2023届宁夏吴忠市高三模拟联考试数学（文）试题

2023届宁夏吴忠市高三模拟联考试数学（文）试题一、单选题1．在复平面内，复数对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【解析】利用复数的乘除运算法则化简复数，即可得到结论.【详解】由题意，，所以，复数对应的点为，即为第三象限的点.故选：C.【点睛】本题考查了复数与复平面对应点之间的关系，属于基础题.2．设集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先化简集合B，再利用集合的交集运算求解.【详解】解：因为，所以，故选：A.3．已知双曲线的一条渐近线的方程为，则（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】求出双曲线的渐近线方程为，结合已知条件，即可得出答案.【详解】由得渐近线的方程为，即，由一条渐近线的方程为得，.故选：C.4．在学生人数比例为2：3：5的A，B，C三所学校中，用分层抽样方法招募n名志愿者，若在A学校恰好选出了6名志愿者，那么n=（

）A．9 B．15 C．24 D．30【答案】D【分析】设A学校的学生人数为2k，得到三所学校共有学生10k人，再利用比例求解.【详解】解：设A学校的学生人数为2k，则三所学校共有学生10k人，由题意：.故选：D.5．设，则“”是“”的（

）A．充分必要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】由得到或，再利用充分条件和必要条件的定义求解.【详解】由可得，所以，或，所以“”等价于“，或”，所以“”是“”的必要不充分条件，故选：C.6．已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，且，则（

）A．16 B．8 C．4 D．2【答案】B【分析】根据等比数列的性质，设出基本量和，列出方程，可求解.【详解】设正数的等比数列的公比为，则，解得（负值舍去），.故选：B.7．某城新冠疫情封城前，某商品的市场需求量y1（万件），市场供应量y2（万件）与市场价格x（百元/件）分别近似地满足下列关系：，，当时的需求量称为平衡需求量，解封后，政府为尽快恢复经济，刺激消费，若要使平衡需求量增加6万件，政府对每件商品应给予消费者发放的消费券补贴金额是（

）A．6百元 B．8百元 C．9百元 D．18百元【答案】C【分析】求出封城前的平衡需求量，可计算出解封后的需求量，利用需求量计算价格差距即为补贴金额.【详解】封城前平衡需求量时的市场价格x为，平衡需求量为30，平衡价格为20，解封后若要使平衡需求量增加6万件，则，，则补贴金额为.故选：C.8．已知和都是锐角，向量，，则（

