(典型题)高中数学选修1-1第二章《圆锥曲线与方程》测试(含答案解析)

一、选择题1．已知斜率为的直线与双曲线相交于、两点，且的中点为，则的离心率为（）A．2 B． C．3 D．2．已知点为椭圆的左顶点，为椭圆的右焦点，、在椭圆上，四边形为平行四边形（为坐标原点），过直线上一点作圆的切线，为切点，若面积的最小值大于，则椭圆的离心率的取值范围是（）A． B． C． D．3．设，是双曲线：的两个焦点，为坐标原点，点在上且，则的面积是（）A．10 B．11 C．12 D．134．设直线与圆C：相切于，与抛物线交于两点，且是线段的中点，若直线有且只有4条，则的取值范围是（）A． B． C． D．5．若，是双曲线与椭圆的共同焦点，点P是两曲线的一个交点，且为等腰三角形，则该双曲线的渐近线方程是（）A． B． C． D．6．设、分别是椭圆的左、右焦点，为坐标原点，点在椭圆上且满足，则的面积为（）A． B． C． D．7．设抛物线的焦点为，为抛物线上异于顶点的一点，且在直线上的射影为，若的垂心在抛物线上，则的面积为（）A． B． C． D．8．已知双曲线的右焦点为，直线与交于，两点，以为直径的圆过点，若上存在点满足，则的离心率为（）A． B． C． D．9．已知双曲线的左、右焦点分别为、，若双曲线右支上存在一点，使得关于直线的对称点恰在轴上，则该双曲线的离心率的取值范围为（）A． B． C． D．10．已知椭圆上一点关于原点的对称点为点，为其右焦点，若，设，且，则该椭圆的离心率的取值范围是（）A． B． C． D．11．已知双曲线的左焦点为，若直线，与双曲线C交于M、N两点，且，则双曲线C的离心率的取值范围是（）A． B． C． D．12．已知直线的方程为，双曲线的方程为.若直线与双曲线的右支相交于不同的两点，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．二、填空题13．方程表示的曲线为函数的图象.对于函数，现有如下结论：①函数的值域是R；②在R上单调递减；③的图象不经过第三象限；④直线与曲线没有交点.其中正确的结论是___________.14．已知是双曲线的右焦点，为坐标原点，过的直线与的两条渐近线的交点分别为，若，，则的离心率为________.15．已知双曲线的左､右焦点分别，P为双曲线上异于顶点的点，以，为直径的圆与直线分别相切于A，B两点，则___________.16．已知点在抛物线上，过点的直线交抛物线于，两点，若直线，的斜率分别为，，则等于___________.17．F为抛物线的焦点，过F且斜率为k的直线l与抛物线交于P、Q两点，线段的垂直平分线交x轴于点M，且，则__________．18．如图，椭圆C：的左､右焦点分别为､，B为椭圆C的上顶点，若的外接圆的半径为，则椭圆C的离心率为________.19．直线AB过抛物线的焦点F，且与抛物线交于A、B两点，且线段AB的中点的横坐标是3，则直线AB的斜率是_____________.20．已知点是椭圆上动点，则点到直线距离的最大值是________．三、解答题21．已知椭圆的左顶点和右焦点的距离与右焦点到椭圆的右准线的距离相等，且椭圆的通径（过椭圆的焦点，且与长轴垂直的弦）长为3.（1）求椭圆的方程；（2）设直线过点，且与坐标轴不垂直，与椭圆相交于，两点，线段的垂直平分线与轴交于点.①当时，求直线的方程；②求证：为定值.22．已知两条动直线与（，为参数）的交点为.（1）求点的轨迹的方程；（2）、是轴上的两点，过点作直线与曲线交于、，当时，求直线的方程.23．（1）已知椭圆的焦距为，、为左、右焦点，为椭圆上一点，且，，求椭圆的方程．（2）过点的直线交椭圆于、两点，交直线于点，设，，求的值．24．已知椭圆的左、右焦点分别是，过点的直线与椭圆相交于两点，且的周长为.（1）求椭圆的标准方程；（2）在椭圆中有这样一个结论“已知在椭圆外，过作椭圆的两条切线，切点分别为，则直线的方程为”.现已知是圆上的任意点，分别与椭圆相切于，求面积的取值范围.25．已知点F为抛物线E：y2＝2px（p＞0）的焦点，点在抛物线E上，且|AF|＝3.