BC步/ABC=360Q,

AABC+^ADC=36Q°-(NBAA/BCm=360°-90°=270°,

：.ZABC+^ABF=270°,

・・・N渐=90°,

：.Bd+F^=Cf?=（&劭）2=28加,

15.如图，是△/1%的中线，。是线段上一点（不与点力重合）.然〃48交加于点尸,

CE//AM,连结〃；

E

E

(1)如图1,当点。与附重合时，求证：四边形均是平行四边形；

(2)如图2,当点。不与"重合时，(1)中的结论还成立吗？请说明理由.

(3)如图3,延长劭交4C于点“，若BHLAC,S.B4AM.

①求NC47的度数；

②当加遥，2府=4时，求力/的长.

(1)证明：如图1中，

■：DE//AB,

:.NEDX/ABM、

•：CE//AM,

：./ECD=NADB,

是△48C的中线，且。与"重合,

*'•BD=DC、

:•△ABD^XEDC、

・・・AB=ED,'：AB//ED.

..•四边形48处是平行四边形.

(2)结论：成立.理由如下：

如图2中，过点附作MGHDE交CE千G.

E

•：CE//AM,

.•・四边形ZWGF是平行四边形，

：.ED^GM,AED"GM、

由(1)可知四=G〃，AB//GM,

：.AB//DE,AB=DE,

四边形48班是平行四边形.

(3)①如图3中，取线段HC的中点/,连接Ml,

；."/是48伙?的中位线，

：.MI//BH,"/=%//,

,:BHLAC,旦BH=AM.

MirAC,

NO1仁30°.

②设DH=x,贝I]AH=-fy(,AD=2x,

.•/仁4+2x,

."公4+2x,

•.•四边形48班是平行四边形,

：.DF//AB,

•典=地

,旗一向

...遥_x

''V3x4+2x'

解得1-yfs(舍弃)，

."〃=1+遥.

16.如图1,在正方形483的外侧，作两个等边三角形为正和外尸，连接/I尸，BE.

(1)请判断：4尸与8f的数量关系是相等，位置关系是互相垂直；

(2)如图2,若将条件“两个等边三角形4国和DCF'变为"两个等腰三角形4正和DCF,

且EA=EXFAFC',第(1)问中的结论是否仍然成立？请作出判断并给予说明;

(3)若三角形?!如和少尸为一般三角形，S.AE=DF,ED=FC,第(1)问中的结论都能

成立吗？请直接写出你的判断.

解：(1)4尸与维的数量关系是：AF=BE,位置关系是：AFLBE.

答案是：相等，互相垂直;

(2)结论仍然成立.

理由是：；正方形4及》中，AB=AD=CD,

'AE=DF

.•.在△力巫和△仇尸中，，AD=CD.

,DE=CF

:.△ADEQXDCF、

：./DAE=2CDF、

又：正方形48CZ?中，N外AN4a=90°,

NBAE=/ADF,

AB=DA

在维和△加尸中，JZBAE=ZADF,

AE=DF

:.△ABEQXADF、

：.BE=AF,NABM=NDAF,

又•：NDARNBAgM,

:.NAB雌NBAM=9Q°,

...在△形■附中，N/磔=180°-(N/8他N外的=90°,

；.BELAF；

(3)第(1)问中的结论都能成立.

理由是：；正方形48切中，AB=AD=CD,

'AE=DF

.•.在和△Z?C尸中，JAD=CD,

DE=CF

:.AADEQXDCF,

：./DAE=4CDF,

又；正方形4比0中，N外a=90°,

:2BAE=/ADF,

'AB=DA

...在△/能和△加尸中，＜NBAE=NADF,

AE=DF

:.丛ABE9丛ADF,

:.BE=AF,ZABM^ZDAF,

又,；NDARNBAM=9Q°,

:.NA附N8Ag9Q°,

，在△/第中，NAMB=180°-(NABM^NBAW=90°,

.-.BE±AF.

BA

图3F

17.【问题情境】张老师给爱好学习的小军和小俊提出这样一个问题：如图1,在中，

四=股点户为边8c上的任一点，过点户作。以他PELAC,垂足分别为久E,过点C

作CELAff,垂足为尸.求证：PKPE=CF.

小军的证明思路是：如图2,连接由△?!解与面积之和等于△/!&?的面积可以

证得：PD^PE=CF.

小俊的证明思路是：如图2,过点户作。G_LC£垂足为G,可以证得：PAGF,PE=CG,

则P步PE=CF.

【变式探究】如图3,当点。在宓延长线上时，其余条件不变，求证：PD-PE=CF；

请运用上述解答中所积累的经验和方法完成下列两题：

【结论运用】如图4,将矩形四必沿标折叠，使点。落在点8上，点C落在点C处，

点。为折痕）上的任一点，过点。作户区密PHLBC,垂足分别为G、H,若初=8,CF

=3,求时的值；

【迁移拓展】图5是一个航模的截面示意图.在四边形南3中，E为边上的一点，ED

LAD,ECLCB,垂足分别为D、C,且AD'CE=DE-BC,AB^AD^3dm,B[>=y[yjdm.M、

力分别为人£、州的中点，连接力ACN,求△田/与△谢的周长之和.

图④图⑤

解：【问题情境】证明：（小军的方法）连接4"，如图②

•：PDA.AB,PELAC,GFLAB,

且SXABLSXAB声sXACP,

/.—AB-CF=—AB*PD^—AOPE.

222

'：AB=AC,

：.CF=PKPE.

（小俊的方法）过点夕作PGLCE垂足为G,如图②.

'：PD1AB、CFA-AB,PGA-FC,

ZCFD=ZFDP=ZFGP=90°.

.二四边形""7G是矢巨形.

:・DP=FG、ZDPG=90°.

・・・NCGP=90°.

'：PEI.AC,

CEP=9C.

:/PGC=/CEP.

•：/BDP=/DPG=9N.

：.PG//AB.

GPC