2023版高考数学一轮复习讲义：第二章函数的概念与基本初等函数

成套的课件成套的教案成套的试题尽在高中数学同步资源大全QQ群483122854联系QQ309000116加入百度网盘群2500G一线老师必备资料一键转存，自动更新，一劳永逸第一节函数及其表示最新考纲·1．了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映射的概念．2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．3．了解简单的分段函数，并能简单应用(函数分段不超过三段)．考向预测·考情分析：以基本初等函数为载体，考查函数的表示法、定义域，分段函数以及函数与其他知识的综合仍是高考的热点，题型既有选择、填空题，又有解答题，中等偏上难度．学科素养：通过函数概念考查数学抽象的核心素养；通常通过函数定义域、函数解析式及分段函数问题考查数学运算及直观想象的核心素养．积累必备知识——基础落实赢得良好开端一、必记3个知识点1．函数与映射的概念函数映射两个集合A，B集合A，B是两个非空的________集合A，B是两个非空的________对应关系按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的________一个数x，在集合B中都有________的数f(x)和它对应．按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的________一个元素a，在集合B中都有________的元素b与之对应名称称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．称f：A→B为从集合A到集合B的一个映射．记法y＝f(x)，x∈Af：A→B2.函数的有关概念(1)函数的定义域、值域在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的________；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的________．显然，值域是集合B的子集．(2)函数的三要素：__________、__________和__________．(3)相等函数：如果两个函数的________和________完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．(4)函数的表示法表示函数的常用方法有：________________、________________、________________．[提醒]函数图象的特征：与x轴垂直的直线与其最多有一个公共点．利用这个特征可以判断一个图形能否作为一个函数的图象．3．分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的________，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数．[提醒]分段函数是一个函数，而不是几个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．二、必明3个常用结论1．函数是特殊的映射，是定义在非空数集上的映射．2．直线x＝a(a是常数)与函数y＝f(x)的图象有0个或1个交点．3．判断两个函数相等的依据是两个函数的定义域和对应关系完全一致．三、必练4类基础题(一)判断正误1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)对于函数f：A→B，其值域是B.()(2)函数与映射是相同的概念，函数是映射，映射也是函数．()(3)只要集合A中的任意元素在集合B中有元素对应，那么这个对应关系就是函数．()(4)若两个函数的定义域与值域都相同，则这两个函数是相等函数．()(5)分段函数不是一个函数而是多个函数．()(二)教材改编2．[必修1·P18例2改编]下列函数中，与函数y＝x＋1是相等函数的是()A．y＝(x+1)2B．y＝3xC．y＝x2x＋1D．y＝3．[必修1·P17例1改编]已知f(x)＝x+3+1x+a，若f(三)易错易混4．(忽视自变量范围)设函数f(x)＝(x+1)2,x<14−x−1,x≥1,则使得f(5．(忽视新元范围)已知f(x)＝x－1，则f(x)＝________．(四)走进高考6．[2021·浙江卷]已知a∈R，函数f(x)＝x2−4，x>2，x−3+a，x≤2.若f(f(提升关键能力——考点突破掌握类题通法考点一函数的定义域[基础性]1．函数y＝lg2−x12+x−x2＋(A．{x|－3<x<1}B．{x|－3<x<2且x≠1}C．{x|0<x<2}D．{x|1<x<2}2．如果函数f(x)＝ln(－2x＋a)的定义域为(－∞，1)，那么实数a的值为()A．－2B．－1C．1D．23．[2022·江西抚州模拟]若函数f(x)的定义域为[0，6]，则函数f2xA．(0，3)B．[1，3)∪C．[1，3)D．[0，3)4．[2022·陕西渭南高三检测]若函数y＝ax+1ax2−4ax+2的定义域为RA．0，12B．0，12一题多变●1．(变问题)将题3中的“函数f2xx−3的定义域”改为“函数f(x2．(变条件，变问题)将题3改为“已知函数f(x－5)的定义域为[0，6]，则函数f(x)的定义域为________．”反思感悟1．给定函数的解析式，求函数的定义域2．求抽象函数定义域的方法考点二函数的解析式[综合性][例1](1)已知f2x+1＝lgx，则f((2)(一题多解)已知二次函数f(x)满足f(2x＋1)＝4x2－6x＋5，则f(x)的解析式为________．(3)[2022·佛山一中月考]已知函数f(x)满足f(x)＋2f(－x)＝ex，则函数f(x)的解析式为________．听课笔记：反思感悟求函数解析式常用的方法[提醒]由于函数的解析式相同，定义域不同，则为不相同的函数，因此求函数的解析式时，如果定义域不是R，一定要注明函数的定义域．【对点训练】1．若函数f(1－2x)＝1−x2x2(x≠0)，那么A．1B．3C．15D．302．已知fx+1x＝x＋1x，则函数3．已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，则f(x)＝________．4．已知f(x)满足2f(x)＋f1x＝3x，则f(x考点三分段函数[基础性、综合性]角度1求分段函数的函数值[例2](1)[2022·安徽合肥检测]已知函数f(x)＝x+1x−2，x>2，x2A．－12C．4D．11(2)[2022·郑州模拟]已知f(x)＝cosπx，x≤1，fx−1+1，x>1，则fA．12B．－C．－1D．1听课笔记：反思感悟分段函数的求值问题的解题思路(1)求函数值：先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．(2)求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验．角度2分段函数与方程[例3][2022·长春模拟]已知函数f(x)＝2x，x>0，x+1，x≤0.若f(a)＋fA．－3B．－1C．1D．3听课笔记：反思感悟根据分段函数的函数值求自变量的值时，应根据自变量与分段函数各段的定义域分类讨论，结合各段的函数解析式求解，要注意求出的自变量的值应满足解析式对应的自变量的范围.角度3分段函数与不等式[例4][2022·湘赣皖长郡十五校一联]设函数f(x)＝1，x≤0，2x，x>0，则满足f(x＋2)>f(3xA．x<1B．x≥1C．－2<x<1D．0<x<1听课笔记：反思感悟与分段函数有关的不等式问题主要表现为解不等式(有时还需要结合函数的单调性)．若自变量取值不确定，往往要分类讨论求解；若自变量取值确定，但分段函数中含有参数，则只需依据自变量的情况，直接代入相应解析式求解即可.【对点训练】1．[2022·长沙长郡中学月考]已知函数f(x)＝2x+1，x≥0，3x2，x<0，且f(x0A．－1B．1C．－1或1D．－1或－12．[2022·福州市高三质量检测]函数f(x)＝x，x<0，ex−1，x≥0，则f(2)＋f3．[2021·深圳模拟]已知函数f(x)＝1+x2，x≤01，x>0，若f(x－4)>f(2微专题❹学通学活巧迁移新定义函数交汇创新所谓“新定义”函数，是相对于高中教材而言，指在高中教材中不曾出现或尚未介绍的一类函数．