）A．存在和，使得 B．存在和，使得C．存在和，使得 D．存在和，使得【答案】B【分析】依题意可得，根据数量积的坐标表示及和角公式得到，即可判断A、C，当时可以判断B，根据数量积的运算律判断D.【详解】因为和都是锐角，所以，又，，所以，，，因为，所以，故，因此A和C错误；当时，，即，所以B正确；，所以D错误；故选：B.9．已知函数的定义域为，值域为，则m的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据已知可推得.又，结合正弦函数的图象可知，解出不等式即可得出答案.【详解】因为值域为，所以.又，所以，根据正弦函数的图象可知，解得，所以m的最大值是.故选：C.10．已知，，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】构造函数并利用其单调性得出，即可得到，构造函数并利用其单调性得出，再利用中间值得，从而得到结果.【详解】设函数，，则，当时，，所以在上单调递增，所以，所以，所以，即，得；设函数，则，当时，，所以在上单调递减，当时，，所以在上单调递增，所以，当且仅当时等号成立，所以，即；又，所以，所以，综上，故选：C.11．已知定义在R上的函数满足，，且对任意的，当时，都有，则满足不等式的x的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用已知条件可知函数的奇偶性和单调性，进而利用其单调性解不等式.【详解】解：由，推出，因为，则在上为增函数，又，所以为奇函数，所以为奇函数，所以在R上为增函数.因为，所以，，所以，即.故选：B.12．设，若函数的最小值为，是从六个数中任取一个，那么恒成立的概率是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】当时，无最小值；当时，；当时，利用导数可求得时的，结合时可构造不等式组，结合的单调性和可求得的范围，从而确定的取值；列举出所有基本事件和满足题意的基本事件，根据古典概型概率公式可得结果.【详解】若，当时，为增函数，且，不合题意；若，，则最小值为；若，当时，的最小值为；当时，，则若，则；若，则；在上单调递减，在上递增，此时的最小值为；，，则；设，则在上单调递增，又，的解为；综上所述：实数的取值范围为，又，或；设事件：“恒成立”，所有取值构成的基本事件有：，，，，，，，，，，，，共个；事件包含的基本事件有：，，，，，，，，，共个；.故选：B.【点睛】关键点点睛：本题考查函数与概率的综合应用问题；解题关键是能够通过分类讨论的方式，结合导数的知识求得的单调性，从而利用最小值来构造不等式求得的值，进而采用列举法来求得所求概率.二、填空题13．在中，已知，，，则___________.【答案】【分析】根据余弦定理即可求出的余弦值.【详解】在中，.故答案为：14．已知直线与曲线相切，则k=___________.【答案】1【分析】设切点为，，根据导数的几何意义推得.由可推得.构造函数，根据导函数可推得有唯一解，求出，即可得出答案.【详解】设切点为，，则.根据导数的几何意义，可知.又，即.令，则，所以当时，；当时，，所以，在处取得极小值，也是最小值.又，所以有唯一解，所以，即切点为，所以.故答案为：1.15．已知点，点P在抛物线上运动，F是抛物线的焦点，连接PF并延长与圆交于点B，则的最小值是___________.【答案】4【分析】求出焦点，设.表示出，令，换元根据基本不等式即可求出答案.【详解】由题意可知，抛物线的焦点为.设点，则由抛物线的定义得，.要使最小，则应有，此时有.令，则，，因为，显然有，则由基本不等式知，当且仅当，即时等号成立.故的最小值为.故答案为：4.16．已知表面积为54的正方体的顶点都在球O上，过球心O的平面截正方体所得的截面过正方体相对两棱，的中点F，E，设该截面与及的交点分别为M，N，点P是正方体表面上一点，则以截面EMFN为底面，以点P为顶点的四棱锥的体积的最大值为___________.【答案】9【分析】由正方体表面积求出正方体的棱长，判断棱锥高最大时点的位置，等体积法计算四棱锥的体积，并求出最大值.【详解】设该正方体的棱长为a，球的半径为r，所以有，解得，所以该正方体的棱长为3.如题图，由题意可知，若该截面必过正方体相对两棱BB1，DD1的中点F，E，则该截面EMFN为菱形，显然，而，所以，显然，所以，而，，平面，所以平面.由题图可以看出当点与点或点重合时棱锥的高最大，为球的半径.，而，则；综上所述，所求四棱锥的体积的最大值为9.故答案为：9三、解答题17．某企业为了扩大产能规模并提高生产效率，对生产设备进行升级换代，为了对比生产设备升级后的效果，采集了生产设备升级前后各20次连续正常运行的时间（单位：天），得到以下数据：升级前：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，；升级后：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，.