2023版高考数学一轮复习讲义：第五章平面向量

成套的课件成套的教案成套的试题尽在高中数学同步资源大全QQ群483122854联系QQ309000116加入百度网盘群2500G一线老师必备资料一键转存，自动更新，一劳永逸第一节平面向量的概念及线性运算·最新考纲·1．了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和两个向量相等的含义，理解向量的几何表示．2．掌握向量加、减法运算．理解其几何意义．3．掌握向量数乘运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义，了解向量线性运算的性质及其几何意义．·考向预测·考情分析：平面向量的相关概念，平面向量的线性运算，共线向量定理及其应用仍是高考考查的热点，题型仍将是选择题与填空题．学科素养：通过向量的线性运算考查数学运算及直观想象的核心素养．积累必备知识——基础落实赢得良好开端一、必记4个知识点1．向量的有关概念名称定义备注向量既有____________又有________的量；向量的大小叫做向量的______(或________)平面向量是自由向量零向量长度为________的向量；其方向是任意的记作________单位向量长度等于________的向量非零向量a的单位向量为±a平行向量方向__________或________的非零向量0与任一向量________或共线共线向量________________的向量又叫做共线向量相等向量长度__________且方向________的向量相反向量长度__________且方向________的向量0的相反向量为02.向量的表示方法(1)字母表示法：如a，AB等．(2)几何表示法：用一条____________表示向量．3．向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算____________法则____________法则(1)交换律：a＋b＝____________．(2)结合律：(a＋b)＋c＝____________．减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差____________法则a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)|λa|＝________．(2)当λ＞0时，λa与a的方向________；当λ＜0时，λa与a的方向________；当λ＝0时，λa＝________λ(μa)＝______________；(λ＋μ)a＝________________；λ(a＋b)＝________________．4.共线向量定理向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使________．二、必明2个常用结论1．三点共线的等价转化A，P，B三点共线⇔AP＝λAB(λ≠0)⇔OP＝(1－t)·OA＋tOB(O为平面内异于A，P，B的任一点，t∈R)⇔OP＝xOA＋yOB(O为平面内异于A，P，B的任一点，x∈R，y∈R，x＋y＝1)．2．向量的中线公式若P为线段AB的中点，O为平面内一点，则OP＝12三、必练4类基础题(一)判断正误1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)向量就是有向线段．()(2)零向量没有方向．()(3)若向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反．()(4)两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同．()(5)若向量AB与向量CD是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上．()(二)教材改编2.[必修4·P86例4改编]如图，▱ABCD的对角线交于M，若AB＝a，AD＝b，用a，b表示MD为()A．12a＋12bB．12aC．－12a－12bD．－12a3．[必修4·P87练习T2改编]化简：(1)(AB+MB)＋(2)NQ+(三)易错易混4．(对向量相等隐含条件认识不清)若四边形ABCD满足AD∥BC且|AB|＝|DC|，则四边形ABCD的形状是________．5．(两向量的方向关系不清)已知|a|＝2，|b|＝5，则|a＋b|的取值范围是________．(四)走进高考6．[2020·海南卷]若D为△ABC的边AB的中点，则CB＝()A．2CD−CAC．2CD+CA提升关键能力——考点突破掌握类题通法考点一平面向量的基本概念[基础性]1．设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论正确的是()A．a与－λa的方向相反B．|－λa|≥|a|C．a与λ2a的方向相同D．|－λa|＝|λ|a2．给出下列命题：①零向量是唯一没有方向的向量；②零向量的长度等于0；③若a，b都为非零向量，则使aa+bb＝0成立的条件是其中错误命题的个数为()A．0B．1C．2D．33．给出下列命题：①若a与b共线，b与c共线，则a与c也共线；②若A，B，C，D是不共线的四点，则AB＝DC，则四边形ABCD为平行四边形；③a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b；④已知λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．其中真命题的序号是________．