2023版高考数学一轮复习讲义：第三章导数及其应用3-3

成套的课件成套的教案成套的试题尽在高中数学同步资源大全QQ群483122854联系QQ309000116加入百度网盘群2500G一线老师必备资料一键转存，自动更新，一劳永逸第三节定积分与微积分基本定理·最新考纲·1．了解定积分的实际背景，基本思想，理解定积分的概念．2．了解微积分基本定理的含义．·考向预测·考情分析：本节内容近几年全国卷未作考查，对定积分的求解及定积分应用不应忽视．学科素养：通过定积分的计算考查数学运算的核心素养；通过微积分基本定理的应用考查微观想象的核心素养．积累必备知识——基础落实赢得良好开端一、必记3个知识点1．定积分的概念在eq\i\in(a,b,)f(x)dx中，a，b分别叫做________与________，区间[a，b]叫做积分区间，________叫做被积函数，________叫做积分变量，________叫做被积式．2．定积分的性质(1)eq\i\in(a,b,)kf(x)dx＝________(k为常数)；(2)eq\i\in(a,b,)[f1(x)±f2(x)]dx＝________；(3)eq\i\in(a,b,)f(x)dx＝eq\i\in(a,c,)f(x)dx＋________(其中a<c<b).3．微积分基本定理如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，且F′(x)＝f(x)，那么eq\i\in(a,b,)f(x)dx＝________，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿­莱布尼茨公式．其中F(x)叫做f(x)的一个原函数．为了方便，常把F(b)－F(a)记作________，即eq\i\in(a,b,)f(x)dx＝F(x)eq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(,,,))eq\s\up12(b)a＝F(b)－F(a).eq\a\vs4\al(二、必明2个常用结论)1．记住定积分应用的两条常用结论(1)当曲边梯形位于x轴上方时，定积分的值为正；当曲边梯形位于x轴下方时，定积分的值为负；当位于x轴上方的曲边梯形与位于x轴下方的曲边梯形面积相等时，定积分的值为零．(2)加速度对时间的积分为速度，速度对时间的积分是路程．2．会用定积分的两个性质函数f(x)在闭区间[－a，a]上连续，则有(1)若f(x)为偶函数，则eq\i\in(－a,a,)f(x)dx＝2eq\i\in(0,a,)f(x)dx.(2)若f(x)为奇函数，则eq\i\in(－a,a,)f(x)dx＝0.eq\a\vs4\al(三、必练3类基础题)(一)判断正误1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”).(1)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上连续，则eq\i\in(a,b,)f(x)dx＝eq\i\in(a,b,)f(t)dt.()(2)若eq\i\in(a,b,)f(x)dx<0，则由y＝f(x)，x＝a，x＝b以及x轴所围成的图形一定在x轴下方．()(3)若f(x)是偶函数，则eq\i\in(－a,a,)f(x)dx＝2eq\i\in(0,a,)f(x)dx.()(4)若f(x)是奇函数，则eq\i\in(－a,a,)f(x)dx＝0.()(二)教材改编2．[选修2－2·P53例1改编]eq\i\in(1,e,)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(1,x)))dx＝()A．e2－2B．e－1C．e2D．e＋13．[选修2－2·P60习题T6改编]汽车以72km/h的速度行驶，由于遇到紧急情况而刹车，汽车以等减速度a＝4m/s2刹车，则汽车从开始刹车到停止走的距离为________m．(三)易错易混4．(不会分段出错)定积分eq\i\in(－1,1,)|x|dx＝()A．1B．2C．3D．45．(几何意义不清出错)曲线y＝x2＋2x与直线y＝x所围成的封闭图形的面积为()A．eq\f(1,6)B．eq\f(1,3)C．eq\f(5,6)D．eq\f(2,3)6．(几何意义不清出错)eq\i\in(0,2,)eq\r(4－x2)dx＝________．提升关键能力——考点突破掌握类题通法考点一定积分的计算eq\a\vs4\al([基础性])1．－π2eq\s\up6(\f(A．πB．2C．π－2D．π＋22．若eq\i\in(0,1,)(x2＋mx)dx＝0，则实数m的值为()A．－eq\f(1,3)B．－eq\f(2,3)C．－1D．－23．若函数y＝eq\f(x＋a－1,x2＋2)为奇函数，则eq\i\in(0,a,)(x2＋x)dx＝()A．