函数新定义问题的一般形式是：由命题者先给出一个新的概念、新的运算法则，或者给出一个抽象函数的性质等，然后让学生按照这种“新定义”去解决相关的问题．[例][2022·广东深圳模拟]在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，若函数f(x)的图象恰好经过n(n∈N*)个整点，则称函数f(x)为n阶整点函数．给出下列函数：①f(x)＝sin2x；②g(x)＝x3；③h(x)＝13x；④φ(x)＝lnA．①②③④B．①③④C．①④D．④解析：对于函数f(x)＝sin2x，它的图象(图略)只经过一个整点(0，0)，所以它是一阶整点函数，排除D项；对于函数g(x)＝x3，它的图象(图略)经过整点(0，0)，(1，1)，…，所以它不是一阶整点函数，排除A项；对于函数h(x)＝(13)x，它的图象(图略)经过整点(0，1)，(－1，3)，…答案：C名师点评本题意在考查考生的数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象等核心素养．破解新定义函数题的关键是紧扣新定义的函数的含义，学会语言的翻译、新旧知识的转化，便可使问题顺利获解．如本例，若能把新定义的一阶整点函数转化为函数f(x)的图象恰好经过1个整点，问题便迎刃而解．[变式训练]1．[2022·山东滨州月考]具有性质f1x＝－f(x)的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数．下列函数：①y＝x－1x；②y＝x＋1x；③y＝x0<x<1，A．①②B．②③C．①③D．只有①2．若函数f(x)同时满足下列两个条件，则称该函数为“优美函数”：(1)∀x∈R，都有f(－x)＋f(x)＝0；(2)∀x1，x2∈R，且x1≠x2，都有fx在①f(x)＝sinx，②f(x)＝−2x3，③fx＝1－x这三个函数中，____________是第二章函数的概念与基本初等函数Ⅰ第一节函数及其表示积累必备知识一、1．数集集合任意唯一确定任意唯一确定2．(1)定义域值域(2)定义域值域对应关系(3)定义域对应关系解析法图象法列表法3．对应关系三、1．答案：(1)×(2)×(3)×(4)×(5)×2．解析：对于A，函数y＝(x+1)2的定义域为{x|x≥－1}，与函数y＝x＋1的定义域不同，不是相等函数；对于B，定义域和对应关系都相同，是相等函数；对于C，函数y＝x2x＋1的定义域为{x|x≠0}，与函数y＝对于D，定义域相同，但对应关系不同，不是相等函数．故选B.答案：B3．解析：因为f(x)＝x+3+所以f(－2)＝−2+3+1−2+a答案：14．解析：因为f(x)是分段函数，所以f(x)≥1应分段求解．当x<1时，f(x)≥1，即(x＋1)2≥1.解得x≤－2或x≥0，所以x≤－2或0≤x<1；当x≥1时，f(x)≥1，即4－x−1≥1，解得1≤x≤10.综上所述，x≤－2或0≤x≤10.答案：(－∞，－2]∪5．解析：令t＝x，则t≥0，x＝t2，所以f(t)＝t2－1(t≥0)．即f(x)＝x2－1(x≥0)．答案：x2－1(x≥0)6．解析：因为6>4＝2，所以f(6)＝(6)2－4＝2，所以f(f(6))＝f(2)＝|2－3|＋a＝1＋a＝3，解得a＝2.答案：2提升关键能力考点一1．解析：要使函数解析式有意义，须有2−x>0，解得x<2，−3<x<4，x≠1，所以－3<x<2且x≠1.故函数的定义域为{x|－3<x<2且x答案：B2．解析：因为－2x＋a>0，所以x<a2，又因为函数定义域为(－∞，1)，所以a2＝1，所以答案：D3．解析：因为函数f(x)的定义域为[0，6]，所以0≤2x≤6，解得0≤x≤3.又因为x－3≠0，所以x≠3，函数f2x答案：D4．解析：要使函数的定义域为R，则ax2－4ax＋2>0恒成立．①当a＝0时，不等式为2>0，恒成立；②当a≠0时，要使不等式恒成立，则a>0，Δ=−4a2−4·a·2<0，即a>0，a2a−1<0，解得0<a<12答案：D一题多变1．解析：因为函数f(x)的定义域为[0，6]，则0≤x－5≤6，即5≤x≤11，所以函数f(x－5)的定义域为[5，11].答案：[5，11]2．解析：因为函数f(x－5)的定义域是[0，6]，则0≤x≤6，有－5≤x－5≤1，所以函数f(x)的定义域为[－5，1].答案：[－5，1]考点二例1解析：(1)(换元法)令2x＋1＝t，则x＝2t−1.因为x>0，所以t>1，所以f(t)＝lg2t−1，即f(x)的解析式是f(x)＝lg2(2)方法1：(换元法)令2x＋1＝t(t∈R)，则x＝t−12，所以f(t)＝4t−122－6×t−12＋5＝t2－5t＋9(t∈R)，所以f(x)＝x2－5x＋9(方法2：(配凑法)因为f(2x＋1)＝4x2－6x＋5＝(2x＋1)2－10x＋4＝(2x＋1)2－5(2x＋1)＋9，所以f(x)＝x2－5x＋9.方法3：(待定系数法)因为f(x)是二次函数，所以设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f(2x＋1)＝a(2x＋1)2＋b(2x＋1)＋c＝4ax2＋(4a＋2b)x＋a＋b＋c.因为f(2x＋1)＝4x2－6x＋5，所以4a=4，4a+2b=−6，a+b+c=5，所以f(x)＝x2－5x＋9.解析：(3)(消去法)f(x)＋2f(－x)＝ex，①f(－x)＋2f(x)＝e－x，②①②联立消去f(－x)得3f(x)＝2e－x－ex，所以f(x)＝23e－x－13e答案：(1)f(x)＝lg2x−1(x(2)f(x)＝x2－5x＋9(3)f(x)＝23e－x－13对点训练1．解析：(1)方法1：由于f(1－2x)＝1−x2x2当x＝14时，f(12)＝方法2：设1－2x＝t，则x＝1−t2结合f(1－2x)＝1−x2x2f(t)＝41−t2－1＝所以f(12)＝4−答案：C2．解析：令t＝x+1x因为x+1x≥2，则t2＝x＋1x＋2(t≥2)，得到x＋1x＝t所以由f(x+1x)＝xf(t)＝t2－2(t≥2)，即f(x)＝x2－2(x≥2)．答案：f(x)＝x2－2(x≥2)3．解析：(待定系数法)设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则3f(x＋1)－2f(x－1)＝ax＋5a＋b，所以ax＋5a＋b＝2x＋17对任意实数x都成立，所以a=2，5a+b=17，解得a=2，b=7.所以f(x)＝2答案：2x＋74．解析：(解方程组法)因为2f(x)＋f1x＝3x，所以将x用1x替换，得2f1x＋f(x)＝3由①②解得f(x)＝2x－1x(x≠即f(x)的解析式是f(x)＝2x－1x(x≠答案：2x－1x(x≠考点三例2解析：(1)因为f(1)＝12＋2＝3，所以f(f(1))＝f(3)＝3＋13−2(2)f43＝f43−1＋1＝f13＋1＝cosf−43＝cos−4π3＝cos∴f43＋f−43答案：(1)C(2)D例3解析：∵f(1)＝21＝2，∴f(a)＋2＝0，∴f(a)＝－2，当a≤0时，f(a)＝a＋1＝－2，∴a＝－3，当a>0时，f(a)＝2a＝－2，方程无解，综上有a＝－3.答案：A例4解析：因为函数f(x)＝1，x≤0，2x，x>0，作出函数f(x)的图象，如图所示．则由函数的图象可得当x＋2≤0时，f(x＋2)＝1，f(3x)＝1，不满足f(x＋2)>f(3x)．当x＋2>0时，要满足f(x＋2)>f(3x)，则需x+2>0，3x≤0或x＋2>3x答案：C对点训练1．解析：由条件可知，当x0≥0时，f(x0)＝2x0＋1＝3，所以x0＝1；当x0<0时，f(x0)＝3x02＝3，所以x0＝－1，所以实数x答案：C2．解析：因为f(x)＝x，x<0ex−1，x≥0，所以f(2)＋f答案：e2－23．解析：函数f(x)＝1+x2，x≤01，x>0在(－∞，0]上是减函数，在(0，＋∞)上函数值保持不变，若f(x－4)>f(2x－3)，则x−4<02x−3≥0或答案：(－1，4)微专题❹学通学活巧迁移新定义函数变式训练1．解析：(逐项验证法)对于①，f1x＝1x－x＝－f(x)，满足“倒负”变换；对于②，f1x＝1x＋x≠－f(x)，不满足“倒负”变换；对于③，f1x＝−x0<x<1，0x=1，1xx>1，答案：C2．解析：由条件(1)得f(x)是R上的奇函数，由条件(2)得f(x)是R上的减函数．对于①，f(x)＝sinx在R上不单调，故不是“优美函数”；对于②，f(x)＝－2x3既是奇函数，又在R上单调递减，故是“优美函数”；对于③，f(x)＝1－x不是奇函数，故不是“优美函数”．答案：②

