2022-2023学年江苏省南京天印高级中学高三下学期一模考试数学试卷

2022-2023学年南京天印高级中学高三第二学期一模考试试卷一．选择题（共8小题）1．“x∈{x|log3（2﹣x）≤1}”是“x∈{x||x﹣1|≤1}”的（）条件．A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要2．已知复数z在复平面内对应的点都在射线y＝3x（x＞0）上，且|z|＝，则z的虚部为（）A．3 B．3i C．±3 D．±3i3．在五边形ABCDE中，＝，＝，M，N分别为AE，BD的中点，则＝（）A． B． C． D．4．衡阳市在创建“全国卫生文明城市”活动中，大力加强垃圾分类投放宣传．某居民小区设有“厨余垃圾”、“可回收垃圾”、“其它垃圾”三种不同的垃圾桶．一天，居民小贤提着上述分好类的垃圾各一袋，随机每桶投一袋，则恰好有一袋垃圾投对的概率为（）A． B． C． D．5．某中学开展劳动实习，学习加工制作食品包装盒．现有一张边长为6的正六边形硬纸片，如图所示，裁掉阴影部分，然后按虚线处折成高为的正六棱柱无盖包装盒，则此包装盒的体积为（）A．144 B．72 C．36 D．246．已知函数g（x）＝sin（ωx+φ），g（x）图象上每一点的横坐标缩短到原来的，得到f（x）的图象，f（x）的部分图象如图所示，若，则ω等于（）A． B． C． D．7．某圆锥母线长为2，底面半径为，则过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为（）A．2 B． C． D．18．已知e≈是自然对数的底数，设a＝﹣，b＝﹣，c＝﹣ln2，则（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b二．多选题（共4小题）（多选）9．对于两条不同直线m，n和两个不同平面α，β，下列选项中正确的为（）A．若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥n B．若m∥α，n∥β，α⊥β，则m⊥n或m∥n C．若m∥α，α∥β，则m∥β或m⊂β D．若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α（多选）10．已知函数f（x）＝，则下列结论正确的是（）A．f（x）是偶函数 B．f（f（﹣π））＝1 C．f（x）是增函数 D．f（x）的值域为[﹣1，+∞）（多选）11．提丢•斯波得定律是关于太阳系中行星轨道的一个简单的几何学规则，它是在1766年由德国的一位中学老师戴维斯•提丢斯发现的，后来被柏林天文台的台长波得归纳成一条定律，即数列{an}：，，1，，，，10，，…表示的是太阳系第n颗行星与太阳的平均距离（以天文单位A．U．为单位）．现将数列{an}的各项乘10后再减4，得到数列{bn}，可以发现数列{bn}从第3项起，每项是前一项的2倍，则下列说法正确的是（）A．数列{bn}的通项公式为bn＝3×2n﹣2 B．数列{an}的第2021项为×22020 C．数列{an}的前n项和Sn＝n×2n﹣1﹣ D．数列{nbn}的前n项和Tn＝3（n﹣1）•2n﹣1（多选）12．定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足2f（x）+xf′（x）＝，f（1）＝0，则下列说法正确的是（）A．f（x）在x＝处取得极大值，极大值为 B．f（x）有两个零点 C．若f（x）＜k﹣在（0，+∞）上恒成立，则k＞ D．f（1）＜f（）＜f（）三．填空题（共4小题）13．在二项式（1﹣3x）n的展开式中，若所有项的系数之和等于64，那么在这个展开式中，x2项的系数是．（用数字作答）14．抛物线C：x2＝2py，其焦点到准线l的距离为4，则准线l被圆x2+y2﹣6x＝0截得的弦长为．15．若直线y＝﹣2x+与曲线y＝﹣ax相切，则a＝．16．已知椭圆C：的两个焦点为F1（﹣2，0）和F2（2，0），直线l过点F1，点F2关于l的对称点A在C上，且＝6，则C的方程为．四．解答题（共6小题）17．