反思感悟向量有关概念的四个关注点(1)平行向量就是共线向量，二者是等价的；非零向量的平行具有传递性；相等向量一定是平行向量，而平行向量未必是相等向量；相等向量具有传递性．(2)向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能，但向量的模是非负实数，可以比较大小．(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的平移混为一谈．(4)非零向量a与aa的关系：aa是与考点二平面向量的线性运算[综合性]角度1平面向量的加、减运算的几何意义[例1]设非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则()A．a⊥bB．|a|＝|b|C．a∥bD．|a|＞|b|听课笔记：角度2向量的线性运算[例2](1)[2022·重庆诊断]如图，AB是圆O的一条直径，C，D为半圆弧的两个三等分点，则AB＝()A．AC−ADB．2ACC．AD−ACD．2AD－(2)[2022·北京海淀区模拟]如图，在等腰梯形ABCD中，DC＝12AB，BC＝CD＝DA，DE⊥AC于点E，则DEA．12ABC．12AB听课笔记：角度3利用向量的线性运算求参数[例3](1)[2022·广东韶关一模]在△ABC中，点M为AC上的点，且AM＝12MC，若BM＝λBA＋μBC，则λ－A．1B．12C．13(2)[2022·河南八市联考改编]在等腰梯形ABCD中，AB＝2DC，点E是线段BC的中点，若AE＝λAB＋μAD，则λ＋μ＝________．听课笔记：反思感悟平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略(1)向量加法或减法的几何意义．向量加法和减法均适合三角形法则．(2)求已知向量的和或差．共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则．(3)求参数问题可以通过研究向量间的关系，通过向量的运算将向量表示出来，与含参数的表达式进行比较，求出参数的值.【对点训练】1．[2022·河北衡水中学月考]设D为△ABC所在平面内一点，且BC＝3CD，则()A．AD＝－1B．AD＝1C．AD＝4D．AD＝42．在△ABC中，D为线段AB上一点且BD＝3AD，若CD＝λCA＋μCB，则λμA．13B．3C．1考点三共线定理及其应用[应用性][例4]设两个非零向量a和b不共线．(1)若AB＝a＋b，BC＝2a＋8b，CD＝3(a－b)．求证：A，B，D三点共线；(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．听课笔记：一题多变1．(变条件，变问题)若将例4(1)中“BC＝2a＋8b”改为“BC＝a＋mb”，则当m为何值时，A，B，D三点共线？2．(变条件)若将例4(2)中的“共线”改为“反向共线”，则k为何值？反思感悟共线向量定理的应用(1)证明向量共线：对于向量a，b，若存在实数λ，使a＝λb(b≠0)，则a与b共线．(2)证明三点共线：若存在实数λ，使得AB＝λAC，则A，B，C三点共线．(3)求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值．[提醒]证明三点共线时，要说明共线的两向量有公共点．【对点训练】1．在四边形ABCD中，AB＝a＋2b，BC＝－4a－b，CD＝－5a－3b，则四边形ABCD的形状是()A．矩形B．平行四边形C．梯形D．以上都不对2．[2022·天水市中学高三月考]已知两个非零向量a，b互相垂直，若向量m＝4a＋5b，n＝2a＋λb共线，则实数λ的值为()A．5B．3C．523．[2021·浙江高三期末]设e1，e2是不共线的向量，若AB＝e1＋λe2，CB＝e1＋e2，CD＝3e1－2e2，A，B，D三点共线，则λ的值为________．微专题21新定义下平面向量的交汇运算交汇创新[例]定义两个平面向量的一种运算a⊗b＝|a|·|b|sin〈a，b〉则关于平面向量上述运算的以下结论中，①a⊗b＝b⊗a；②λ(a⊗b)＝(λa)⊗b；③若a＝λb，则a⊗b＝0；④若a＝λb且λ＞0，则(a＋b)⊗c＝(a⊗c)＋(b⊗c)．正确的序号是________．解析：①恒成立；②λ(a⊗b)＝λ|a|·|b|sin〈a，b〉，(λa)⊗b＝|λa|·|b|sin〈a，b〉，当λ＜0时，λ(a⊗b)＝(λa)⊗b不成立；③a＝λb，则sin〈a，b〉＝0，故a⊗b＝0恒成立；④a＝λb，且λ＞0，则a＋b＝(1＋λ)b，(a＋b)⊗c＝|(1＋λ)||b|·|c|sin〈b，c〉，(a⊗c)＋(b⊗c)＝|λb|·|c|sin〈b，c〉＋|b|·|c|sin〈b，c〉＝|1＋λ||b|·|c|sin〈b，c〉，故(a＋b)⊗c＝(a⊗c)＋(b⊗c)恒成立．答案：①③④名师点评本例是新定义下平面向量的运算，解答本题关键是把此定义运算转化为我们所学的平面向量数量积运算，命题便可判断．[变式训练]定义平面向量的一种运算a⊙b＝|a＋b|×|a－b|×sin〈a，b〉，其中〈a，b〉是a与b的夹角，给出下列命题：①若〈a，b〉＝90°，则a⊙b＝a2＋b2；②若|a|＝|b|，则(a＋b)⊙(a－b)＝4a·b；③若|a|＝|b|，则a⊙b≤2|a|2；其中真命题的序号是________．第五章平面向量第一节平面向量的概念及线性运算积累必备知识一、1．大小方向模长度零01个单位长度相同相反方向相同或相反平行相等相同相等相反2．(2)有向线段3．三角形平行四边形b＋aa＋(b＋c)三角形|λ||a|相同相反0λμaλa＋μaλa＋λb4．b＝λa三、1．答案：(1)×(2)×(3)×(4)√(5)×2．解析：MD＝12BD＝12(AD−AB)＝12(b－答案：D3．