2B．1C．eq\f(1,6)D．eq\f(5,6)4.eq\i\in(0,2,)|1－x|dx＝________．反思感悟计算定积分的一般步骤（1）把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差；,（2）把定积分变形为求被积函数为上述函数的定积分；（3）分别用求导公式的逆运算找到一个相应的原函数；（4）利用微积分基本定理求出各个定积分的值，然后求其代数和．考点二定积分的几何意义eq\a\vs4\al([综合性、应用性])[例1](1)[2022·云南昆明市高三模拟]设直线y＝1与y轴交于点A，与曲线y＝x3交于点B，O为原点，记线段OA，AB及曲线y＝x3围成的区域为Ω.在Ω内随机取一个点P，已知点P取在△OAB内的概率等于eq\f(2,3)，则图中阴影部分的面积为()A．eq\f(1,3)B．eq\f(1,4)C．eq\f(1,5)D．eq\f(1,6)(2)[2021·江西南昌二中高二期末]曲线y＝x2与直线y＝3x围成图形的面积为()A．eq\f(27,4)B．eq\f(27,2)C．eq\f(9,2)D．9听课笔记：反思感悟利用定积分求平面图形面积的4步骤（1）根据题意画出图形．（2）借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限．（3）把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和．（4）计算定积分，写出答案．【对点训练】曲线y＝sinx与直线x＝－eq\f(π,2)，x＝eq\f(5,4)π，y＝0所围成图形的面积是________．考点三定积分在物理中的应用eq\a\vs4\al([应用性])[例2](1)[2022·安徽省舒城中学高三模拟]一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t)＝7－3t＋eq\f(25,1＋t)(t的单位：s，v的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是()A．1＋25ln5B．2＋25ln2C．4＋25ln5D．8＋50ln2(2)变速直线运动的物体的速度为v(t)，初始t＝t1时所在位置为S0，则当t2秒末它所在位置为()A．0t1v(t)dtB．C．t1t2v(t)dt－S0听课笔记：反思感悟)定积分在物理中的两个应用（1）变速直线运动的位移：如果变速直线运动物体的速度为v＝v（t），那么从时刻t＝a到t＝b所经过的路程s＝eq\i\in(a,b,)v（t）dt.（2）变力做功：一物体在变力F（x）的作用下，沿着与F（x）相同方向从x＝a移动到x＝b时，力F（x）所做的功是W＝eq\i\in(a,b,)F（x）dx.【对点训练】一辆汽车的速度—时间曲线如图所示，则汽车在1分钟内行驶的路程为________m．第三节定积分与微积分基本定理积累必备知识一、1．积分下限积分上限f(x)xf(x)dx2．(1)kabfx(3)c3．F(b)－F(a)三、1．答案：(1)√(2)×(3)√(4)√2．解析：1e2x+1xdx＝(x2＋lnx)e答案：C3．解析：先求从刹车到停车所用的时间t，当t＝0时，v0＝72km/h＝20m/s，刹车后，汽车减速行驶，速度为v(t)＝v0－at＝20－4t.令v(t)＝0，可得t＝5s，所以汽车从刹车到停车，所走的路程为：0520-4tdt＝(20t－2t2即汽车从开始刹车到停止，共走了50m．答案：504．解析：-11xdx201xdx＝1.答案：A5．解析：由y=x2+2xy=x所以曲线y＝x2＋2x与直线y＝x围成的封闭图形如图中阴影部分所示，所以面积为-10x-2x-x＝16答案：A6．解析：024-x2d如图所示的阴影部分的面积，∴024-x2dx＝14π答案：π提升关键能力考点一1．解析：因为(x＋sinx)′＝1＋cosx，所以-π2ππ2＋sinπ2--答案：D2．解析：由题意知01x2+mxdx＝x33+mx2答案：B3．解析：因为y＝x+a-1x2+2为奇函数，所以a－1＝0，即a＝101＝13+1答案：D4．解析：021-x＝(x-12＝1-12－0＋1答案：1考点二例1解析：(1)联立y=1y=x3则曲边梯形OAB的面积为01(x-14x4)10∵在Ω内随机取一个点P，点P取在△OAB内的概率等于23∴点P取在阴影部分的概率等于1－23＝13，∴图中阴影部分的面积为34(2)由直线y＝3x与曲线y＝x2，解得x=0y=0或x=3所以直线y＝3x与曲线y＝x2的交点为O(0，0)和A(3，3)，因此，直线y＝3x与曲线y＝x2所围成的封闭图形的面积是S＝0332答案：(1)B(2)C对点训练解析：由题意和定积分的意义可得所求面积S＝--π20s