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn+1+2Sn﹣1＝3Sn（n≥2）．（1）求数列{an}的通项公式；（2）令，求数列{bn}的前n项和Tn．18．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知tanA＝．（1）若a＝，c＝，求b的值；（2）若角A的平分线交BC于点D，＝，a＝2，求△ACD的面积．19．2020年将全面建成小康社会，是党向人民作出的庄严承诺．目前脱贫攻坚已经进入冲刺阶段，某贫困县平原地区家庭与山区家庭的户数之比为3：2．用分层抽样的方法，收集了100户家庭2019年家庭年收入数据（单位：万元），绘制的频率直方图如图所示，样本中家庭年收入超过万元的有10户居住在山区．（1）完成2019年家庭年收入与地区的列联表，并判断是否有99.9%的把握认为该县2019年家庭年收入超过万元与地区有关．超过万元不超过万元总计平原地区山区10总计附：K2＝，其中n＝a+b+c+d．P（K2≥k）k（2）根据这100个样本数据，将频率视为概率．为了更好地落实党中央精准扶贫的决策，从2020年9月到12月，每月从该县2019年家庭年收入不超过万元的家庭中选取4户作为“县长联系家庭”，记“县长联系家庭”是山区家庭的户数为X，求X的分布列和数学期望E（X）．20．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BCC1B1为矩形，ABB1A1是边长为2的菱形，BC＝1，AC＝，（1）证明：平面A1BC⊥平面ABB1A1；（2）若AC＝A1C，求三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积．21．在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别F1、F2焦距为2，且与双曲线﹣y2＝1共顶点．P为椭圆C上一点，直线PF1交椭圆C于另一点Q．（1）求椭圆C的方程；（2）若点P的坐标为（0，b），求过P、Q、F2三点的圆的方程；（3）若＝λ，且λ∈[，2]，求的最大值．22．已知函数f（x）＝aex﹣x2（a∈R）（其中e≈为自然对数的底数）．（1）当a＝1时，求证：函数f（x）图象上任意一点处的切线斜率均大于；（2）若对于任意的x∈[0，+∞）恒成立，求实数a的取值范围．

2022-2023学年南京天印高级中学高三第二学期一模考试试卷参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．“x∈{x|log3（2﹣x）≤1}”是“x∈{x||x﹣1|≤1}”的（）条件．A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要故选：D．2．已知复数z在复平面内对应的点都在射线y＝3x（x＞0）上，且|z|＝，则z的虚部为（）A．3 B．3i C．±3 D．±3i故选：A．3．在五边形ABCDE中，＝，＝，M，N分别为AE，BD的中点，则＝（）A． B． C． D．故选：C．4．衡阳市在创建“全国卫生文明城市”活动中，大力加强垃圾分类投放宣传．某居民小区设有“厨余垃圾”、“可回收垃圾”、“其它垃圾”三种不同的垃圾桶．一天，居民小贤提着上述分好类的垃圾各一袋，随机每桶投一袋，则恰好有一袋垃圾投对的概率为（）A． B． C． D．故选：D．5．某中学开展劳动实习，学习加工制作食品包装盒．现有一张边长为6的正六边形硬纸片，如图所示，裁掉阴影部分，然后按虚线处折成高为的正六棱柱无盖包装盒，则此包装盒的体积为（）A．144 B．72 C．36 D．24故选：B．6．已知函数g（x）＝sin（ωx+φ），g（x）图象上每一点的横坐标缩短到原来的，得到f（x）的图象，f（x）的部分图象如图所示，若，则ω等于（）A． B． C． D．故选：A．7．某圆锥母线长为2，底面半径为，则过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为（）A．2 B． C． D．1故选：A．8．