2023年九年级中考数学专题-锐角三角函数与圆的综合【含答案】

2023年九年级中考数学专题一锐角三角函数与圆的综合

一、综合题

1.如图，钝角AABC内接于O中，AB=AC,连结AO,BO,延长AC,BO交于点D.

(1)求证：AO是/BAD的角平分线；

_S

(2)若AO=5,AD=5y[6，求;

(3)若竺=%(左＞1)，求cosZAOB(用含k的代数式表示).

OB

2.如图，AB是。。的一条弦，点C是半径OA的中点，过点C作OA的垂线交AB于点E,且与BE

的垂直平分线交于点D,连接BD.

%

(1)求证：BD是。0的切线；

(2)若。。的半径为2G，CE=1,试求BD的长.

3.如图，AC是。0的直径，点B为。0上一点，PA切OO于点A,PB与AC的延长线交于点M,

NCAB=-ZAPB.

2

（1）求证：PB是。0的切线；

2

（2）当sinM=-，OA=2时，求MB,AB的长.

3

4.如图，AABC中，ZABC=90°

（1）在BC边上找一点P,作。P与AC,AB边都相切，与AC的切点为Q；（尺规作图，保留作

图痕迹）

（2）若AB=4,AC=6,求第（1）题中所作圆的半径；

（3）连接BQ,第（2）题中的条件不变，求cosNCBQ的值.

5.如图，将AABC绕点A按顺时针方向旋转，得到\ADE,当点C的对应点E落在线段

AB上时，点B的对应点D恰好落在MBC的外接圆上，且点C,D,E在同一直线上.

D

(1)求证：BD=DE.

(2)若BC=6&CGSNCAB=-,求CE的长.

3

6.如图，AABC内接于OO,AB=AC,CF垂直直径BD于点E,交边AB于点F.

(1)求证：ZBFC=ZABC.

(2)若。O的半径为5,CF=6,求AF长.

7.如图，已知，0O的半径OC垂直于弦AB,垂足为点D,点P在OC的延长线上，连结AP,AC

平分NPAB.

(1)求证：PA是。O的切线；

3

(2)若sinP=—,AB=16,求。O的半径长.

8.如图，在aABC中，AB=AC,以AC为直径作。0交BC于点D,过点D作FE_LAB于点E,交

AC的延长线于点F.

(1)求证：EF与。O相切；

3

(2)若AE=6,sinNCFD=-,求EB的长.

9.如图AB是半径为R的。。的直径，AC是。O的切线，其中A为切点.直线OC与。O相交于D,

E两点，直线BD与AC相交于点F.

(1)求证：AD・AC=DC・EA

(2)若sinNCDF=B，求线段AC的长.

3

10.如图，在Rt^ABC中，ZACB=90°,D为斜边AB上的中点，连接CD,以CD为直径作。O,

分别与AC、BC交于点M、N.过点N作NELAB,垂足为点E.

DE

(1)求证：NE为。0的切线;

3

(2)连接MD,若NE=3,sinZBCD=-,求MD的长.

11.如图，AB是OO的直径，D,E为OO上位于AB异侧的两点，连结BD并延长至点C,使得CD

=BD,连结AC交。O于点F,连接BE,DE,DF.

(1)若NE=35。，求NBDF的度数.

2

(2)若DF=4,cosZCFD=§,E是标的中点，求DE的长.

12.如图，在RtaABC中，NACB=90。，NBAC的平分线AO交BC于点O,以0为圆心，0C长为

半径作。O,。。交A0所在的直线于D、E两点(点D在BC左侧).

(1)求证：AB是。0的切线；

2

(2)连接CD,若AC=-AD,求tanND的值；

(3)在(2)的条件下，若。。的半径为5,求AB的长.

13.如图所示，Z\ABC中，点D是AB上一点，且AD=CD,以CD为直径的。O交BC于点E,交

AC于点F,且点F是半圆CD的中点.

(1)求证：AB与。0相切.

(2)若tanB=2,AB=6,求CE的长度.

14.如图，在菱形ABCD中，取CD中点0,以0为圆心0D为半径作圆交AD于E交BC的延长线

交于点F,AB=4,BE=5,连结OB

(1)求DE的长；

(2)求tan/OBC的值.

15.如图所示，AB是。0的直径，点D是弧AC的中点，ZCOB=60°,过点C作CELAD,交AD

的延长线于点E.