第二节函数的单调性与最值·最新考纲·1．理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义．2．会运用基本初等函数图象分析函数的单调性．考向预测·考情分析：以基本初等函数为载体，考查函数的单调性、单调区间及函数最值的确定与应用，其中函数单调性及应用仍是高考考查的热点，题型多以选择题为主，属中档题．学科素养：逻辑推理、数学抽象、数学运算．积累必备知识——基础落实赢得良好开端一、必记2个知识点1．函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量值x1，x2当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是________当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是________图象描述自左向右看图象是________自左向右看图象是________(2)单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间D上是________或________，则称函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的________．(3)若函数y＝f(x)在区间D内可导，当________时，f(x)在区间D上为增函数；当________时，f(x)在区间D上为减函数．(4)复合函数的单调性．若构成复合函数的内、外层函数单调性相同，则复合函数为增函数，否则为减函数．简称“同增异减”．[提醒]有多个单调区间时应分开写，不能用符号“∪”连接，也不能用“或”连接，只能用“，”或“和”连接．2．函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)对于任意x∈I，都有________；(2)存在x0∈I，使得________(1)对于任意x∈I，都有________；(2)存在x0∈I，使得________结论M是y＝f(x)的最大值M是y＝f(x)的最小值[提醒](1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时最值一定在端点取到．(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大值(或最小值)．二、必明3个常用结论1．函数y＝f(x)(f(x)>0或f(x)<0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝1f2．“对勾函数”y＝x＋ax(a>0)的单调递增区间为(－∞，－a)，(a，＋∞)；单调递减区间是[－a，0)，(0，a3．增函数与减函数形式的等价变形：∀x1，x2∈[a，b]且x1≠x2，则(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0⇔fx1−fx2x1−x2>0⇔f(x)在[a，b]上是增函数；(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0⇔f三、必练4类基础题(一)判断正误1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)函数y＝|x|是R上的增函数．()(2)函数y＝1x的单调减区间是(－∞，0)∪(3)若函数y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)．()(4)对于函数f(x)，x∈D，若对任意x1，x2∈D，x1≠x2且(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，则函数f(x)在区间D上是增函数．()(5)已知函数y＝f(x)在R上是增函数，则函数y＝f(－x)在R上是减函数．()(二)教材改编2．[必修1·P39习题A组T3改编]下列函数中，在区间(0，1)上是增函数的是()A.y＝2|x|B．y＝6－xC．y＝1xD．y＝－x23．[必修1·P31例4改编]函数y＝1x−1A．2B．12C．13(三)易错易混4．(忽视函数的定义域出错)函数f(x)＝ln(4＋3x－x2)的单调递减区间是________．5．(忘记函数的单调区间出错)已知函数y＝f(x)是定义在[－2，2]上的减函数，且f(a＋1)<f(2a)，则实数a的取值范围是________．(四)走进高考6．[2021·全国甲卷]下列函数中是增函数的为()A．f(x)＝－xB．f(x)＝2C．f(x)＝x2D．f(x)＝3提升关键能力——考点突破掌握类题通法考点一确定函数的单调性或单调区间[基础性]角度1判断或证明函数的单调性1．(一题多解)试讨论函数f(x)＝axx−1(a≠听课笔记：反思感悟利用定义法证明或判断函数单调性的步骤(1)取值：设x1，x2是定义域内的任意两个值，且x1<x2.(2)作差、变形：作差f(x2)－f(x1)，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形．(3)定号：确定差的符号，当符号不确定时，可以进行分类讨论．(4)判断：根据定义作出结论．[提醒]判断函数的单调性还有图象法、导数法、性质法等．角度2利用函数图象求函数的单调区间2．求函数f(x)＝－x2＋2|x|＋1的单调区间．听课笔记：一题多变(变条件)若题2中函数变为f(x)＝|－x2＋2x＋1|，如何求解？反思感悟由图象确定函数的单调区间需注意两点(1)单调区间必须是函数定义域的子集；(2)图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接.角度3复合函数的单调区间3．函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是()A．(－∞，－2)B．(－∞，1)C．(1，＋∞)D．(4，＋∞)听课笔记：反思感悟复合函数单调性的确定方法若两个简单函数的单调性相同，则这两个函数的复合函数为增函数；若两个简单函数的单调性相反，则这两个函数的复合函数为减函数，简称“同增异减”.考点二函数单调性的应用[综合性]角度1比较函数值的大小[例1](1)[2022·武汉模拟]已知函数f(x)＝1ex+1−12，若a＝f(21.3)，b＝f(40.7)，c＝f(log38)，则A．c<a<bB．a<c<bC．b<a<cD．a<b<c(2)已知函数f(x)的图象向左平移1个单位长度后关于y轴对称，当x2>x1>1时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0恒成立，设a＝f−12，b＝f(2)，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系A．c>a>bB．c>b>aC．a>c>bD．b>a>c听课笔记：反思感悟利用函数的单调性比较大小的方法比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，则要利用函数性质，将自变量的值转化到同一个单调区间内进行比较，对于选择题、填空题通常选用数形结合的方法进行求解.角度2求函数的最值(值域)[例2](1)[2022·河南郑州调研]函数f(x)＝x−1x2在x∈[1，4]上最大值为M，最小值为m，则A．3116B．2C．94(2)函数y＝x2听课笔记：反思感悟利用函数单调性求最值应先确定函数的单调性，再由单调性求最值．(可结合本节微专题理解)[提醒](1)求函数的最值时，应先确定函数的定义域．(2)求分段函数的最值时，应先求出每一段上的最值，再选取其中最大的作为分段函数的最大值，最小的作为分段函数的最小值．角度3解函数不等式[例3]已知R上的函数f(x)满足：①f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋1；②当x>0时，f(x)>－1.(1)求f(0)的值，并证明f(x)在R上是单调增函数；(2)若f(1)＝1，解关于x的不等式f(x2＋2x)＋f(1－x)>4.听课笔记：一题多变(变条件，变问题)例3中，函数f(x)满足的条件改为“定义域为(0，＋∞)，fx1x2＝f(x1)－f(x2)，当x>1时，f(x(1)求f(1)的值；(2)证明：f(x)为单调递减函数；(3)求不等式f(2x＋1)>f(2－x)的解集．