解析：(1)原式＝AB+BO+(2)原式＝NP+答案：(1)AB(2)04．解析：当|AD|＝|BC|时，四边形ABCD是平行四边形；当|AD|≠|BC|时，四边形ABCD是等腰梯形．答案：等腰梯形或平行四边形5．解析：当a与b方向相同时，|a＋b|＝7；当a与b方向相反时，|a＋b|＝3；当a与b不共线时，3＜|a＋b|＜7.所以|a＋b|的取值范围为[3，7].答案：[3，7]6．解析：∵D为△ABC的边AB的中点，∴CD＝12(CA+CB)，答案：A提升关键能力考点一1．解析：当λ＜0时，a与－λa的方向相同，所以选项A错误；当|λ|＜1时，选项B不成立，所以选项B错误；因为λ是非零实数，所以λ2＞0，因此a与λ2a的方向相同，所以选项C正确；又因为|－λa|是一个实数，|λ|a是一个向量，所以选项D错误．答案：C2．解析：①错误，零向量是有方向的，其方向是任意的；②正确，由零向量的定义可知，零向量的长度为0；③正确，因为aa与bb都是单位向量，所以只有当aa与bb是相反向量，即答案：B3．解析：①错误，若b＝0，则a与c不一定共线．②正确，因为AB＝DC，所以|AB|＝|DC|且AB∥DC；又A，B，C，D是不共线的四点，所以四边形ABCD为平行四边形．③错误，当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，所以|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件．④错误，当λ＝μ＝0时，a与b可以为任意向量，满足λa＝μb，但a与b不一定共线．故填②.答案：②考点二例1解析：方法一利用向量加法的平行四边形法则．在▱ABCD中，设AB＝a，AD＝b，由|a＋b|＝|a－b|知，|AC|＝|DB|，从而四边形ABCD为矩形，即AB⊥AD，故a⊥b.方法二∵|a＋b|＝|a－b|，∴|a＋b|2＝|a－b|2.∴a2＋b2＋2a·b＝a2＋b2－2a·b.∴a·b＝0.∴a⊥b.答案：A例2解析：(1)连接CD，∵C，D是半圆弧的两个三等分点，∴CD∥AB且AB＝2CD.∴AB＝2CD＝2(AD−AC)＝2AD－2(2)∵CD＝DA，DE⊥AC，∴点E为AC的中点，∴DE＝12DA+1＝DC−12答案：(1)D(2)A例3解析：(1)由AM＝12MC，得AM＝13AC，所以BM＝BA+AM＝BA+13AC＝BA+13(BC−BA)＝23BA+13BC，又因为(2)取AB的中点F，连接CF，则由题意可得CF∥AD，且CF＝AD.因为AE＝AB+BE＝AB+12BC＝AB＋12(FC−FB)＝AB+12AD−12AB答案：(1)C(2)5对点训练1．解析：由题意得AD＝AC+CD＝AC+13BC答案：A2．解析：方法一依题意得：CD＝CB+BD＝CB+34BA＝CB+34(CA−CB)＝34方法二以CD为对角线作平行四边形CFDE，根据BD＝3AD，可知CD＝CE+CF＝34CA+14CB，所以λ＝34答案：B考点三例4解析：(1)证明：因为AB＝a＋b，BC＝2a＋8b，CD＝3(a－b)，所以BD＝BC+CD＝2a＋8b＋3(a－b)＝5(a＋b)＝5AB，所以AB，BD共线．又AB与BD有公共点B，所以A，B，(2)因为ka＋b与a＋kb共线，所以存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，即(k－λ)a＝(λk－1)b.又a，b是两个不共线的非零向量，所以k−λ=0，λk−1=0，所以k2－1＝0，即k＝±1.故当k一题多变1．解析：BD＝BC+CD＝(a＋mb)＋3(a－b)＝4a＋(m－3)b，若A，B，D三点共线，则存在实数λ，使BD＝λAB，即4a＋(m－3)b＝λ(a＋b)，所以4=λ，m−3=λ，解得m＝7.故当m＝7时，A，B2．解析：因为ka＋b与a＋kb反向共线，所以存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)(λ＜0)，所以k=λ，kλ=1，所以k＝±1.又因为λ＜0，k＝λ，所以k＝－1.故当k对点训练1．解析：由已知得，AD＝AB+BC+CD＝a＋2b－4a－b－5a－3b＝－8a－2b＝2(－4a－b)＝2BC，故AD∥BC.又因为AB与答案：C2．解析：因为a，b是非零向量，且互相垂直，所以m＝4a＋5b≠0，因为m，n共线，所以当且仅当有唯一一个实数μ，使n＝μm，即2a＋λb＝μ(4a＋5b)，所以(2－4μ)a＝(5μ－λ)b，又因为a，b不共线，所以2−4μ=05μ−λ=0⇒λ＝5答案：C3．解析：因为e1，e2是不共线的向量，所以e1，e2可以作为平面内一组基底，因为AB＝e1＋λe2，CB＝e1＋e2，CD＝3e1－2e2，所以DB＝CB−CD＝(e1＋e2)－(3e1－2e2)＝－2e1＋3e2，因为A，B，D三点共线，所以AB∥DB，所以－2λ＝1×3，解得λ＝－答案：－3微专题eq\o(○,\s\up1(21))新定义下平面向量的交汇运算变式训练解析：①中，因为〈a，b〉＝90°，则a⊙b＝|a＋b|×|a－b|＝a2＋b2，所以①成立；②中，因为|a|＝|b|，所以〈(a＋b)，(a－b)〉＝90°，所以(a＋b)⊙(a－b)＝|2a|×|2b|＝4|a||b|，所以②不成立；③中，因为|a|＝|b|，所以a⊙b＝|a＋b|×|a－b|×sin〈a，b〉≤|a＋b|×|a－b|≤a+b2+a答案：①③