(1)求证：CE为。O的切线;

(2)若CE=V3，求。O的半径长.

16.如图，在aABC中，AC=BC,以BC边为直径作。0交AB边于点D,过点D作DELAC于点

E.

(1)求证：DE是。O的切线；

31

(2)若。O的半径等于-,cosB=-,求线段DE的长.

23

17.已知，如图在平面直角坐标系中，过点A(0,2)的直线与OO相切于点C,与x轴交于点B且

半径为G.

(1)求NBAO的度数.

(2)求直线AB的解析式.

V10

18.如图在。O中，BC=2,AB=AC,点D为AC上的动点，且cosB=

(1)求AB的长度;

(2)求AD・AE的值;

(3)过A点作AHJ_BD,求证：BH=CD+DH.

19.如图，以为直径作。O,过点/作。。的切线ZG连结5C,交。。于点。，点E是5c边的

中点，连结NE.

(1)求证：ZJ£S=2ZC；

3

(2)若4B=6,cos8=—,求。E的长.

20.如图，在A48C中，AC=BC,以AB为直径的圆交AC、BC与点E和点D,AB=6,且E为AC

的中点，过E点作与点尸,

(1)求当的值

BC

(2)连接OF并求OF的长

答案解析部分

1.【答案】（1）证明：连结0C,

VAB=AC,AO=AO,BO=CO,

A\ABO丝^ACO(SSS)

：.ZBAO=ZCAO,

.•.AO为NBAC的角平分线

(2)解：作AELAD于点E,CFJ_BD于点F,

设OD=x,

VAO=BO,

二ZABO=ZBAO=ZOAC,

又•.•NADONBDA,

A\ADOsABDA,

.ADBD5>/6x+5

..-----=-----，B|J--------=----产

ODADx5A/6

X12+5X-150=0

解得x,=10,x2=-15(舍)，即OD=10,

AOAD

.\BD=OB+OD=15,

~AB~~BD

即坟，

_L=:.AB=巫

AB152

1

.\AB=AC=-AD=CD,

XVAE//CF,

1

/.CF=-AE,

2

1RH.Ap

...Sw2BO.AE一-0、/

SgcD-BDCFBD，CFBD153

2

(3)解：设OB=r,

OD,

-----=k,..OD=kr,

OB

由(2)可知MDOsMDA,

.ADBDAD(k+1)r

..——=——，即Rn——=-----—,

ODADkrAD

AD=[k(k+1)尸

•.•设OE=x,BE=r-x,在Rt\AOE和Rt\ADE中,

AO2-OE2=AD2-DE2，即r2-x2=k(k+l)r2-(x+kr)2

左一］OExk-\

解得x=---r,cosZ.AOB

2k~0A~7~^lk

【解析】【分析】(1)连结0C,利用边边边定理证明A48。空\ACO,则对应角NBAO=/CAO,

即可得出A0为/BAC的角平分线；

(2)作AELAD于点E,CFJ_BD于点F,设OD=x,证明A4。。-\BDA,根据相似三角形的

性质列比例式求解，得出OD的长，则可求出BD,再根据相似三角形的性质求出AB的长，由于AE//

CF,结合AC=CD,得出CF=-AE,然后根据三角形的面积公式即可求出两个三角形的面积比；

2

(3)设OB=r■，把OD用含r的代数式表示，根据M.DO"ASD4OE=x，在Rt\AOE和Rt\ADE

中，利用勾股定理列关系式把x用含r的代数式表示，统一量以后，根据RtZ^AOE中即可求出cos/AOB

的值.

2.【答案】(1)证明：连接0B,

VOB=OA,DE=DB,

ZA=ZOBA,ZDEB=ZABD,

又YCDLOA,

二NA+/AEC=NA+NDEB=90。,

二ZOBA+ZABD=90°,

AOBIBD,

.•.BD是。O的切线；

(2)解：如图，作OH1AB,

D

J

0

。。的半径为2百，点C是半径OA的中点,

AC=；OA=5/3,

VCE=1,

CE

/.tanZA=-----=J3r.