反思感悟求解含“f”的不等式，应先将不等式转化为f(m)<f(n)的形式，再根据函数的单调性去掉“f”，应注意m，n应在定义域内取值.角度4求参数的值或取值范围[例4](1)[2022·哈尔滨模拟]已知函数f(x)＝ax−2，0<x≤1，logaxA．(1，＋∞)B．(1，2)C．(1，2]D．(0，2](2)[2022·贵阳市高三摸底]函数y＝x−5x−a−2在(－1，＋∞)上单调递增，则aA．a＝－3B．a<3C．a≤－3D．a≥－3听课笔记：反思感悟利用单调性求参数的方法(1)依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间与已知单调区间比较．(2)需注意若函数在区间[a，b]上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也单调．(3)分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值.【对点训练】1．[2022·西安模拟]已知函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，当x1≠x2且x1，x2∈(1，＋∞)时，[f(x2)－f(x1)]·(x2－x1)<0恒成立，设a＝f−12，b＝f(2)，c＝f(e)，则a，b，A．c>a>bB．c>b>aC．a>c>bD．b>a>c2．设函数f(x)＝2xx−2在区间[3，4]上的最大值和最小值分别为M，m，则mA．23B．38C．33．如果函数f(x)＝(2−a)x+1，x<1,ax,x≥1满足对任意x1≠x2，都有A．(0，2)B．(1，2)C．(2，＋∞)D．34．[2022·济南模拟]已知函数f(x)＝x3，x≤0，lnx+1，x>0，若f(2－x2)>f微专题❺求函数最值的常用方法思想方法一、单调性法[例1]函数f(x)＝－ax＋b(a>0)在12，2上的值域为12，2解析：∵f(x)＝－ax＋b(a>0)在1∴f(x)min＝f(12)＝12，f(x)max＝即−2a+b=12，−a2+b=2，答案：15名师点评利用函数的单调性求解函数的值域是最基本的方法，解题的关键是准确确定函数的单调性．二、不等式法主要是指运用均值不等式及其变形公式来解决函数最值问题的一种方法．常用的不等式有以下几种：a2＋b2≥2ab(a，b为实数)；a+b2≥ab(a≥0，ab≤a+b22≤a2[例2]已知函数f(x)＝sin2xsinx+2解析：设t＝sinx＋2，则t∈[1，3]，则sin2x＝(t－2)2，则g(t)＝t−22t＝t＋4t－4(1≤t≤3)，由“对勾函数”的性质可得g(t)在[1，2)上为减函数，在(2，3]上为增函数，又g(1)＝1，g(3)＝13，所以g(t)max＝g(1)＝1.即f(答案：1名师点评在利用均值不等式法求函数最值时，必须注意“一正”“二定”“三相等”，特别是“三相等”，是我们易忽略的地方，容易产生失误．三、换元法换元法有两类，即代数换元和三角换元，我们可以根据具体问题及题目形式去灵活选择换元的方法，以便将复杂的函数最值问题转化为简单函数的最值问题，从而求出原函数的最值．如可用三角代换解决形如a2＋b2＝1及部分根式函数形式的最值问题．[例3](1)函数f(x)＝x＋21−x的最大值为________；(2)求函数y＝x－4−x解析：(1)设1−x＝t(t≥0)，所以x＝1－t2，所以y＝f(x)＝x＋21−x＝1－t2＋2t＝－t2＋2t＋1＝－(t－1)2＋2.所以当t＝1即x＝0时，ymax＝f(x)max＝2.(2)换元法：由4－x2≥0，得－2≤x≤2，所以设x＝2cosθ(θ∈[0，π])，则y＝2cosθ－4−4cos2θ＝2cos＝22cosθ+π因为θ＋π4∈π所以cosθ+π4∈所以y∈[－22，2].答案：(1)2(2)y∈[－22，2]名师点评在使用换元法时注意换元后新元的范围(即定义域)，特别是三角换元后新函数的周期性对值域的影响．四、数形结合法数形结合法，是指利用函数所表示的几何意义，借助几何方法及函数的图象求函数最值的一种常用的方法．[例4]对a，b∈R，记max{a，b}＝a，a≥bb，a<b，函数f(x)＝max{|x＋1|，|x－2|}(x∈R解析：由|x＋1|≥|x－2|，得(x＋1)2≥(x－2)2.所以x≥12.所以f(x)＝其图象如图所示：由图象易知，当x＝12时，函数有最小值，所以fxmin＝f(12)＝答案：3第二节函数的单调性与最值积累必备知识一、1．(1)增函数减函数上升的下降的(2)增函数减函数单调区间(3)f′(x)>0f′(x)<02．f(x)≤Mf(x0)＝Mf(x)≥Mf(x0)＝M三、1．答案：(1)×(2)×(3)×(4)√(5)√2．解析：对于A，y＝2|x|在[0，＋∞)上是增函数，所以在(0，1)上是增函数，正确；对于B，函数y＝6－x在R上是减函数，所以在(0，1)上是减函数，错误；对于C，函数y＝1x在(0，＋∞)上是减函数，所以在(0，1)上是减函数，错误；对于D，函数y＝－x2＋6在[0，＋∞答案：A3．解析：因为y＝1x−1在[2，3]上单调递减，所以ymin＝13−1＝答案：B4．解析：由4＋3x－x2>0得出函数f(x)的定义域为－1<x<4.令t＝4＋3x－x2，则f(x)＝lnt．因为函数t在−1，32上单调递增，在32，4上单调递减，而函数y＝ln答案：35．解析：由条件知−2≤a+1≤2答案：[－1，1)6．解析：对于f(x)＝－x，由正比例函数的性质可知，f(x)是减函数，故A不符合题意；对于f(x)＝23x，由指数函数的单调性可知，f(x)是减函数，故B不符合题意；对于f(x)＝x2，由二次函数的图象可知，f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，故C不符合题意；对于f(x)＝3x＝x13，由幂函数的性质可知，f(x答案：D提升关键能力考点一1．解析：方法1：设－1<x1<x2<1，f(x)＝ax−1+1x−1＝a1+f(x1)－f(x2)＝a1+1x1−1－a由于－1<x1<x2<1，所以x2－x1>0，x1－1<0，x2－1<0，故当a>0时，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，函数f(x)在(－1，1)上单调递减；当a<0时，f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，函数f(x)在(－1，1)上单调递增．方法2：f′(x)＝ax'x−1−axx−1'当a>0时，f′(x)<0，函数f(x)在(－1，1)上单调递减；当a<0时，f′(x)>0，函数f(x)在(－1，1)上单调递增．2．解析：f(x)＝−＝−画出函数图象，如图所示，则单调递增区间为(－∞，－1]和[0，1]，单调递减区间为(－1，0)和(1，＋∞)．一题多变解析：函数y＝|－x2＋2x＋1|的图象如图所示，由图象可知，函数y＝|－x2＋2x＋1|的单调递增区间为(1－2，1]和(1＋2，＋∞)，单调递减区间为(－∞，1－2]和(1，1＋2].3．解析：由x2－2x－8>0，得x>4或x<－2.设t＝x2－2x－8，则y＝lnt为增函数．要求函数f(x)的单调递增区间，即求函数t＝x2－2x－8在定义域内的单调递增区间．∵函数t＝x2－2x－8在(－∞，－2)上单调递减，在(4，＋∞)上单调递增，∴函数f(x)的单调递增区间为(4，＋∞)．答案：D考点二例1解析：(1)函数f(x)＝1ex+1−12是R上的减函数，又log38<2<21.3<21.4＝40.7，所以f(40.7)<f(21.3)<f(log38)，即(2)由于函数f(x)的图象向左平移1个单位长度后得到的图象关于y轴对称，故函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以a＝f−12＝f52.当x2>x1>1时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0恒成立，等价于函数f(x)在(1，＋∞)上单调递减，所以b>a答案：(1)C(2)D例2解析：(1)因为y＝x和y＝－1x2在[1，4]上是增函数，所以f(x)＝x−1x2在[1，4]上是增函数，所以M＝f(x)max＝f(4)＝2－116＝3116，m＝f(1)＝0.因此(2)令x2+4＝t，则t∴x2＝t2－4，∴y＝tt2+1设h(t)＝t＋1t，则h(t)在[2，＋∞∴h(t)min＝h(2)＝52∴y≤152＝25即y最大值为25答案：(1)A(2)2例3解析：(1)令x＝y＝0，得f(0)＝－1.