第二节平面向量基本定理及坐标表示·最新考纲·1．了解平面向量的基本定理及其意义．2．掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．3．会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算．4．理解用坐标表示的平面向量共线的条件．·考向预测·考情分析：平面向量基本定理及其应用，平面向量的坐标运算，向量共线的坐标表示及其应用仍是高考考查的热点，题型仍将是选择题与填空题．学科素养：通过平面向量基本定理的应用考查数学运算的核心素养．积累必备知识——基础落实赢得良好开端一、必记4个知识点1．平面向量的基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个____________向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝____________．2．平面向量的坐标表示在直角坐标系内，分别取与________的两个单位向量i，j作为基底，对任一个向量a，有唯一一对实数x，y使得：a＝xi＋yj，________叫做向量a的直角坐标，记作a＝(x，y)，显然i＝________，j＝________，0＝________．3．平面向量的坐标运算(1)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝________，a－b＝________，λa＝________．(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝________，|AB|＝________．4．平面向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b⇔a＝λb(λ∈R)⇔________．二、必明2个常用结论1．向量共线的充要条件的两种形式(1)a∥b⇔b＝λa(a≠0，λ∈R)；(2)a∥b⇔x1y2－x2y1＝0(其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2))．2．已知△ABC的顶点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则△ABC的重心G的坐标为(x1三、必练4类基础题(一)判断正误1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)在△ABC中，AB，(2)在△ABC中，设AB＝a，BC＝b，则向量a与b的夹角为∠ABC.()(3)平面向量不论经过怎样的平移变换之后，其坐标不变．()(4)若a，b不共线，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，且μ1＝μ2.()(5)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件可以表示成x1x2(二)教材改编2．[必修4·P101习题T5改编]已知向量a＝(4，2)，b＝(x，3)，且a∥b，则x的值是()A．－6B．6C．9D．123．[必修4·P101练习T6改编]设P是线段P1P2上的一点，若P1(1，3)，P2(4，0)且P是线段P1P2的一个三等分点(靠近点P1)，则点P的坐标为()A．(2，2)B．(3，－1)C．(2，2)或(3，－1)D．(2，2)或(3，1)(三)易错易混4．(忽视共线的两种情况)已知点A(－1，3)，B(2，－1)，则与向量AB共线的单位向量是________．5．(向量共线的坐标公式掌握不牢)已知点A(1，1)，B(4，2)和向量a＝(2，λ)，若a∥AB，则实数λ＝________；若a＝μAB，则μ＝________．(四)走进高考6．[全国卷Ⅰ]在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB＝()A．34ABC．34AB提升关键能力——考点突破掌握类题通法考点一平面向量基本定理及其应用[基础性][例1](1)[2022·天水市高三月考]如图所示，在△ABC中，CB＝3CD，AD＝2AE，若AB＝a，AC＝b，则A．16a－13bB．16aC．13a－13bD．16a(2)[2022·甘肃兰州高三月考]如图，在△ABC中，AD＝13DC，P是线段BD上一点，若AP＝mAB+1A．13B．23听课笔记：反思感悟平面向量基本定理的实质及解题思路(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.【对点训练】1．[2022·福州市质量检测]在△ABC中，E为AB边的中点，D为AC边上的点，BD，CE交于点F.若AF＝37AB+1A．2B．3C．4D．52．已知在△ABC中，点O满足OA+OB+OC＝0，点P是OC上异于端点的任意一点，且OP＝mOA＋nOB，则考点二平面向量的坐标运算[基础性]1．已知AB＝(1，－1)，C(0，1)，若CD＝2AB，则点D的坐标为()A．(－2，3)B．(2，－3)C．(－2，1)D．(2，－1)2．已知a＝(5，－2)，b＝(－4，－3)，若a－2b＋3c＝0，则c的坐标为()A．1，83C．133，3．已知平行四边形ABCD中，AD＝(3，7)，AB＝(－2，3)，对角线AC与BD交于点O，则CO的坐标为()A．−12C．12，−5反思感悟求解向量坐标运算问题的一般思路(1)向量问题坐标化：向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来，通过建立平面直角坐标系，使几何问题转化为数量运算．(2)巧借方程思想求坐标：向量的坐标运算主要是利用加法、减法、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，求解过程中要注意方程思想的运用．