（1）求抛物线E的方程；（2）已知点，延长AF交抛物线E于点B，证明：以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切．26．已知抛物线：（）的焦点为，过点的直线与抛物线交于，两点，当轴时，，（1）求的值：（2）若，求直线l的方程.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】设，用“点差法”表示出a、b的关系，即可求出离心率【详解】设,则，两式作差得：，整理得：的中点为，且直线的斜率为，代入有：即，解得.故选：D【点睛】求椭圆（双曲线）离心率的一般思路：根据题目的条件，找到a、b、c的关系，消去b，构造离心率e的方程或（不等式）即可求出离心率．2．B解析：B【分析】结合题意先计算直线的表达式，然后运用点到直线的距离计算圆心到直线的距离，求出三角形的面积表达式，结合题意得到不等式，继而计算出椭圆离心率的取值范围.【详解】因为四边形是平行四边形，所以，且，又因为点、关于轴对称，所以，将其代入椭圆方程得，解得，故，，所以，即，故即为到直线的距离，，此时，故，化简得，故，即，整理得，分子分母同除以，得，即，所以(舍去)或，在椭圆中，所以，所以故选：B【点睛】关键点点睛：本题的关键是求出三角形的面积表达式，结合题意得到不等式进行求解，有一定的计算量，需要把基础知识掌握牢固.3．B解析：B【分析】由是以M为直角直角三角形得到，再利用双曲线的定义得到，联立即可得到，代入中计算即可.【详解】由可知不妨设，因为，所以点在以为直径的圆上，即是以M为直角顶点的直角三角形，故，即，又，所以，解得，所以故选：B【点晴】关键点点睛：根据判断出为直角三角形是解题的关键，再结合双曲线的定义及勾股定理，即可计算焦点三角形面积，是一道中档题.4．B解析：B【分析】根据l有且只有4条，易知直线l的斜率不存在时，有两条，得到直线l斜率存在时，有两条，根据是线段的中点，利用点差法得到，再根据直线与圆C：相切于，得到，结合得到，再根据点N在抛物线内部求解.【详解】设，因为l有且只有4条，当直线l的斜率不存在时，有两条，即，所以直线l斜率存在时，有两条，因为AB在抛物线上，所以，两式相减得，因为是线段的中点，所以，所以，即，因为直线与圆C：相切于，所以，即，所以，代入抛物线，得，因为点N在抛物线内部，所以，因为点N在圆上，所以，即，所以，所以，即，解得，故选：B【点睛】方法点睛：解决直线与曲线的位置关系的相关问题，往往先把直线方程与曲线方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单．5．B解析：B【分析】由题意可得双曲线中，由为等腰三角形，所以,从而可求得，再利用双曲线的定义可求得在双曲线中，，进而可求出双曲线的渐近线方程【详解】解：因为椭圆的焦点坐标为，所以双曲线中，设点P为两曲线在第一象限的交点，由于在椭圆中，为等腰三角形，所以,所以，在双曲线中，，所以，代入，得，所以该双曲线的渐近线方程为，故选：B【点睛】关键点点睛：此题考查椭圆、双曲线的定义的应用，解题的关键由为等腰三角形和椭圆的定义求出的值，属于中档题6．D解析：D【分析】设点，求出的值，由此可求得的面积.【详解】在椭圆中，，，则，所以，，设点，则，可得，，解得，，因此，的面积为.故选：D.【点睛】方法点睛：本题考查椭圆中焦点三角形面积的计算，常用以下两种方法求解：（1）求出顶点的坐标，利用三角形面积公式求解；（2）利用余弦定理和椭圆的定义求得的值，利用三角形面积公式求解.7．B解析：B【分析】设点，则点，求出的垂心的坐标，再由可求得的值，进而可求得的面积.【详解】设点，则点，设点在第一象限，抛物线的焦点为，设的垂心为，由于，则点的横坐标为，可得点，，则，，，，解得，所以，点的坐标为，所以，，.故选：B.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于利用已知条件求出点的坐标，本题特殊的地方在于轴，可得出垂心与焦点的连线垂直于轴，再结合垂心在抛物线求出垂心的坐标.8．