在R上任取x1>x2，则x1－x2>0，f(x1－x2)>－1.又f(x1)＝f[(x1－x2)＋x2]＝f(x1－x2)＋f(x2)＋1>f(x2)，所以函数f(x)在R上是单调增函数．(2)由f(1)＝1，得f(2)＝3，f(3)＝5.由f(x2＋2x)＋f(1－x)>4，得f(x2＋2x)＋f(1－x)＋1>5，即f(x2＋x＋1)>f(3)，又函数f(x)在R上是增函数，故x2＋x＋1>3，解得x<－2或x>1，故原不等式的解集为{x|x<－2或x>1}．一题多变解析：(1)令x1＝x2>0，代入得f(1)＝f(x1)－f(x1)＝0，故f(1)＝0.(2)任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1>x2，则x1x2>1，由于当x>1时，f所以fx1x2<0，即f(x1)－f(因此f(x1)<f(x2)，所以函数f(x)在区间(0，＋∞)上是单调递减函数．(3)因为函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以不等式f(2x＋1)>f(2－x)等价于2x+1>02−x>02x+1<2−x，解得－12<x故原不等式的解集为x−例4解析：(1)要使函数f(x)＝ax−2，0<x≤1logax，x>1，在(0，＋∞(2)y＝x−5x−a−2＝x−a−2+a−3x−a−2＝1＋a−3x−a+2，所以当a－3<0时，y＝x−5x−a−2的单调递增区间是(－∞，a＋2)，(a＋2，＋∞)；当a－3≥0时不符合题意．又y＝x−5x−a−2在(－1，＋∞)上单调递增，所以(－1，＋∞)⊆(a＋2，＋∞)，所以a＋2≤－1，即a答案：(1)C(2)C对点训练1．解析：依题意f(x)在(1，＋∞)上单调递减，在(－∞，1)上单调递增，且f(x)关于x＝1对称，∴a＝f−12＝f∴f(e)<f52<f即c<a<b.答案：D2．解析：因为f(x)＝2xx−2＝2＋4x−2，所以f(所以M＝f(3)＝2＋43−2＝6，m＝f(4)＝2＋44−2＝4，所以m2M＝答案：D3．解析：因为对任意x1≠x2，都有fx所以y＝f(x)在R上是增函数．所以2−a>0，a>1，2−a×1+1≤故实数a的取值范围是32答案：D4．解析：根据函数f(x)的图象(图略)可知，f(x)是定义在R上的增函数．∴2－x2>x，∴－2<x<1.答案：(－2，1)

第三节函数的奇偶性与周期性最新考纲·1．了解函数奇偶性的含义．2．会运用基本初等函数的图象分析函数的奇偶性．3．了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性．·考向预测·考情分析：以理解函数的奇偶性、会用函数的奇偶性为主，其中与函数的单调性、周期性交汇的问题仍是高考考查的热点．题型以选择、填空题为主，中等偏上难度．学科素养：通过函数奇偶性和周期性的概念考查数学抽象的核心素养；通过函数性质的应用考查直观想象、逻辑推理的核心素养．积累必备知识——基础落实赢得良好开端一、必记2个知识点1．函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果函数f(x)的定义域内______x都有______________________，那么函数f(x)是偶函数关于______对称奇函数如果函数f(x)的定义域内______x都有______________________，那么函数f(x)是奇函数关于______对称2.函数的周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝________，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中______________的正数，那么这个________就叫做f(x)的最小正周期．二、必明3个常用结论1．函数奇偶性常用结论(1)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|).(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．(3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．2．函数周期性常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)．(2)若f(x＋a)＝1fx，则T＝2a((3)若f(x＋a)＝－1fx，则T＝2a(3．函数对称性常用结论(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．(2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．(3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b，0)中心对称．三、必练4类基础题(一)判断正误1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)“a＋b＝0”是“函数f(x)在区间[a，b](a≠b)上具有奇偶性”的必要条件．()(2)若函数f(x)是奇函数，则必有f(0)＝0.()(3)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．()(4)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b，0)中心对称．()(5)已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，若在(－∞，0)上是减函数，则在(0，＋∞)上是增函数．()(6)若T为y＝f(x)的一周期，那么nT(n∈Z)是函数f(x)的周期．()(二)教材改编2．[必修1·P36练习T1改编]下列函数为偶函数的是()A．f(x)＝x－1B．f(x)＝x2＋xC．f(x)＝2x－2－xD．f(x)＝2x＋2－x3．[必修1·P45复习题B组T4改编]设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[－1，1)时，f(x)＝−4x2+2，−1≤x<0，x，0≤x<1，(三)易错易混4．(不化简函数解析式出错)函数f(x)＝lg1−x2x+3−3是________函数．(填“奇”或“偶”5．(找不到函数的周期从而求不出结果)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝－fx+12，且f(12)＝3，则(四)走进高考6．[2021·全国乙卷理]设函数f(x)＝1−x1+xA．f(x－1)－1B．f(x－1)＋1C．f(x＋1)－1D．f(x＋1)＋1提升关键能力——考点突破掌握类题通法考点一函数奇偶性的判断[基础性][例1]判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝9−x(2)f(x)＝(x＋1)1−x1+x(3)f(x)＝4−x(4)f(x)＝−听课笔记：反思感悟判定函数奇偶性的两种常用方法(1)定义法(2)图象法[注意]对函数奇偶性的判断，不能用特殊值法，如存在x0使f(－x0)＝－f(x0)，不能判断函数f(x)是奇函数．考点二函数奇偶性的应用[综合性、应用性][例2](1)[2019·全国Ⅱ卷]已知f(x)是奇函数，且当x<0时，f(x)＝－eax，若f(ln2)＝8，则a＝________．(2)设奇函数f(x)的定义域为[－5，5]，若当x∈[0，5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)<0的解集是________．听课笔记：反思感悟函数奇偶性的应用(1)求函数值：将待求值利用奇偶性转化为求已知解析式的区间上的函数值．(2)求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知解析式的区间上，再利用奇偶性的定义求出．(3)求解析式中的参数：利用待定系数法求解，根据f(x)±f(－x)＝0得到关于参数的恒等式，由系数的对等性或等式恒成立的条件得方程(组)，进而得出参数的值．(4)画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在另一对称区间上的图象．