(3)妙用待定系数法求系数：利用坐标运算求向量的基底表示，一般先求出基底向量和被表示向量的坐标，再用待定系数法求出系数.考点三平面向量共线的坐标表示[综合性]角度1利用向量共线求向量或点的坐标[例2]已知梯形ABCD中，其中AB∥CD，且DC＝2AB，三个顶点A(1，2)，B(2，1)，C(4，2)，则D点坐标为________．听课笔记：反思感悟利用两向量共线的条件求向量坐标，一般地，在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)，然后结合其他条件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入λa，即可得到所求向量.角度2利用向量共线求参数[例3](1)[2022·海南昌茂高三月考]已知向量a＝(x＋2，3)，b＝(x，1)，且a∥b，则x的值是()A．－1B．0C．2D．1(2)已知向量OA＝(k，12)，OB＝(4，5)，OC＝(－k，10)，且A、B、C三点共线，则k＝________．听课笔记：反思感悟平面向量共线的坐标表示问题的解题策略(1)利用两向量共线求参数．如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2＝x2y1”解题比较方便．(2)利用两向量共线的条件求向量坐标．一般地，在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)，然后结合其他条件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量．(3)三点共线问题．A，B，C三点共线等价于AB与AC共线．【对点训练】1．[2022·云南昆明市一中月考]在△ABC中，已知AB＝(2，8)，AC＝(－3，2)，若BM＝MC，则AM的坐标为________．2．[2022·广东广州高三月考]已知向量m＝(2，－3)，n＝1，12−b，若m∥n微专题22巧借坐标系——提升运算能力思想方法[例]如图，在边长为4的正方形ABCD中，动圆Q的半径为1，圆心Q在线段BC(含端点)上运动，P是圆Q上及内部的动点，设向量AP＝mAB＋nAD(m，n为实数)，则m＋n的取值范围是()A．1−24C．34，94解析：如图建立平面直角坐标系，则AB＝(4，0)，AD＝(0，4)，AP＝mAB＋nAD＝(4m，4n)，设Q(4，t)，t∈[0，4]，则P在圆(x－4)2＋(y－t)2＝1上，设P(4＋cosθ，t＋sinθ)，则4+cosθ=4m，t+sinθ=4n，4m＋4n＝4＋t＋2sinθ+π4，当t＝0，θ＝5π4时，m＋n取得最小值1－24，当t＝4，θ＝π4时，m答案：A名师点评巧建系妙解题，常见的建系方法(1)利用图形中现成的垂直关系若图形中有明显互相垂直且相交于一点的两条直线(如矩形、直角梯形等)，可以利用这两条直线建立坐标系；(2)利用图形中的对称关系图形中虽没有明显互相垂直交于一点的两条直线，但有一定对称关系(如等腰三角形，等腰梯形等)，可利用自身对称性建系．建立平面直角坐标系的基本原则是尽可能地使顶点在坐标轴上，或在同一象限．[变式训练]给定两个长度为1的平面向量OA和OB，它们的夹角为2π3.如图所示，点C在以O为圆心的AB上运动．若OC＝xOA＋yOB，其中x，y∈R，问x＋y第二节平面向量基本定理及坐标表示积累必备知识一、1．不共线λ1e1＋λ2e22．x轴、y轴正方向相同(x，y)(1，0)(0，1)(0，0)3．(x1＋x2，y1＋y2)(x1－x2，y1－y2)(λx1，λy1)(x2－x1，y2－y1)x4．x1y2－x2y1＝0三、1．答案：(1)√(2)×(3)√(4)√(5)×2．解析：因为a∥b，所以4×3－2x＝0，所以x＝6.答案：B3．解析：由已知得，P1P＝13P1P2，P1P2＝(3，－3)．设P(x，答案：A4．解析：AB＝(3，－4)，|AB|＝32+−42＝5，所以与AB共线的单位向量是答案：35，−5．解析：由题意得AB＝(3，1)，因为a∥AB，所以3λ－2＝0， 解得λ＝23由a＝μAB，得(2，λ)＝(3μ，μ)，所以3μ=2，μ=λ，故μ＝2答案：26．解析：作出示意图如图所示．EB＝ED+DB＝12×1＝34故选A.答案：A提升关键能力考点一例1解析：(1)因为CB＝3CD，AD所以CE＝12(CA+CD)＝－12b＋12×13CB＝－(2)设BP＝λBD，因为AD＝13DC，所以AD＝则AP＝AB+BP＝AB＋λBD＝AB＋λ(BA+AD)＝(1－λ)又因为AP＝mAB+16AC，所以1−λ=m14λ=16答案：(1)B(2)A对点训练1．解析：方法一如图，设AC＝λAD，所以AF＝37AB+17AC＝37AB+λ7AD，因为方法二设BF＝λBD，AD＝μAC，则BF＝λ(AD−AB)＝－λAB＋λμAC，所以AF＝AB+BF＝(1－λ又AF＝37AB+17AC，所以1−λ=3答案：C2．解析：依题意，设OP＝λOC(0＜λ＜1)，由OA+OB+OC＝0，知OC所以OP＝－λOA－λOB.由平面向量基本定理可知，m＋n＝－2λ，所以m＋n∈(－2，0)．答案：(－2，0)考点二1．解析：设D(x，y)，则CD＝(x，y－1)，2AB＝(2，－2)，根据CD＝2AB，得(x，y－1)＝(2，－2)，即x=2，y−1=−2，解得x=2，答案：D2．解析：设c＝(x，y)．因为a－2b＋3c＝0，所以(5，－2)－2(－4，－3)＋3(x，y)＝(0，0)，即(5＋8＋3x，－2＋6＋3y)＝(0，0)所以13+3x=0，4+3y=0，解得x=−133，y=−答案：D3．