B解析：B【分析】由题意设，，，则，求出，，的坐标，根据得到，由点在圆上得到，把点，坐标代入双曲线方程联立，可得答案.【详解】由题意设，，，则，，，．，，．以为直径的圆过点，，即①，点，均在双曲线上，②，③．②-③整理得，将代入，整理得，于是，最后将，代入双曲线方程，整理得，所以．故选：B.【点睛】本题考查了直线与双曲线的位置关系、圆的有关性质及与向量的结合，关键点是利用和得到点之间的关系，考查了学生分析问题、解决问题的能力.9．B解析：B【分析】设点，设点在第一象限，设关于直线的对称点为点，推导出为等边三角形，可得出，再由公式可求得该双曲线离心率的取值范围.【详解】如下图所示：设点，设点在第一象限，由于关于直线的对称点在轴上，不妨设该点为，则点在轴正半轴上，由对称性可得，，所以，，则，所以，双曲线的渐近线的倾斜角满足，则，因此，该双曲线的离心率为.故选：B.【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值；（2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解；（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.10．B解析：B【分析】由题意设椭圆的左焦点为N，连接AN，BN，因为AF⊥BF，所以四边形AFBN为长方形，再根据椭圆的定义化简得，得到离心率关于的函数表达式，再利用辅助角公式和三角函数的单调性求得离心率的范围.【详解】由题意椭圆上一点A关于原点的对称点为点B，F为其右焦点，设左焦点为N，连接AN，BN，因为AF⊥BF，所以四边形AFBN为长方形．根据椭圆的定义：，由题∠ABF＝α，则∠ANF＝α，所以，利用，∵，∴，，即椭圆离心率的取值范围是，故选B.【点睛】本题主要考查了椭圆的离心率的取值范围问题，其中解答中合理利用椭圆的定义和题设条件，得到,再利用三角函数的性质求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.11．C解析：C【分析】根据题意，得到，设，则，由，求出与双曲线联立，求出，再由，列出不等式求解，即可得出结果【详解】因为点为双曲线的左焦点，则，设，由题意有，则，，又，所以，则，又在双曲线上，所以，由解得，又在直线上，，所以，即，整理得，解得或（舍，因为双曲线离心率大于1），所以，故选：C【点睛】关键点点睛：本题考查双曲线的性质，考查双曲线的标准方程，解决本题的关键点是把转化为向量数量积的坐标表示，求出点的轨迹方程，结合点在双曲线上，求出点的坐标，代入斜率公式求出离心率的范围，考查学生逻辑思维能力和计算能力，属于中档题．12．D解析：D【分析】联立直线方程和双曲线方程，化为，由于直线与双曲线的右支交于不同两点，可得，由，，解得即可【详解】解：联立直线方程和双曲线方程，化为，因为直线与双曲线的右支交于不同两点，所以，且，，解得，所以实数的取值范围为，故选：D【点睛】关键点点睛：此题考查直线与双曲线的位置关系，解题的关键是直线方程和双曲线方程联立方程组，消元后结合题意可得，，从而可得答案二、填空题13．①②③④【分析】根据方程分别讨论和四种情况得到不同的解析式画出对应的图象即可得答案【详解】当时方程为表示椭圆在第一象限的部分当时方程为表示双曲线在第四象限的部分当时方程为表示双曲线在第二象限的部分当解析：①②③④【分析】根据方程，分别讨论、、和四种情况，得到不同的解析式，画出对应的图象，即可得答案.【详解】当时，方程为，表示椭圆在第一象限的部分，当时，方程为，表示双曲线在第四象限的部分，当时，方程为，表示双曲线在第二象限的部分，当时，方程为，无意义，所以图象如下所示：所以函数的值域是R；故①正确；在R上单调递减，故②正确；的图象不经过第三象限，故③正确；直线为双曲线的渐近线，所以曲线没有交点，故④正确.故答案为：①②③④【点睛】解题的关键是根据题意，分类讨论，得到不同的解析式，再画图求解，考查分类讨论，数形结合的能力，属基础题.14．