(5)求特殊值：利用奇函数的最大值与最小值之和为零可求一些特殊结构的函数值．[注意]对于定义域为I的奇函数f(x)，若0∈I，则f(0)＝0.【对点训练】1．[2022·武汉质检]下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是()A．y＝xsinxB．y＝xlnxC．y＝ex−1ex+1D．y＝x2．已知f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋m，则f(－3)＝________．3．[2022·贵阳市第一学期监测考试]函数f(x)＝(x－1)2可以表示为奇函数h(x)与偶函数g(x)的和，则g(1)等于()A．－2B．0C．1D．2考点三函数的周期性及其应用[综合性][例3](1)[2022·重庆质检]已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，对任意的实数x，f(x－2)＝f(x＋2)，当x∈(0，2)时，f(x)＝x2，则f132A．－94B．－14C．1(2)已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x)．若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝()A．－50B．0C．2D．50(3)已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0，6]上与x轴的交点个数为________．听课笔记：反思感悟求函数周期的方法方法解读适合题型定义法具体步骤为：对于函数y＝f(x)，如果能够找到一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么T就是函数y＝f(x)的周期非零常数T容易确定的函数递推法采用递推的思路进行，再结合定义确定周期．如：若f(x＋a)＝－f(x)，则f(x＋2a)＝f[(x＋a)＋a]＝－f(x＋a)＝f(x)，所以2a为f(x)的一个周期含有f(x＋a)与f(x)的关系式换元法通过换元思路将表达式化简为定义式的结构，如：若f(x＋a)＝f(x－a)，令x－a＝t，则x＝t＋a，则f(t＋2a)＝f(t＋a＋a)＝f(t＋a－a)＝f(t)，所以2a为f(x)的一个周期f(bx±a)＝f(bx±c)型关系式【对点训练】1．已知函数f(x)的定义域为R，且满足f(x＋y)＋f(x－y)＝2f(x)f(y)，且f(12)＝22，f(0)≠0，则A．2021B．1C．0D．－12．已知函数f(x)的定义域为R，f(x＋2)为偶函数，f(2x＋1)为奇函数，则()A．f−12＝0B．C．f(2)＝0D．f(4)＝0考点四函数性质的综合运用[综合性]角度1函数的单调性与奇偶性[例4](1)已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)＝xf(x)．若a＝g(－log25.1)，b＝g(20.8)，c＝g(3)，则a，b，c的大小关系为()A．a<b<cB．c<b<aC．b<a<cD．b<c<a(2)[2020·新高考Ⅰ卷]若定义在R的奇函数f(x)在(－∞，0)单调递减，且f(2)＝0，则满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是()A．[－1，1]∪B．[－3，－1]∪C．[－1，0]∪D．[－1，0]∪听课笔记：反思感悟1．比较函数值的大小问题，可以利用奇偶性，把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上，再利用函数的单调性比较大小；2．对于抽象函数不等式的求解，应变形为f(x1)>f(x2)的形式，再结合单调性，脱去“f”变成常规不等式，转化为x1<x2(或x1>x2)求解.角度2函数的奇偶性与周期性[例5](1)[2022·贵阳调研]定义在R上的奇函数f(x)满足f(2－x)＝f(x)，且当－1≤x<0时，f(x)＝2x－1，则f(log220)＝()A．14B．15C．－1(2)已知f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数，若f(1)<1，f(5)＝2a−3a+1，则实数aA．(－1，4)B．(－2，0)C．(－1，0)D．(－1，2)听课笔记：反思感悟周期性与奇偶性结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行转换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．角度3函数的奇偶性与对称性相结合[例6]已知定义在R上的函数f(x)，对任意实数x有f(x＋4)＝－f(x)，若函数f(x－1)的图象关于直线x＝1对称，f(－5)＝2，则f(2021)＝________．听课笔记：反思感悟函数f(x)满足的关系f(a＋x)＝f(b－x)表明的是函数图象的对称性，函数f(x)满足的关系f(a＋x)＝f(b＋x)(a≠b)表明的是函数的周期性，在使用这两个关系时不要混淆．【对点训练】1．[2022·佛山调研]已知函数f(x)＝log21x+1+1xA．110，10C．(1，10)D．12．已知f(x)是定义域为R的奇函数，且函数f(x＋2)为偶函数，则下列结论不正确的是()A．函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称B．f(4)＝0C．f(x＋8)＝f(x)D．若f(－5)＝－1，则f(2019)＝－1微专题❻函数性质中“三个二级”结论的应用数学抽象函数的单调性、奇偶性、周期性与对称性，在高考中常常将它们综合在一起命题，解题时，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题．结论1抽象函数的对称性已知函数f(x)是定义在R上的函数．(1)若f(a＋x)＝f(b－x)恒成立，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a+b2对称，特别地，若f(a＋x)＝f(a－x)恒成立，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a(2)若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＋f(a－x)＝0，即f(x)＝－f(2a－x)，则f(x)的图象关于点(a，0)对称．[例1]定义在R上的函数f(x)满足：①对任意x∈R有f(x＋4)＝f(x)；②f(x)在[0，2]上是增函数；③f(1＋x)＝f(3－x)，则下列结论正确的是()A．f(7)<f(6.5)<f(4.5)B．f(7)<f(4.5)<f(6.5)C．f(4.5)<f(6.5)<f(7)D．f(4.5)<f(7)<f(6.5)解析：由①知函数f(x)的周期为4，由f(1＋x)＝f(3－x)，知函数f(x)图象关于直线x＝2对称，由②知函数f(x)在[0，2]上单调递增，则在[2，4]上单调递减，且在[0，4]上越靠近x＝2，对应的函数值越大，又f(7)＝f(3)，f(6.5)＝f(2.5)，f(4.5)＝f(0.5)，由以上分析可得f(0.5)<f(3)<f(2.5)，即f(4.5)<f(7)<f(6.5).答案：D结论2奇函数的最值性质已知函数f(x)是定义在区间D上的奇函数，则对任意的x∈D，都有f(x)＋f(－x)＝0.特别地，若奇函数f(x)在D上有最值，则fxmax+fxmin＝0，且若0[例2]设函数f(x)＝x+12+sinxx2+1的最大值为M解析：显然函数f(x)的定义域为R，f(x)＝x+12+sin设g(x)＝2x+sinxx2+1，则g(－x∴g(x)为奇函数，由奇函数图象的对称性知g(x)max＋g(x)min＝0，∴M＋m＝[g(x)＋1]max＋[g(x)＋1]min＝2＋g(x)max＋g(x)min＝2.答案：2结论3抽象函数的周期性(1)如果f(x＋a)＝－f(x)(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T＝2a.(2)如果f(x＋a)＝1fx(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T＝2(3)如果f(x＋a)＋f(x)＝c(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T＝2a.