(1)完成下面列联表；生产设备连续正常运行超过天生产设备连续正常运行不超过天合计生产设备升级前生产设备升级后合计(2)是否有的把握说明生产设备升级与设备连续正常运行的时间有关？参考公式：，其中参考数据：.【答案】(1)列联表见解析(2)有的把握说明生产设备升级与设备连续正常运行的时间有关【分析】（1）根据已知数据直接补充列联表即可；（2）由列联表可计算得到，由独立性检验的思想可得到结论.【详解】（1）根据已知数据可得列联表如下：生产设备连续正常运行超过天生产设备连续正常运行不超过天合计生产设备升级前生产设备升级后合计（2）零假设生产设备升级与生产设备连续正常运行的时间无关，由列联表数据可得：，错误，即有的把握说明生产设备升级与设备连续正常运行的时间有关.18．已知数列各项均为正数，且，.(1)求的通项公式；(2)设，求.【答案】(1)；(2).【分析】（1）由已知可推得，即可根据等差数列求出通项公式；（2）裂项可得，求和即可得出答案.【详解】（1）由可得，.因为是各项均为正数的数列，所以，所以.又，所以数列是以1为首项，2为公差的等差数列，所以.（2）由（1）知，.则，所以.19．如图，在四棱锥中，侧面底面ABCD，且，，，.(1)求证：；(2)求点A到平面PBD的距离.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）找到在面的射影，证明与在面的射影垂直，即可利用线面垂直证明得到线线垂直.（2）根据题意，设点A到平面PBD的距离为，利用等体积法，得到，进而分别求出，，，可求出的值.【详解】（1）取CD中点O，连接PO，AO，BO，因为，所以，又平面平面ABCD，平面PCD，平面平面，所以平面ABCD，而平面ABCD，所以；因为且，所以四边形ABOD为平行四边形，又，所以平行四边形ABOD为菱形，因此，因为，平面POA，平面POA，所以平面POA，因为平面POA，所以；（2）由（1）知，，所以为等边三角形，所以，因此，的面积，在直角三角形POD中，，又平面，所以，在直角三角形POB中，，所以在中，，，的面积，设点A到平面PBD的距离为h，则三棱锥的体积，所以，综上，点A到平面PBD的距离为.20．已知函数.(1)当时，求函数在点处的切线方程；(2)若且恒成立，求a的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）代入，得到，求出导函数，根据导数的几何意义求得切线的斜率，即可得出答案；（2）因为，分离参数可得.构造函数，根据的导函数，得出的单调性，进而得出函数的最大值为，即可得出，进而得出的取值范围.【详解】（1）当时，，，可得，故，所以函数在点处的切线方程为.（2）由已知，所以，由，得.因为，所以上式可化为.令，则，令，则.因为，所以，所以为上的减函数，且，故时，，即，所以在上单调递增；当时，，即，所以在在上为单调递减.所以，当时，取得极大值，也是最大值.则要使在上恒成立，则应有.又因为，故.21．已知椭圆的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过，两点.(1)求椭圆的方程；(2)设过点的直线交椭圆于C，D两点，过D作平行于y轴的直线与直线AB交于点M，与直线AC交于点N.证明：.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）由于椭圆的焦点位置未知，可设椭圆的一般式方程，将点代入所设方程，即可求解；（2）根据题目条件画出草图，可把证明转化成证明M为ND中点的问题，故根据题设条件进行联立分别表示出点的坐标，再证明即可．【详解】（1）设椭圆的方程为，因过，，故,解得，，所以椭圆的方程为：；（2）由题意知直线PC一定存在斜率，故可设PC的方程为：，设，，，，联立，化简可得：，所以，①因，，所以直线AB的方程是，联立，，又直线AC的方程为，联立，，②将上式①式带入②可得：，所以M为ND中点，所以有.【点睛】（1）解答直线与椭圆综合的题目时，时常把直线方程与椭圆方程联立，消去（或）建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并根据题设条件建立有关参变量的等量关系；（2）对于证明面积关系的问题，需要注意转化成边的关系进行简化计算．22．在直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为（t为参数且），与坐标轴交于A，B两点.(1)求；(2)曲线的参数方程为（θ为参数），求上的点到直线AB距离的最小值.【答案】(1)(2)【分析】（1）分别令和可求得、坐标，然后可得；（2）由点到直线的距离公式计算可得.【详解】（1）令，则，解得，或（舍），则，即，令，则，解得，或（舍），则，即，；（2）设上点的坐标为，由（1）知直线AB的方程为，则上的点到直线AB的距离，当时，d取最小值.23．已知关于x的不等式.(1)当时，解