解析：因为AC＝AB+AD＝(－2，3)＋(3，7)＝(1，10)，所以OC＝12AC＝12答案：D考点三例2解析：∵在梯形ABCD中，DC＝2AB，AB∥CD，∴DC＝2AB，设点D的坐标为(x，y)，则DC＝(4－x，2－y)，AB＝(1，－1)，∴(4－x，2－y)＝2(1，－1)，即(4－x，2－y)＝(2，－2)，∴4−x=2，2−y=−2，解得故点D的坐标为(2，4)．答案：(2，4)例3解析：(1)由题意x＋2－3x＝0，x＝1.(2)AB＝OB−OA＝(4－k，－7)，AC＝OC−因为A，B，C三点共线，所以AB，AC共线，所以－2×(4－k)＝－7×(－2k)，解得k＝－答案：(1)D(2)－2对点训练1．解析：由题设，点M是线段BC的中点，∴AM＝12(AB+AC答案：−2．解析：因为m∥n，所以212−b＝－3×1⇒答案：2微专题22巧借坐标系——提升运算能力变式训练解析：以点O为坐标原点，OA所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A(1，0)，B(－12设∠AOC＝αα∈0，则C(cosα，sinα)，由OC＝xOA＋yOB，得cos所以x＝cosα＋33sinα，y＝233所以x＋y＝cosα＋3sinα＝2sinα+π又α∈0，2π3，所以当α＝π3时，x

第三节平面向量的数量积与平面向量应用举例·最新考纲·1．理解平面向量数量积的含义及其物理意义．2．了解平面向量的数量积与向量投影的关系．3．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．4．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．5．会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．6．会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．·考向预测·考情分析：平面向量数量积的概念及运算，与长度、夹角、平行、垂直有关的问题，平面向量数量积的综合应用仍是高考考查的热点，题型仍将是选择题与填空题．学科素养：通过平面向量数量积的计算及应用考查数学运算、逻辑推理的核心素养．积累必备知识——基础落实赢得良好开端一、必记5个知识点1．向量的夹角(1)定义：已知两个非零向量a和b，作OA＝a，OB＝b，则________就是向量a与b的夹角．(2)范围：设θ是向量a与b的夹角，则0°≤θ≤180°.(3)共线与垂直：若θ＝0°，则a与b________；若θ＝180°，则a与b________；若θ＝90°，则a与b________．[提醒]只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角．2．平面向量的数量积定义设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量________叫做a与b的数量积，记作a·b投影________叫做向量a在b方向上的投影，________叫做向量b在a方向上的投影几何意义数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影________的乘积3.平面向量数量积的性质设a，b都是非零向量，e是单位向量，θ为a与b(或e)的夹角．则(1)e·a＝a·e＝|a|cosθ.(2)a⊥b⇔________．(3)当a与b同向时，a·b＝|a|·|b|；当a与b反向时，a·b＝－|a|·|b|.特别地，a·a＝________或者|a|＝________．(4)cosθ＝________．(5)a·b≤________．4．数量积的运算律(1)交换律：a·b＝b·a.(2)数乘结合律：(λa)·b＝________＝________．(3)分配律：(a＋b)·c＝________．5．平面向量数量积的坐标表示设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，向量a与b的夹角为θ，则数量积a·b＝________模|a|＝________夹角cosθ＝________向量垂直的充要条件a⊥b⇔a·b＝0⇔________二、必明5个常用结论1．求平面向量的模的公式(1)a2＝a·a＝|a|2或|a|＝a·a＝(2)|a±b|＝a±b2(3)若a＝(x，y)，则|a|＝x22．有关向量夹角的两个结论(1)两个向量a与b的夹角为锐角，则有a·b＞0，反之不成立(因为夹角为0时不成立)；(2)两个向量a与b的夹角为钝角，则有a·b＜0，反之不成立(因为夹角为π时不成立)．三、必练4类基础题(一)判断正误1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)两个向量的数量积是一个向量．()(2)向量在另一个向量方向上的投影也是向量．()(3)若a·b>0，则a和b的夹角为锐角；若a·b<0，则a和b的夹角为钝角．()(4)若a·b＝0，则a＝0或b＝0.()(5)(a·b)·c＝a·(b·c)．()(6)若a·b＝a·c(a≠0)，则b＝c.()(二)教材改编2．[必修4·P107例6改编]设a＝(5，－7)，b＝(－6，t)，若a·b＝－2，则t的值为()A．－4B．4C．327D．－3．[必修4·P108习题T6改编]已知|a|＝2，|b|＝6，a·b＝－63，则a与b的夹角θ为()A．π6B．C．2π3D．(三)易错易混4．(不理解向量的几何意义致误)已知AB＝(－1，2)，点C(2，0)，D(3，－1)，则向量AB在CD方向上的投影为________；向量CD在AB方向上的投影为________．5．(向量数量积的性质不熟致误)若平面四边形ABCD满足AB+CD＝0，(AB−AD(四)走进高考6．