[例3][2022·江西鹰潭模拟]偶函数f(x)的图象关于点(1，0)对称，当－1≤x≤0时，f(x)＝−x2＋1，则A．2B．0C．－1D．1解析：∵f(x)为偶函数，∴f(x)的图象关于直线x＝0对称，f(x)＝f(－x)．又f(x)的图象关于点(1，0)对称，∴f(x)＝－f(2－x)，即f(x)＝－f(x－2)．∴f(x)的周期为4.∴f(2020)＝f(2020－4×505)＝f(0)，又当－1≤x≤0时，f(x)＝－x2＋1，∴f(2020)＝f(0)＝1.答案：D第三节函数的奇偶性与周期性积累必备知识一、1．任意一个f(－x)＝f(x)y轴任意一个f(－x)＝－f(x)原点2．f(x)存在一个最小最小正数三、1．答案：(1)√(2)×(3)√(4)√(5)√(6)×2．解析：D中，f(－x)＝2－x＋2x＝f(x)，所以f(x)为偶函数，其余A，B，C选项均不满足f(－x)＝f(x)．答案：D3．解析：f32＝f−12＝－4答案：14．解析：由1−x2>0，x+3−3≠0，得－1<x<1且x≠0，所以函数f(x)的定义域为(－1，0)∪0，1，因为f(－x)＝lg1−x2−x＝－f(x)，所以答案：奇5．解析：因为f(x)＝－fx+12，所以f(x＋1)＝fx+12+12＝－fx+12＝f(x)，所以f(x)是以1为周期的周期函数，所以f答案：36．解析：方法1：f(x)＝－1＋2x+1，其图象的对称中心为(－1，－1)，将y＝f(x)的图象沿x轴向右平移1个单位，再沿y轴向上平移1个单位可得函数f(x－1)＋1的图象，关于(0，0)对称，所以函数f(x方法2：选项A，f(x－1)－1＝2x－2，此函数为非奇非偶函数；选项B，f(x－1)＋1＝2x，此函数为奇函数；选项C，f(x＋1)－1＝−2x−2x+2，此函数为非奇非偶函数；选项D，f(x答案：B提升关键能力考点一例1解析：(1)由9−x2≥∴f(x)的定义域为{－3，3}，此时f(x)＝0.又f(3)＋f(－3)＝0，f(3)－f(－3)＝0.即f(x)＝±f(－x)．∴f(x)既是奇函数，又是偶函数．(2)由1−x1+x≥0，1+x≠0∵f(x)的定义域为(－1，1]不关于原点对称．∴f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．解析：(3)由4−x2≥0，x+3−3≠0得－2≤∴f(x)的定义域为[－2，0)∪0，2，关于原点对称．此时，有f(x)＝∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．(4)当x>0时，f(x)＝－x2＋2x＋1，－x<0，f(－x)＝(－x)2＋2(－x)－1＝x2－2x－1＝－f(x)；当x<0时，f(x)＝x2＋2x－1，－x>0，f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＋1＝－x2－2x＋1＝－f(x)．所以f(x)为奇函数．考点二例2解析：(1)由题意得，当x>0，－x<0时，f(x)＝－f(－x)＝－(－e－ax)＝e－ax，所以f(ln2)＝e－aln2＝eln2−a＝2－a＝8＝23，即2－a＝23(2)由图象知，当0<x<2时，f(x)>0；当2<x≤5时，f(x)<0，又f(x)是奇函数，∴当－2<x<0时，f(x)<0，当－5≤x<－2时，f(x)>0.综上，f(x)<0的解集为(－2，0)∪答案：(1)－3(2)(－2，0)∪对点训练1．解析：A中，y＝xsinx为偶函数，D中，y＝xln(x2+1－x)是偶函数．B中，函数y＝xlnx的定义域为(0，＋∞)，非奇非偶函数．C中，f(－x)＝e−x−1e−x+1＝1−ex答案：B2．解析：因为f(x)为R上的奇函数，所以f(0)＝0，即f(0)＝20＋m＝0，解得m＝－1，故f(x)＝2x－1(x≥0)，则f(－3)＝－f(3)＝－(23－1)＝－7.答案：－73．解析：由已知得f(x)＝(x－1)2＝x2－2x＋1＝h(x)＋g(x)，∵h(x)是奇函数，g(x)是偶函数，∴g(x)＝x2＋1，h(x)＝－2x，∴g(1)＝12＋1＝2.答案：D考点三例3解析：(1)由f(x－2)＝f(x＋2)知y＝f(x)的周期T＝4，又f(x)是定义在R上的奇函数，∴f132＝f8−32＝f−32＝－(2)方法一∵f(x)在R上是奇函数，且f(1－x)＝f(1＋x)．∴f(x＋1)＝－f(x－1)，即f(x＋2)＝－f(x)．因此f(x＋4)＝f(x)，则函数f(x)是周期为4的函数，由于f(1－x)＝f(1＋x)，f(1)＝2，故令x＝1，得f(0)＝f(2)＝0，令x＝2，得f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－2，令x＝3，得f(4)＝f(－2)＝－f(2)＝0，故f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝2＋0－2＋0＝0，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12×0＋f(1)＋f(2)＝2.方法二由题意可设f(x)＝2sinπ2x，作出f(由图可知，f(x)的一个周期为4，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(49)＋f(50)＝12×0＋f(1)＋f(2)＝2.解析：(3)因为当0≤x<2时，f(x)＝x3－x.又f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且f(0)＝0，则f(6)＝f(4)＝f(2)＝f(0)＝0，又f(1)＝0，∴f(3)＝f(5)＝f(1)＝0，故函数y＝f(x)的图象在区间[0，6]上与x轴的交点有7个．答案：(1)A(2)C(3)7对点训练1．解析：令x＝y＝0，则f(0)＋f(0)＝2f(0)f(0)，故2f(0)(f(0)－1)＝0，故f(0)＝1，(f(0)＝0舍)令x＝y＝12，则f(1)＋f(0)＝2f(12)f(故f(1)＝0.∴f(x＋1)＋f(x－1)＝2f(x)f(1)＝0，即f(x＋1)＝－f(x－1)⇒f(x＋2)＝－f(x)⇒f(x＋4)＝f(x)，故f(x)的周期为4，即f(x)是周期函数．∴f(2021)＝f(1)＝0.答案：C2．解析：因为函数f(x＋2)为偶函数，则f(2＋x)＝f(2－x)，可得f(x＋3)＝f(1－x)，因为函数f(2x＋1)为奇函数，则f(1－2x)＝－f(2x＋1)，所以，f(1－x)＝－f(x＋1)，所以，f(x＋3)＝－f(x＋1)＝f(x－1)，即f(x)＝f(x＋4)，故函数f(x)是以4为周期的周期函数，因为函数F(x)＝f(2x＋1)为奇函数，则F(0)＝f(1)＝0，故f(－1)＝－f(1)＝0，其它三个选项未知．答案：B考点四例4解析：(1)易知g(x)＝xf(x)在R上为偶函数，∵奇函数f(x)在R上是增函数，且f(0)＝0.∴g(x)在(0，＋∞)上是增函数．又3>log25.1>2>20.8，且a＝g(－log25.1)＝g(log25.1)，∴g(3)>g(log25.1)>g(20.8)，则c>a>b.(2)因为函数f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0.又f(x)在(－∞，0)单调递减，且f(2)＝0，画出函数f(x)的大致图象如图(1)所示，则函数f(x－1)的大致图象如图(2)所示．当x≤0时，要满足xf(x－1)≥0，则f(x－1)≤0，得－1≤x≤0.当x>0时，要满足xf(x－1)≥0，则f(x－1)≥0，得1≤x≤3.故满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是[－1，0]∪答案：(1)C(2)D例5解析：(1)依题意，知f(2＋x)＝f(－x)＝－f(x)，则f(4＋x)＝f(x)，所以f(x)是周期函数，且周期为4.又2<log25<3，则－1<2－log25<0，所以f(log220)＝f(2＋log25)＝f(log25－2)＝－f(2－log25)＝－(22－log25－1)＝－(2)因为f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数．∴f(5)＝f(－1)＝f(1)<1.