AC

：.ZA=30°,

ZACE=90°,

JNDEB=NAEC=60。，

YDF垂直平分BE,

；.DE=DB,

.'.△DEB是等边三角形，

/.BE=BD,

设EF=BF=x,AB=2x+2,

过O作OHJ_AB于H,

AH=BH=x+l,

AO=20,

.△DEB是等边三角形，

..BE=BD,

设EF=BF=x,

.AB=2x+2,

过O作OH_LAB于H,

・・・AH=BH=x+l,

AO20AO3,

.-.AH=^

2

，AB=6,

.\BD=BE=AB-AE=4.

【解析】【分析】(1)连接OB，由圆的半径相等和已知条件证明NOBD=90。，即可证明BD是。O的切

线.

CE

(2)根据三角函数的定义得到tanNA=「=G,求得NA=30。，得到NDEB=NAEC=60,推出4DEB

是等边三角形，至UBE=BD,设EF=BF=x,求得AB=2x+2,过O作OHLAB于H,解直角三角形即可

得到结论.

3.【答案】(1)证明：连接OB,

VZCAB=-ZCOB,ZCAB=-ZAPB,：.NCOB=NAPB

22

,:PA是OC的切线，OA±AP,：.ZAPB+ZM^90°,

：.^COB+ZM=9Q°,A^OBM=90°,：.OBLMP,且。5为半径，:.PB为OC的切

线.

（2）解：连接BC,

OBOB___

-20BM=90°，,sinA/=,..OM=-——=3）..MC=1,MB=V32—22=卡

OMsinM

VAC为直径二N/3C=90°,：.NOBA+NOBC=90。,

•:NMBC+NOBC=90。,：.NMBC=NOBA,

OA=OB,/.ZMBC=AOAB,又,：4M=,/.^MCB^^MBA

方=砺"=7?，'/6=打一2?=&B，又•••叱+加=〃。2

即BC2+5BC2=42

【解析】【分析】（1）连接0B,根据切线的性质得到OALAP,求得NOBM=90。，OB±MP,根据求

得的判定定理即可得到结论；（2）连接BC,解直角三角形得到MC=1,MB=732-22=75，根据

圆周角定理得到/ABC=90。，根据相似三角形的性质得到AB=V5CB,根据勾股定理即可得到结论.

4.【答案】（1）解：如图，OP即为所求.

(2)解：在Rt/XABC中，VAB=4,AC=6,

•,-BC=JAC?-AB)=2也，

：PA平分NBAC,PB±BA,PQ1AC,

.*.PB=PQ,设PB=PQ=r,

=

SAABCSAABP+S^ACPf

1I-11

，—x4x2V5=—x4xr+—x6xr,

222

._4下

••r-------.

5

(3)解：VZABP=ZAQP=90°,AP=AP,PB=PQ,

ARtAAPB^RtAAPQ(HL),

；.AB=AQ,：PB=PQ,

.•.PA垂直平分线段BQ,

二NCBQ+NABQ=90°,ZBAP+ZAPB=90°,

.,.ZCBQ=ZBAP,

【解析】【分析】（1）作NBAC的平分线交BC于点P,作PQLAC于Q,以P为圆心，PQ为半径作

JR

OP即可.（2）利用面积法求解即可.（3）证明NCBQ=NBAP,可得cos/CBQ=cos/BAP=—,

由此计算即可.

5.【答案】(1)证明：将aABC绕点A按顺时针方向旋转，得AADE,

AZCAB=ZBAD,BC=DE,

VZCAB=ZCDB,ZBAD=ZBCD,

.\ZBCD=ZCDB,

VBC=BD

:.BD=DE

（2）解：过6作BFLCD，垂足为F

B

由（1）可得BC=BD=DE=66，

CD=2DF,

•:NCAB=NBDC（同弧所对的圆周角相等），

2

CGS/BDC-cosZCAB--,

3

•*-DF=BD-cosZBDC=4^2>

:,CD=2DF=8五，

:.CE=CD-DE=872-672=272

【解析】【分析】（1）由旋转的性质可得NCAB=/BAD,BC=DE,由同圆或等圆中相等的圆周角

所对的弧相等可得弧BC=MBD,即BC=BD,所以BD=DE；

（2）过B作BFLCD,垂足为F,由（1）得BC=BD=DE,由垂径定理可得CD=2DF,根据同弧所对

DF

的圆周角相等可得/CAB=/BDC,于是cos/BDC=cos/CAB=——，则DF可求解，由线段的构成

CE=CD-DE可求解,

6.【答案】（1）证明：连结AD,

•.•BD是。O的直径,

・・・ZBAD=90°,

VCF1BD,

JZBEF=90°,

VZABD+ZADB=90°,ZABD+ZBFE=90°,

AZBFC=ZADB,

VAB=AC,

AZABC=ZACB,

丁ZACB=ZADB,

JZBFC=ZABC.