[2021·全国乙卷]已知向量a＝(1，3)，b＝(3，4)，若(a－λb)⊥b，则λ＝________．提升关键能力——考点突破掌握类题通法考点一平面向量数量积的运算[基础性]1．[2022·河南高三月考]已知向量a，b的夹角为120°，且|a|＝1，|b|＝2，则(a－3b)·(2a＋b)＝()A．－8B．－5C．2D．192．[2022·定远县育才学校高三开学考试]正四面体ABCD棱长为a，点E，F分别是BC，AD的中点，则AE·AF的值为()A．a2B．12a2C．14a2D．33．已知向量a，b满足a·(b＋a)＝2，且a＝(1，2)，则向量b在a方向上的投影为()A．55B．－55C．－24．已知正方形ABCD的边长为2，点P满足AP＝12(AB+AC)，则|PD反思感悟计算向量数量积的三个角度(1)定义法：已知向量的模与夹角时，可直接使用数量积的定义求解，即a·b＝|a||b|cosθ(θ是a与b的夹角)．(2)基向量法：计算由基底表示的向量的数量积时，应用相应运算律，最终转化为基向量的数量积，进而求解．(3)坐标法：若向量选择坐标形式，则向量的数量积可应用坐标的运算形式进行求解.考点二平面向量数量积的应用[综合性]角度1平面向量的模[例1](1)[2022·苏州中学高三月考]已知非零向量a，b的夹角为60°，且|b|＝1，|2a－b|＝1，则|a|＝()A．12B．1C．2(2)[2022·福建南平市监测]已知单位向量e1，e2的夹角为2π3，则|e1－λe2A．22B．12C．3反思感悟1．求向量模长的方法利用数量积求模是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法：(1)a2＝a·a＝|a|2或|a|＝a·(2)|a±b|＝a±b2(3)若a＝(x，y)，则|a|＝x2．求向量模的最值(范围)的方法(1)代数法，先把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解；(2)几何法(数形结合法)，弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解；(3)利用绝对值三角不等式||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|求模的最值(取值范围)．角度2平面向量的夹角[例2](1)[2020·全国卷Ⅲ]已知向量a，b满足|a|＝5，|b|＝6，a·b＝－6，则cos〈a，a＋b〉＝()A．－3135B．－1935C．17(2)[2022·山西省八校高三联考]已知向量a＝(－1，2)，单位向量b满足b·(a＋5b)＝52，则向量a，b的夹角θ听课笔记：反思感悟求向量夹角问题的方法(1)定义法：当a，b是非坐标形式时，求a与b的夹角θ，需求出a·b及|a|，|b|或得出它们之间的关系，由cosθ＝a·(2)坐标法：若已知a＝(x1，y1)与b(x2，y2)，则cos〈a，b〉＝x1x2+y1y(3)解三角形法：可以把所求两向量的夹角放到三角形中进行求解．角度3平面向量的垂直[例3](1)已知平面向量a＝(1，－3)，b＝(4，－2)，若λa－b与b垂直，则λ＝()A．－1B．1C．－2D．2(2)已知向量AB与AC的夹角为120°，且|AB|＝3，|AC|＝2.若AP＝λAB+AC，且AP⊥BC，则实数听课笔记：反思感悟有关平面向量垂直的两类题型【对点训练】1．[2022·合肥市第六中学高三模拟]若单位向量a，b满足(a－2b)·(a＋b)＝－12，则|a－bA．1B．2C．3D．22．[2022·河北武强中学高三月考]已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a－b)·b＝0，则a与b的夹角为________．3．[2022·四川遂宁市高三模拟]已知向量a＝(2，1)，b＝(－3，－1)，且kb－a与a垂直，则k＝________．考点三平面向量的综合应用[综合性]角度1平面向量与三角函数[例4][2022·湖北高三月考]已知向量a＝(3sinx，cosx)，b＝(cosx，cosx)．(1)若a∥b，且x∈(－π，0)，求x的值；(2)若函数f(x)＝2a·b－1，且fx2＝13，求sin听课笔记：反思感悟平面向量与三角函数的综合问题的解题思路(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等．角度2平面向量与解三角形[例5]在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，向量m＝(2sinB，2－cos2B)，n＝2sin2π4+(1)求角B的大小；(2)若a＝3，b＝1，求c的值．听课笔记：反思感悟本例的第(1)小题，利用向量垂直的充要条件将问题转化为三角方程，使问题获得解决．第(2)小题突出了余弦定理和正弦定理的应用．本例不仅考查了解三角形的技巧和方法，还注重了分类讨论思想的考查．【对点训练】1．[2022·河北武强中学高三月考]已知向量a＝(cosα，3)，b＝(sinα，－4)，a∥b，则3sinA．－12C．－43D．2．[2022·河南洛阳模拟]在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且(a－2b)sinA＝(c＋b)(sinC－sinB)，设D是AB的中点，若CD＝1，则△ABC面积的最大值是()A．2－1B．2＋1C．3－22D．3＋223．[2022·福建泉州模拟]已知函数f(x)＝d·e，其中d＝(2cosx，－3sin2x)，e＝(cosx，1)，x∈R.