已知e≈是自然对数的底数，设a＝﹣，b＝﹣，c＝﹣ln2，则（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b故选：A．二．多选题（共4小题）（多选）9．对于两条不同直线m，n和两个不同平面α，β，下列选项中正确的为（）A．若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥n B．若m∥α，n∥β，α⊥β，则m⊥n或m∥n C．若m∥α，α∥β，则m∥β或m⊂β D．若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α故选：ACD．（多选）10．已知函数f（x）＝，则下列结论正确的是（）A．f（x）是偶函数 B．f（f（﹣π））＝1 C．f（x）是增函数 D．f（x）的值域为[﹣1，+∞）故选：BD．（多选）11．提丢•斯波得定律是关于太阳系中行星轨道的一个简单的几何学规则，它是在1766年由德国的一位中学老师戴维斯•提丢斯发现的，后来被柏林天文台的台长波得归纳成一条定律，即数列{an}：，，1，，，，10，，…表示的是太阳系第n颗行星与太阳的平均距离（以天文单位A．U．为单位）．现将数列{an}的各项乘10后再减4，得到数列{bn}，可以发现数列{bn}从第3项起，每项是前一项的2倍，则下列说法正确的是（）A．数列{bn}的通项公式为bn＝3×2n﹣2 B．数列{an}的第2021项为×22020 C．数列{an}的前n项和Sn＝n×2n﹣1﹣ D．数列{nbn}的前n项和Tn＝3（n﹣1）•2n﹣1故选：CD．（多选）12．定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足2f（x）+xf′（x）＝，f（1）＝0，则下列说法正确的是（）A．f（x）在x＝处取得极大值，极大值为 B．f（x）有两个零点 C．若f（x）＜k﹣在（0，+∞）上恒成立，则k＞ D．f（1）＜f（）＜f（）故选：ACD．三．填空题（共4小题）13．在二项式（1﹣3x）n的展开式中，若所有项的系数之和等于64，那么在这个展开式中，x2项的系数是135．（用数字作答）故答案为13514．抛物线C：x2＝2py，其焦点到准线l的距离为4，则准线l被圆x2+y2﹣6x＝0截得的弦长为2．，故答案为：2．15．若直线y＝﹣2x+与曲线y＝﹣ax相切，则a＝3．故答案为：3．16．已知椭圆C：的两个焦点为F1（﹣2，0）和F2（2，0），直线l过点F1，点F2关于l的对称点A在C上，且＝6，则C的方程为．故答案为：．四．解答题（共6小题）17．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn+1+2Sn﹣1＝3Sn（n≥2）．（1）求数列{an}的通项公式；（2）令，求数列{bn}的前n项和Tn．【解答】解：（1）由题意，设等比数列{an}的公比为q，则当q＝1时，Sn+1+2Sn﹣1＝（n+1）a1+2（n﹣1）a1＝3n﹣1，3Sn＝3na1＝3n，∴Sn+1+2Sn﹣1≠3Sn，显然q＝1不符合题意，故q≠1，当q≠1时，Sn＝＝，Sn+1＝，Sn﹣1＝，∵Sn+1+2Sn﹣1＝3Sn，∴+2＝3，即1﹣qn+1+2（1﹣qn﹣1）＝3（1﹣qn），化简，得qn﹣1（q﹣2）（q﹣1）＝0，∵q≠1且q≠0，∴q＝2，∴an＝1•2n﹣1＝2n﹣1，n∈N*．（2）由（1）知，Sn＝，Sn+1＝，则＝＝＝﹣，∴Tn＝b1+b2+…+bn＝﹣+﹣+…+﹣＝1﹣．18．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知tanA＝．（1）若a＝，c＝，求b的值；（2）若角A的平分线交BC于点D，＝，a＝2，求△ACD的面积．【解答】解：（1）因为tanA＝，所以cosA＝，由余弦定理得a2＝b2+c2﹣2bccosA＝7，即b2﹣3b﹣4＝0，解得b＝4或b＝﹣1（舍），（2）因为＝，所以＝，因为∠CAD＝∠BAD，所以＝，因为a＝2，由余弦定理得，故c2＝，所以S△ABC＝＝＝，△ACD的面积S△ACD＝＝＝．19．2020年将全面建成小康社会，是党向人民作出的庄严承诺．