(2)解：连结CD,-BD是。O的直径,ZBCD=90°,VZBFC=ZABC,；.BC=CF=6,VBD=10,

_______________Be3CD4

/.CD=dBD?-BC?=V102-62=8,cosZDBC=--=-,sinZDBC=——=一，在RtABCE中，

BD5BD5

BE=BCcosZDBC=6x-=—,CE=BCsinZDBC=6x———,/.EF--,BF=—VTo,

5555

18

,ABBEABy「9/—

VconZABD=——=—,即Hll——=尹一/.AB=3.AF=AB-BF=-Jl0

BDBF10”Y5

【解析】【分析】(1)连结AD,由BD是直径可得/BAD=90。，由CF_LBD可得NBEF=90。，可得

ZBFC=ZADB,根据等腰三角形性质和圆周角定理即可证明/BFC=NABC；

(2)连接CD,由BD是直径可得NBCD=90。，根据(1)的结论可得CF=BC=6,利用勾股定理可求

出CD的长，即可得NDBC的余弦和正弦值，进而可得CE、BE的长，即可得EF的长，利用勾股定

理可得BF的长，即可求出/ABD的余弦值，进而求出AB的长，根据AF=AB-BF即可得答案.

7.【答案】(1)解：连接OA,

VOC1AB

-BC=ACNODA=90。

AZ0=2ZBAC,ZOAD+ZO=90°

AC平分/PAB

二ZPAB=2ZBAC

ZO=ZPAB

ZOAD+ZPAB=90°

AOAIPA,OA是半径

...PA是圆O的切线。

(2)解：VOC1AB

:.NO」xl6=8

22

在RtAPAD中，

AD83

sinP===—

APAP5

40

解之：AP=—

3

在RtAOAP中，

OA3

sinP=----=—

OP5

设OA=3x,贝UOP=5x,AP=4x

40

4x=一

3

10

解之:x=­

3

10

.*.OA=3x—=10

3

二OO的半径为10

【解析】【分析】(1)利用垂径定理及圆周角定理，可证得NO=2NBAC,/OAD+NO=90。，再利用角

平分线的定义，可推出NO=NPAB,从而可得到NOAD+NPAB=90。，然后利用切线的判定定理，可证

得结论。

(2)利用垂径定理可求出AD的长，再在RtAPAD中，结合已知条件，利用解直角三角形求出AP的

长，然后在RtaOAP中，利用解直角三角形及勾股定理就可求出圆的半径。

8.【答案】（1）证明：如图，连接0D,

•/0C=0D,

ZOCD=ZODC.

•/AB=AC,

ZACB=ZB,

ZODC=ZB,

.-.OD//AB,

ZODF=ZAEF,

•/EF1AB,

.•.NODF=NAEF=9(T,

OD1EF,

vOD是OO的半径，

EF与OO相切

(2)解：由⑴知，OD//AB,OD1EF.

AE

在RIAAEF中，sinZCFD=——-,AE=6,

AF5

则AF=10,

VOD//AB,

.,.△FOD^AFAE,

OFOD

AF-AE

设OO的半径为r,

10-r_r

••一9

106

解得，r=—,

4

AB=AC=2r=—,

2

EB=AB-AE=—-6=-

22

【解析】【分析】(1)连接OD,利用等腰三角形的性质，可证得/OCD=/ODC,ZACB=ZB,即可

推出NODC=/B,再利用同位角相等，两直线平行，可证得OD〃AB,利用平行线的性质及垂直的定

义可证得ODLEF,然后利用切线的判定定理可证得结论。

(2)利用锐角三角函数的定义求出AF的长，再证明△FODs^FAE,利用相似三角形的对应边成比

例，建立关于r的方程，解方程求出r的值，就可求出AB的长，然后根据EB=AB-AE就可求出EB的

长。

9.【答案】(1)证明：•；AC是。O的切线，

二ZCAD=ZAED,

NC=NC,

ACAD^ACEA,

,AD_DC

"EA—AC

.•.AD・AC=DOEA；

(2)解：；AB、DE是半径为R的。O的直径,

・・・AB=DE,OA=OE=OB=OD,

・••四边形AEBD是矩形，

・・・AE〃BF,

令NCDF=9,则NABD=NAED=NFDC=8,

V3,

.,.sinZCDF=sin0=

T，

2r2V27?