2【分析】首先根据可得可计算结合可得是等腰三角形且再由渐进线的斜率可计算出点坐标即可求出点坐标利用结合可得之间的关系即可求解【详解】因为所以即所以为点到渐近线的距离所以可得点为的中点又因为所以所以设解析：2【分析】首先根据可得，可计算，结合可得是等腰三角形，且，再由渐进线的斜率可计算出点坐标，即可求出点坐标，利用结合可得之间的关系，即可求解.【详解】因为，所以，即所以为点到渐近线的距离，，所以，可得点为的中点，又因为，所以，所以，设双曲线的左焦点为，，则，因为，所以，所以，，所以，因为为中点，所以，，将代入整理可得：即，所以，可得，解得：或（舍），故答案为：【点睛】方法点睛：求椭圆离心率的方法：（1）直接利用公式；（2）利用变形公式；（3）根据条件列出关于的齐次式，两边同时除以，化为关于离心率的方程即可求解.15．【分析】求得双曲线的设运用双曲线的定义和三角形的中位线定理可得由相切的性质判断四边形为直角梯形过作垂足为运用直角三角形的勾股定理和向量的夹角的定义和直角三角形的余弦函数的定义计算可得所求值【详解】解解析：【分析】求得双曲线的，，设，，运用双曲线的定义和三角形的中位线定理可得，由相切的性质判断四边形为直角梯形，过作，垂足为，运用直角三角形的勾股定理和向量的夹角的定义和直角三角形的余弦函数的定义，计算可得所求值．【详解】解：因为双曲线，所以，依题意画出如下图形，设，的中点分别为，，过点作交于点，连接，所以，设，，则所以，，所以，在中，因为，所以为的夹角，所以故答案为：【点睛】本题考查双曲线的定义、方程和性质，以及直线和圆相切的性质，考查直角三角形的勾股定理和锐角三角函数的定义、向量的夹角的概念，考查方程思想和化简运算能力和推理能力．16．【分析】由题意将的坐标代入抛物线的方程可得的值进而求出抛物线的方程设出直线的方程并与抛物线方程联立求出两根之和及两根之积求出直线的斜率之积化简可得定值【详解】由题意将的坐标代入抛物线的方程可得解得所解析：【分析】由题意将的坐标代入抛物线的方程可得的值，进而求出抛物线的方程，设出直线的方程并与抛物线方程联立求出两根之和及两根之积，求出直线，的斜率之积，化简可得定值.【详解】由题意将的坐标代入抛物线的方程可得，解得，所以抛物线的方程为；由题意可得直线的斜率不为0，所以设直线的方程为：，设，，，，联立直线与抛物线的方程：，整理可得：，则，，由题意可得，所以．故答案为：.【点睛】方法点睛：探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：①从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.17．3【分析】先根据抛物线方程求出p的值再由抛物线性质求出的垂直平分线方程即可得到答案【详解】∵抛物线∴p=2焦点F(10)可设直线l：P(x1y1)Q(x2y2)将代入抛物线得：∴设PQ中点为N(x0解析：3【分析】先根据抛物线方程求出p的值，再由抛物线性质求出的垂直平分线方程，即可得到答案.【详解】∵抛物线,∴p=2，焦点F(1,0)可设直线l：,P(x1,y1)、Q(x2,y2)将代入抛物线得：∴设PQ中点为N(x0,y0),则所以线段PQ的垂直平分线方程：令y=0，可得x=4，所以故答案为：3【点睛】坐标法是解析几何的基本方法,利用坐标法把几何关系转化为代数运算.18．【分析】由题意可得的外接圆的圆心在线段上可得在中由勾股定理可得：即结合即可求解【详解】由题意可得：的外接圆的圆心在线段上设圆心为则在中由勾股定理可得：即所以即所以所以故答案为：【点睛】方法点睛：求椭解析：【分析】由题意可得的外接圆的圆心在线段上，，，可得，在中，由勾股定理可得：，即，结合即可求解.【详解】由题意可得：的外接圆的圆心在线段上，，设圆心为，则，在中，由勾股定理可得：，即，所以，即，所以，所以，故答案为：.【点睛】方法点睛：求椭圆离心率的方法：（1）直接利用公式；（2）利用变形公式；（3）根据条件列出关于的齐次式，两边同时除以，化为关于离心率的方程即可求解.19．