从而2a−3a+1<1，解得－1<a答案：(1)B(2)A例6解析：由函数y＝f(x－1)的图象关于直线x＝1对称可知，函数f(x)的图象关于y轴对称，故f(x)为偶函数．由f(x＋4)＝－f(x)，得f(x＋4＋4)＝－f(x＋4)＝f(x)，所以f(x)是周期T＝8的偶函数，所以f(2021)＝f(5＋252×8)＝f(5)＝f(－5)＝2.答案：2对点训练1．解析：∵f(x)的定义域为{x|x∈R，且x≠0}，且f(－x)＝f(x)，则y＝f(x)是偶函数，易知f(x)在(0，＋∞)上是单调递减函数，f(1)＝log22＋4＝3，所以不等式f(lgx)>3可化为0<|lgx|<1，即－1<lgx<1，且lgx≠0，解得110<x<10，且x≠所以所求不等式的解集为1答案：D2．解析：根据题意，f(x)是定义域为R的奇函数，则f(－x)＝－f(x)，又由函数f(x＋2)为偶函数，则函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，则有f(－x)＝f(4＋x)，则有f(x＋4)＝－f(x)，即f(x＋8)＝－f(x＋4)＝f(x)，则函数f(x)是周期为8的周期函数；据此分析选项：对于A，函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，A错误；对于B，f(x)是定义域为R的奇函数，则f(0)＝0，又由函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，则f(4)＝0，B正确；对于C，函数f(x)是周期为8的周期函数，即f(x＋8)＝f(x)，C正确；对于D，若f(－5)＝－1，则f(2019)＝f(－5＋2024)＝f(－5)＝－1，D正确．答案：A

第四节二次函数与幂函数·最新考纲·1．了解幂函数的概念．2．结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝1x，y＝x3．理解二次函数的图象和性质．4．能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题．·考向预测·考情分析：幂函数一般不单独命题，常与指数、对数函数交汇命题；二次函数的图象与应用仍是高考考查的热点，题型多以选择题、填空题为主，属中档题．学科素养：通过二次函数与幂函数的图象及性质考查直观想象、数学运算的核心素养．积累必备知识——基础落实赢得良好开端一、必记2个知识点1．幂函数(1)幂函数的定义一般地，函数________叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．(2)幂函数的性质①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减．2．二次函数(1)二次函数解析式的三种形式一般式：f(x)＝____________．顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为________．零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点．(2)二次函数的图象和性质函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)y＝ax2＋bx＋c(a<0)图象(抛物线)定义域______值域4ac−−∞，对称轴x＝________顶点坐标________奇偶性当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数单调性在−∞，−b在−b在−∞，−b在−b二、必明3个常用结论1．二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关．2．若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则当a>0，Δ<0时，恒有f(x)>0；当a<0，Δ<0时，恒有f(3．(1)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限；(2)幂函数的图象过定点(1，1)，如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．三、必练4类基础题(一)判断正误1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)函数y＝2x(2)当n>0时，幂函数y＝xn在(0，＋∞)上是增函数．()(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈R)不可能是偶函数．()(4)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．()(5)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈[a，b]的最值一定是4ac−b(二)教材改编2．[必修1·P79习题T1改编]已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点(12，22)，则k＋A．12C．323．[必修1·P44习题A组T9改编]已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，若y＝f(x)在区间[－4，6]上是单调函数，则实数a的取值范围为________．(三)易错易混4．(忽视二次项系数的讨论)已知函数f(x)＝ax2＋ax＋5的图象在x轴上方，则a的取值范围是()A．(0，20)B．[0，20)C．[0，20]D．[20，＋∞)5．(忽视函数的定义域)若a+112<(四)走进高考6．[2020·江苏卷]已知y＝f(x)是奇函数，当x≥0时，f(x)＝x23，则提升关键能力——考点突破掌握类题通法考点一幂函数的图象和性质[基础性]1．若幂函数y＝f(x)的图象过点(4，2)，则幂函数y＝f(x)的大致图象是()2．[2022·巴蜀中学调研]已知点(m，8)在幂函数f(x)＝(m－1)xn的图象上，设a＝f(13)，b＝f(lnπ)，c＝f(2−12)，则aA．a<c<bB．a<b<cC．b<c<aD．b<a<c3．[2022·长沙质检]幂函数f(x)＝(m2－3m＋3)xm的图象关于y轴对称，则实数m＝________．反思感悟幂函数的指数与图象特征的关系(1)幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式．(2)若幂函数y＝xα(α∈R)是偶函数，则α必为偶数，当α是分数时，一般将其先化为根式再判断．(3)若幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递增，则α>0，若在(0，＋∞)上单调递减，则α<0.[提醒]在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较．考点二二次函数的解析式[综合性][例1]已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定该二次函数的解析式．听课笔记：反思感悟求二次函数解析式的方法根据已知条件确定二次函数解析式，一般用待定系数法，规律如下：【对点训练】1．若二次函数的图象过点(4，－3)，且当x＝3时，二次函数取得最大值－1，则该函数的解析式为________．2．若二次函数的图象与x轴的交点坐标分别为(1，0)，(3，0)，且过点(0，3)，则该二次函数的解析式是________．考点三二次函数的图象和性质[综合性]角度1二次函数的图象[例2](1)如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A(－3，0)，对称轴为直线x＝－1.给出下面四个结论：①b2>4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a<b.其中正确的结论是()A．②④B．①④C．②③D．①③(2)设函数f(x)＝x2＋x＋a(a>0)，若f(m)<0，则()A．f(m＋1)≥0B．f(m＋1)≤0C．f(m＋1)>0D．f(m＋1)<0听课笔记：反思感悟(1)研究二次函数图象应从“三点一线一开口”进行分析，“三点”中有一个点是顶点，另两个点是图象上关于对称轴对称的两个点，常取与x轴的交点；“一线”是指对称轴这条直线