.,.AD=2Rsin6=,AE=BD=2Rcos0=

耳F

令AC=m,

ADACm

由（1）可知：CD=

EA正，

VCA2=CD«CE=CD(CD+2R),

mm

即仙=U(2R+正）'

解得：AC=m=2V2R.

【解析】【分析】（1）根据弦切角定理得出/CAD=NAED,又NC是公共角，故△CADsaCEA,

根据相似三角形对应边成比例得出—=—,根据比例的性质即可等积式；

EAAC

（2）根据对角线相等且互相平分的四边形是矩形得出四边形AEBD是矩形，根据矩形的对边互相平

行得出AE〃BF,根据矩形的性质及同弧所对的圆周角相等得出令NCDF=。，则NABD=NAED=

ZFDC=0,根据等角的同名三角函数值相等得出sinZCDF=sin0=立，根据锐角三角函数的定

3

2r2F）R

义从而得出AD=2RsinO=—j=,AE=BD=2Rcos9=—令AC=m,根据（1）可知CD=

A/373

ADAC__m_

又CA2=CD«CE=CD(CD+2R),进而即可得出结论。

EAV2

10.【答案】(1)证明：连接ON.•.•NACB=90。，D为斜边的中点，

k

七一丁

・・・CD=DA=DB=-AB,

2

・・・NBCD=NB,

VOC=ON,

AZBCD=ZONC,

，NONC=NB,

・・・ON〃AB,

VNE1AB,

.\ON±NE,

・・・NE为。。的切线.

(2)解：由(1)得到：NBCD=/B,

NE_3

:.sinZBCD=sinZB=

~BN~5,

VNE=3,

・・・BN=5,连接DN.

•••CD是。0的直径,

/.ZCND=90°,

ADN±BC,

，CN=BN=5,

易证四边形DMCN是矩形，

・・・MD=CN=BN=5.

【解析】【分析】（1）连接ON,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出・・・CD=DA=DB

=-AB,根据等边对等角得出ZBCD=ZB,ZBCD=ZONC,故ZONC=ZB,根据同位

2

角相等，二直线平行得出ON〃AB,从而根据平行线的性质，由NE±AB,得出ONJ_NE,故NE

为。O的切线；

（2）根据等角的同名三角函数值相等及三角函数的定义得出sinZBCD=sinZB=「=,从

而求出BN的长，连接DN.根据直径所对的圆周角是直角得出NCND=90。，即DN_LBC,根

据等腰三角形的三线合一得出CN=BN=5,易证四边形DMCN是矩形，根据矩形的对边相等得出

MD=CN=5.

11.【答案】（1）解：如图1,连接EF,BF,

：AB是。O的直径，

/.ZAFB=ZBFC=90°,

VCD=BD,

・・・DF=BD=CD,

**•DF-BD，

，NDEF=NBED=35。，

.\ZBEF=70o,

AZBDF=180°-ZBEF=110°

(2)解：如图2,连接AD,OE,过B作BGJ_DE于G,

VZCFD=ZABD,

2

/.cosZABD=cosZCFD=—,

3

在RtAABD中，BD=DF=4,

/.AB=6,

YE是凝的中点，AB是。。的直径,

・・・NAOE=90。，

VBO=OE=3,

・・・BE=372，

・・・NBDE=NADE=45。,

，DG=BG=—BD=2行，

2

•\GE=y/BE2+BG2=Vio，

，DE=DG+GE=272+V1O.