(1)求函数y＝f(x)的单调递减区间；(2)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，f(A)＝－1，a＝7，且向量m＝(3，sinB)与n＝(2，sinC)共线，求边长b和c的值．微专题23平面向量与三角形的“四心”逻辑推理三角形的“四心”：设O为△ABC所在平面上一点，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则(1)O为△ABC的外心⇔|OA|＝|OB|＝|OC|＝a2(2)O为△ABC的重心⇔OA+(3)O为△ABC的垂心⇔OA·OB＝OB·OC＝OC·OA.(4)O为△ABC的内心⇔aOA＋bOB＋cOC＝0.类型1平面向量与三角形的“重心”问题[例1][2022·山东莱州一中高三开学考试]O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足OP＝OA＋λ(AB+AC)，λ∈[0，＋∞)，则P的轨迹一定通过△A．外心B．垂心C．内心D．重心解析：令D为BC的中点，则OP＝OA＋λ(AB+AC)＝OA＋2λ于是有AP＝2λAD，∴点A、D、P共线，即点P的轨迹通过三角形ABC的重心．答案：D类型2平面向量与三角形的“内心”问题[例2]在△ABC中，AB＝5，AC＝6，cosA＝15，O是△ABC的内心，若OP＝xOB＋yOC，其中x，y∈[0，1]，则动点PA．1063C．43D．62解析：根据向量加法的平行四边形法则可知，动点P的轨迹是以OB，OC为邻边的平行四边形及其内部，其面积为△BOC的面积的2倍．在△ABC中，设内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，得a＝7.设△ABC的内切圆的半径为r，则12bcsinA＝12(a＋b＋c)r，解得r＝所以S△BOC＝12×a×r＝12×7×263＝763.故动点P的轨迹所覆盖图形的面积为2答案：B类型3平面向量与三角形的“垂心”问题[例3]已知O是平面上的一个定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足OP＝OA＋λ(ABABcosB+ACACcosC)，λ∈(0，＋A．重心B．垂心C．外心D．内心解析：因为OP＝OA＋λ(ABAB所以AP＝OP−OA＝λ(所以BC·AP＝BC·λ(ABABcosB+ACACcosC)＝λ(－|BC|＋|BC|)＝0，所以BC⊥AP，所以点P答案：B类型4平面向量与三角形的“外心”问题[例4]已知在△ABC中，AB＝1，BC＝6，AC＝2，点O为△ABC的外心，若AO＝xAB＋yAC，则有序实数对(x，y)为()A．45，C．−45解析：取AB的中点M和AC的中点N，连接OM，ON，则OM⊥AB，ON⊥AC，OM＝AM−AO＝12AB－(xAB＋yAC)＝12−xAB－yAC，ON＝AN−由OM⊥AB，得12−xAB2－yAC由ON⊥AC，得12−yAC2－xAC又因为BC2＝(AC−AB)2＝AC2－2AC·AB+AB2，所以AC·把③代入①、②得1−2x+y=0，解得x＝45，y＝3故实数对(x，y)为45答案：A类型5平面向量与三角形的“四心”问题[例5]已知向量OP1，OP2，OP3满足条件OP1+证明：由已知条件可得OP1+OP2同理OP2·O即∠P1OP2＝∠P2OP3＝∠P1OP3＝120°，∴|P1P2|＝|P从而△P1P2P3是正三角形．第三节平面向量的数量积与平面向量应用举例积累必备知识一、1．(1)∠AOB(3)同向反向垂直2．|a||b|cosθ|a|cosθ|b|cosθ|b|cosθ3．(2)a·b＝0(3)|a|2a·a(4)a·bab(5)|a||4．(2)λ(a·b)a·(λb)(3)a·c＋b·c5．x1x2＋y1y2x1x1x2+y1y2x12三、1．答案：(1)×(2)×(3)×(4)×(5)×(6)×2．解析：因为a·b＝5×(－6)－7t＝－2，所以t＝－4.答案：A3．解析：cosθ＝a·bab＝−632×6＝－32答案：D4．解析：由点C(2，0)，D(3，－1)，得CD＝(1，－1)，所以向量AB在CD方向上的投影为|AB|cos〈AB，CD〉＝AB·CDCD＝－322，向量CD在AB方向上的投影为|CD答案：－3225．解析：由四边形ABCD满足AB+CD＝0知，四边形ABCD为平行四边形．又由(AB−AD)·AC＝0，即答案：菱形6．解析：因为a－λb＝(1，3)－λ(3，4)＝(1－3λ，3－4λ)，所以由(a－λb)⊥b可得，3(1－3λ)＋4(3－4λ)＝0，解得λ＝35答案：3提升关键能力考点一1．解析：∵a·b＝1×2×−1∴(a－3b)·(2a＋b)＝2|a|2－5a·b－3|b|2＝2×1－5×(－1)－3×4＝－5.答案：B2．解析：因为点E，F分别是BC，AD的中点，所以AE·AF＝12(AB+AC)·12AD＝14(a·a·cosπ3＋a·a·cosπ3)＝1答案：C3．解析：由a＝(1，2)，可得|a|＝5，由a·(b＋a)＝2，可得a·b＋a2＝2，∴a·b＝－3，∴向量b在a方向上的投影为a·ba答案：D4．解析：方法一如图，在正方形ABCD中，由AP＝12(AB+AC)得点P为BC的中点，∴|PD|＝5，PB·PD＝PB·(PC+CD)＝PB·PC+PB方法二∵AP＝12(AB+AC)，∴P为BC的中点，以A为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，由题意知A(0，0)，B(2，0)，C(2，2)，D(0，2)，P(2，1)，∴|PD|＝2−02+1−22＝答案：5－1考点二例1解析：(1)因为非零向量a，b的夹角为60