目前脱贫攻坚已经进入冲刺阶段，某贫困县平原地区家庭与山区家庭的户数之比为3：2．用分层抽样的方法，收集了100户家庭2019年家庭年收入数据（单位：万元），绘制的频率直方图如图所示，样本中家庭年收入超过万元的有10户居住在山区．（1）完成2019年家庭年收入与地区的列联表，并判断是否有99.9%的把握认为该县2019年家庭年收入超过万元与地区有关．超过万元不超过万元总计平原地区山区10总计附：K2＝，其中n＝a+b+c+d．P（K2≥k）k（2）根据这100个样本数据，将频率视为概率．为了更好地落实党中央精准扶贫的决策，从2020年9月到12月，每月从该县2019年家庭年收入不超过万元的家庭中选取4户作为“县长联系家庭”，记“县长联系家庭”是山区家庭的户数为X，求X的分布列和数学期望E（X）．【解答】解：（1）由频率分布直方图可知，超过万元的频率为（）×＝，所以超过万元的户数有100×＝50户，又因为平原地区家庭与山区家庭的户数之比为3：2，抽取了100户，故平原地区的共有60户，山区地区的共有40户，又样本中家庭年收入超过万元的有10户居住在山区，所以超过万元的有40户居住在平原地区，不超过万元的有20户住在平原地区，有30户住在山区地区，故2019年家庭年收入与地区的列联表如下：超过万元不超过万元总计平原地区402060山区103040总计5050100则K2＝＝，所以有99.9%的把握认为该县2019年家庭年收入超过万元与地区有关；（2）由（1）可知，选1户家庭在平原的概率为，山区的概率为，X的可能取值为0，1，2，3，4，所以P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝，P（X＝4）＝＝，所以X的分布列为：X01234P因为X服从二项分布X～B（4，），所以X的数学期望E（X）＝．20．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BCC1B1为矩形，ABB1A1是边长为2的菱形，BC＝1，AC＝，（1）证明：平面A1BC⊥平面ABB1A1；（2）若AC＝A1C，求三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积．【解答】（1）证明：因为侧面BCC1B1是矩形，所以BC⊥BB1，又因为BC＝1，AB＝2，AC＝，所以BC2+AB2＝AC2，所以BC⊥AB，又AB∩BB1＝B，所以BC⊥平面ABB1A1，又因为BC⊂平面A1BC，所以平面A1BC⊥平面ABB1A1；（2）解：取AA1的中点M，连接CM，BM，因为AC＝A1C，所以CM⊥AA1，又因为CB⊥平面ABB1A1，所以BM⊥AA1，且CM∩BM＝M，所以AA1⊥平面BCM；因为CM＝＝＝2，所以BM＝＝＝，所以三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为：V＝S△BCM•AA1＝•BM•BC•AA1＝××1×2＝．21．在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别F1、F2焦距为2，且与双曲线﹣y2＝1共顶点．P为椭圆C上一点，直线PF1交椭圆C于另一点Q．（1）求椭圆C的方程；（2）若点P的坐标为（0，b），求过P、Q、F2三点的圆的方程；（3）若＝λ，且λ∈[，2]，求的最大值．【解答】解：（1）由题意得c＝1，a2＝2…（2分）故椭圆的方程为．…（3分）（2）因为P（0，1），F1（﹣1，0），所以PF1的方程为x﹣y+1＝0由，解得点Q的坐标为．…（5分）设过P，Q，F2三点的圆为x2+y2+Dx+Ey+F＝0…（6分）则解得所以圆的方程为…（8分）（3）设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，因为，所以，即所以，解得…（10分）所以＝…（12分）因为，所以，当且仅当，即λ＝1时，取等号．最大值为．…（14分）22．已知函数f（x）＝aex﹣x2（a∈R）（其中e≈为自然对数的底数）．（1）当a＝1时，求证：函数f（x）图象上任意一点处的切线斜率均大于；（2）若对于