【解析】【分析】（1）如图1,连接EF,BF,根据直径所对的圆周角是直角得出NAFB=/BFC=

90°,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出DF=BD=CD,根据同圆中相等的弦所对

的弧相等得出DF=BD＞根据等弧所对的圆周角相等得出/DEF=/BED=35。，进而根据圆的

内角四边形的对角互补即可算出答案；

（2）如图2,连接AD,OE,过B作BGLDE于G,根据圆内接四边形的性质得出ZCFD=ZABD,

2

根据等角的同名三角函数值相等得出cos/ABD=cosNCFD=-,根据锐角三角函数的定义即可

3

求出AB的长，根据垂径定理得出ZAOE=90°,根据圆周角定理得出ZBDE=ZADE=45°,根据

等腰直角三角形的性质得出BE=3V2，DG=BG=交BD=2后，进而根据勾股定理算出GE

2

的长，从而即可根据线段的和差得出答案。

12.【答案】（1）证明：如图，过点O作OFLAB,

二•AO平分NBAC,OF±AB,ZACB=90°

/.OC=OF,

.\OF为。O半径，KOF±AB

...AB是。O切线

（2）解：连接CE

:DE是直径

...NDCE=90°

,?ZACB=90°

二NDCE=/ACB

.,.ZDCO=ZACE

VOC=OD

.,.ZD=ZDCO

AZACE=ZD,且NA=/A

/.△ACE^AADC

：.ACCE32

AD~CD~AD~3

./CE2

..tan/D=----=—

CD3

⑶解：VAACE^AADC

.ACAE

,•茄一就

2

/.AC2=AD(AD-10),且AC=-AD

，AD=18

.0.AC=12

VAO=AO,OC=OF

ARtAAOF^RtAAOC(HL)

，AF=AC=12

VZB=ZB,ZOFB=ZACB=90°

二AOBF^AABC

OFOBBF

~AC~7B~^C

5_OBBF

12+BF~BO+5

5BO+25=12BF

60+5"=1208

600

BF

H9

600_2028

；.AB=FA+BF=12+

H9—119

【解析】【分析】（1）如图，过点O作OFLAB,根据角平分线的性质可得OC=OF,根据切线的判定

可证AB是。O切线.

（2）连接CE,根据圆周角定理可得/DCE=90。，即得/DCE=/ACB,利用等式性质可得NDCO=

ZACE,由等边对等角可得/D=/DCO.根据两角分别相等可证△ACEsaADC,利用相似三角形的

CE

对应边成比例可得J的值，继而求出tanZD的值.

CD

（3）利用相似三角形的对应边成比例可求出AD的长，从而可得AC的长.根据“HL”可证

RtAAOF^RtAAOC,可得AF=AC=12.根据两角分别相等可证△OBFsaABC,利用相似三角形的

对应边成比例可得-=，即得——--------------，从而求出BF的长，由ABFA+BF

ACABBC12\2+BFBO+5

求出AB的长.

13.【答案】（1）证明：连接DF,

〈CD为。。的直径，

.,-ZCFD=90°,

•・,点F是半圆CD的中点，

ACF=DF,

・・・NACD=45。，

VAD=CD,

JZA=ZACD=45°,

JZADC=90°,

・・・AB与。O相切

(2)解：VCD1AB,tanB=2,

・・・CD=2BD,

VAD=CD,

，AB=3BD,

VAB=6,

，BD=2,CD=4,

ABC=2后,

・・・BD与GO相切,

.,.BD2=BE«BC,

222V5

/.BE=

275"I-

875

.\CE=BC-BE=

【解析】【分析】(1)利用直径所对的圆周角是直角，可知nCFD=90。，再根据直角三角形斜边上的中

线等于斜边的一半，可证NACD=45。，利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理，可证得NADC=90。,