1或【分析】根据抛物线方程得到设直线方程为与抛物线方程联立得：再根据线段的中点的横坐标为3求得即可得到直线斜率【详解】因为直线AB过抛物线的焦点F且与抛物线交于AB两点所以斜率不为0设直线AB方程为解析：1或【分析】根据抛物线方程，得到，设直线方程为，与抛物线方程联立得：，再根据线段的中点的横坐标为3，，求得，即可得到直线斜率.【详解】因为直线AB过抛物线的焦点F且与抛物线交于A、B两点，所以斜率不为0，设直线AB方程为，与抛物线方程联立得：，由韦达定理得：，所以，解得所以直线的方程为，所以.故答案为：1或20．【分析】设与平行的直线与相切求解出此时的方程则点到直线距离的最大值可根据平行直线间的距离公式求解出【详解】设与平行的直线当与椭圆相切时有：所以所以所以所以或取此时与的距离为所以点到直线距离的最大值为解析：【分析】设与平行的直线与相切，求解出此时的方程，则点到直线距离的最大值可根据平行直线间的距离公式求解出.【详解】设与平行的直线，当与椭圆相切时有：，所以，所以，所以，所以或，取，此时与的距离为，所以点到直线距离的最大值为，故答案为：.【点睛】方法点睛：求解椭圆上一点到直线距离的最值的两种方法：（1）设与已知直线平行的直线与椭圆相切，求解出切线的方程，根据平行直线间的距离公式求解出点到直线距离的最值；（2）将点坐标为设为，利用点到直线的距离公式以及三角函数的知识求解出点到直线距离的最值.三、解答题21．（1）；（2）①或，②证明见解析.【分析】（1）依题意得到方程组解得即可；（2）设直线的方程为，，，设线段的中点为，联立直线与椭圆，消元、列出韦达定理，即可表示出线段的中点的坐标，从而得到线段的垂直平分线方程，表示出点坐标，再根据①、②分别计算可得；【详解】解：（1）由条件得，又，解得，，，所以椭圆的方程为.（2）因为直线过点，且与坐标轴不垂直，所以设直线的方程为，，，设线段的中点为，由得，所以，所以线段的中点，所以线段的垂直平分线方程为，令，得，即①当时，则，解得，所以直线的方程为或.②因为，，所以为定值.【点睛】(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．22．（1）；（2）或.【分析】（1）设点，联立，消去参数可得出动点的轨迹的方程；（2）设直线的方程为，设点、，将直线的方程与曲线的方程联立，列出韦达定理，利用抛物线的焦半径公式结合韦达定理求出的值，由此可求得直线的方程.【详解】（1）设点，联立，消去参数得，因此，点的轨迹的方程为；（2）若直线与轴重合，此时，直线与曲线无公共点，不合乎题意.设直线的方程为，设点、，联立，可得，则，由韦达定理可得，易知点为抛物线的焦点，所以，，解得，因此，直线的方程为或.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为、；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式；（5）代入韦达定理求解.23．（1）；（2）0．【分析】（1）首先根据题意得到，设，，得到，再根据和余弦定理即可得到，，从而得到椭圆的标准方程.（2）首先设直线，与椭圆联立得到，从而得到，联立，得到.再根据，，得到和，计算即可.【详解】（1）由已知得，即，设，，得到.在中，，解得.，化简得：，，解得.所以，椭圆.（2）由（1）知，，设直线，联立得：，所以联立，得.，由，得，得.同理得..【点睛】关键点点睛：本题主要考查直线与椭圆的位置关系，属于中档题.本题中直线方程代入椭圆方程整理后得到和利用向量关系得到和为解决本题的关键，考查了学生的运算求解能力，逻辑推理能力．24．（1）；（2）.【分析】（1）由焦点三角形的周长得值，结合焦点坐标可求得，从而得椭圆方程；（2）设，，由已知得切线方程，与椭圆方程联立消去得的二次方程，应用韦达定理得，由弦长公式求得弦长，再求得原点到直线的距离，，从而可得，用换元法（设）可求得的范围，再求出时三角形面积，从而可得结论．【详解】（1）由已知，，所以所