然后利用切线的判定定理，可证得结论。

(2)利用锐角三角函数的定义，可证得CD=2BD,从而可以推出AB=3BD,再由AB=6,就可求出

BD,CD的长，利用勾股定理求出BC的长，然后根据切割线定理可得到BD?=BE・BC,代入计算求出

BE的长，由CE=BC-BE,就可求出CE的长。

14.【答案】(1)解：•.•四边形ABCD是菱形,

；.AB=BC=CD=4,AD/7BC,

YCD是(DO的直径，

AZDEC=90°,

AZBCE=ZDEC=90°,

.••CE=7BE2-BC2=3,

.••DE=一CE?=J42-32=77

(2)解：连接DF,过O作OHLCF于H,

「CD是。O的直径，

二NDFC=90。，

.••四边形ECFD是矩形，

.♦.DF=CE=3,CF=DE=近，

・・.CH=V7

2

13

AOH=_DF=

22

8+V7

・・・BH=BC+CH=

2

OH8-V7

/.tanZOBC=

~BH19

【解析】【分析】(1)利用菱形的性质可证得AB=BC=CD=4,AD〃BC,利用直径所对的圆周角是

直角，易证CDEC=90。，再根据平行线的性质，可求出CIBCE=9O。，然后利用勾股定理求出DE的长。

(2)连接DF,过O作OHLCF于H,利用圆周角定理可证NDFC=90。，再根据矩形的性质，可得到

DF=CE=3,CF=DE,利用垂径定理求出CH的长，根据BH=BC+CH求出BH的长；然后利用锐角

三角函数的定义可求出tan/OBC的值。

15.【答案】(1)证明：连接OD,如图,

E

•••点D是弧AC的中点，

AZAOD=ZCOD=-ZJOC

2

又：/COB=60。，

/.ZAOD=ZCOD=60°,

VOA=OD,

••.△AOD为等边三角形，

.".ZA=ZCOB=60°,

；.OC〃AE,

二ZOCE+ZE=180°

VCE1AD,

.\ZE=90o,

/.ZOCE=90°,即OC_LCE,

;oc为oo的半径，

...CE为。。的切线，

(2)解：由(1)知aAOD和△COD均为等边三角形，CE=6，

r.OC=CD,NOCD=60°,

AZECD=90°-60°=30°,

・ccc/crn—ECV3石

•・cosNECD-==,

CDCD2

，CD=2,即。0的半径为2.

【解析】【分析】⑴连接0D,由相等的弧所对的圆心角相等可得NAOD=NCOD」NAOC,于是根

2

据NCOB的度数可求得/AOD和NCOD的度数，由等边三角形的判定可得aAOD为等边三角形，则

易得OC〃AE,结合已知可得/OCE=90。，根据圆的切线的判定可得CE为。。的切线；

(2)由(I)的等边三角形可求得NECD=30。，解直角三角形ECD即可求得CD的长。

16.【答案】(1)证明：连结OD.

VAC=BC,

.,.ZA=ZB,

VOB=OD,

.\ZB=ZODB,

,NA=NODB,

，OD〃AC,

VDE1AC,

ADEIOD,

.••DE是。0的切线,

(2)解：如图，连结CD.

3

・・・。0的半径等于一，

2

，BC=3,NCDB=90。，

在RtaCDB中，

BD1

cosB=-----=—,

BC3

二BD=1,CD=ylBC2-BD2=仃-F=2V2>

VAC=BC=3,ZCDB=90°.

；.AD=BD=1,

"n人clAD-CD1x2^22V2

解法一：在RtAADC中，DE=-------=----=――，

AC33

解法二：VZA=ZA,ZADC=ZAED=90°,

/.△ACD^AADE.

.ACCD

••茄一三'

.…ADCD1x2722V2

•・DE—------=-------=----

AC33

【解析】【分析】(1)连结OD.根据等边对等角得出NA=/B,ZB=ZODB,故NA=NODB,

根据同位角相等，两直线平行得出OD〃AC,根据平行线的性质，由DE±AC,得出DELOD,根

据切线的判定定理即可得出DE是00的切线；

(2)如图，连结CD.根据直角所对的圆周角是直角得出ZCDB=90°,根据余弦函数的定义，由

cosB=—=-得出BD的长，根据勾股定理算出CD的长，根据等腰三角形的三线合一得出AD

BC3

=BD=1,解法一：在RtAADC中，利用面积法，由DE=ADCD即可算出答案;解法二，判

AC

断出△ACDs^ADE,根据相似三角形对应边成比例得出—=—,由比例式建立方程即可求出

ADDE

DE的长。

17.【答案】（1）解：连接0C,如图,

：AB与。O相切，AOCIABKOC=6.

VA(0,2),，OA=2.在Rtz^AOC中，sinZBAO=—=—,ZBAO=60°；

OA2

(2)解：VZBAO=60°,.,.ZOBC=30°,，OB=2OC=2&,AB(-273，0)，设直线AB解

析式为产kx+b,.♦.{-2四+"°,解得：尸T，，直线AB解析式为y=3x+2.

b=2b=23

【解析】【分析】（1）连接OC,由圆的切线的性质可得OCLAB,在直角三角形AOC中，根据

OC

sinZBAO=—以及特殊角的三角函数值可求解；

OA

（2）解直角三角形BOA可求得OB的值，于是用待定系数法可求得直线AB的解析式。

18.【答案】（1）作AM_LBC,

VAB=AC,AM±BC,BC=2BM,

1

；.CM=-BC=1,

2

VcosB=%®，

AB10

在RtaAMB中，BM=1,

BM/—

，AB=------=V10；

cosB

(2)连接DC,

VA