2023届江西省景德镇市高三第一次质检数学（文）试题

2023届江西省景德镇市高三第一次质检试题数学（文）试题一、单选题1．已知集合，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出集合AB，再根据交集的概念得答案.【详解】故选：C.2．已知复数满足（为虚数单位），则的虚部为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据复数的概念与复数的除法运算解题即可.【详解】由题，所以的虚部为故选：B3．我国古代数学名著《九章算术》有一抽样问题：“今有北乡若干人，西乡四百人，南乡两百人，凡三乡，发役六十人，而北乡需遗十，问北乡人数几何？“其意思为：“今有某地北面若干人，西面有400人，南面有200人，这三面要征调60人，而北面共征调10人（用分层抽样的方法），则北面共有（

）人．”A．200 B．100 C．120 D．140【答案】C【分析】根据分层抽样的定义结合题意列方程求解即可【详解】设北面共有人，则由题意可得，解得所以北面共有120人，故选：C4．已知双曲线的一条渐近线方程是，则该双曲线的离心率为（

）A． B．2 C． D．【答案】A【分析】根据双曲线的渐近线方程，推出的关系，再利用和进行化简，即可求出双曲线的离心率.【详解】由题意可知，双曲线的焦点在轴上，且一条渐近线方程是，可得，则，又因为，所以，，即，解得：，所以该双曲线的离心率为.故选：A.【点睛】本题考查由双曲线的渐近线方程求离心率，属于基础题.5．若将函数的图像向右移后关于原点中心对称，则的可能是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先由条件判断函数关于点对称，代入得，即可求解.【详解】由条件可知，函数关于点对称，则，，得，，当，，故选：A6．若实数x，y满足约束条件，则的最大值为（

）A．3 B．10 C． D．【答案】B【分析】画出不等式表示的平面区域，然后利用中的表示在轴上的截距，观察图像可得答案.【详解】画出不等式组表示的平面区域，如下图对于，得，直线过点A时，取最大值，联立，得，此时故选：B.7．执行如图的程序框图，输出的S值是（

）A． B． C．0 D．1【答案】C【分析】运行程序，结合三角函数的周期性求得正确答案.【详解】，，判断否；，判断否；，判断否；，判断否；，判断否；，判断否；……以此类推，，，判断否；判断是，输出.故选：C8．三棱锥中，平面，为直角三角形，，，，则三棱锥的外接球的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据线段垂直关系，将三棱锥置于长方体中，根据各棱长可求得其外接球的半径，即可求得其外接球的表面积．【详解】由于三棱锥中，平面ABC，，，故将该三棱锥置于一个长方体中，如下图所示：则体对角线即为外接球的直径，所以，故三棱锥的外接球表面积为．故选：D9．已知函数，若，则的最小值为（

）A．4 B． C． D．5【答案】B【分析】根据分段函数的单调性与取值情况，若，不妨设，则可得，且，则，再根据可得，将转化为关于的式子，结合基本不等式即可求最小值.【详解】解：函数，则函数在和上分别单调递减，且，则，，若，不妨设，且，则，同样，则由，得，于是得，则，当且仅当，即时等号成立，故的最小值为.故选：B.10．半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美．二十四等边体就是一种半正多面体，它是由正方体的各条棱的中点连接形成的几何体、它由八个正三角形和六个正方形围成（如图所示），若它所有棱的长都为2，则下列说法错误的是（

）A．该二十四等边体的表面积为B．平面C．直线与的夹角为D．该半正多面体的顶点数V、面数F、棱数E，满足关系式【答案】B【分析】由三角形和正方形面积公式即可求出二十四等边体的表面积，线面垂直判定定理，利用平移求异面直线夹角，推理分析即可判断结果.【详解】对于A，，，，故A正确；对于B，由图可知,,但BF与AB和AE都不垂直，所以QH不可能与平面ABE垂直，故B错误；对于C，由图可知，而直线AH与AD的夹角为，所以直线与的夹角为，故C正确；对于D，该半正多面体的顶点数为12、面数为14、棱数为24，满足，故D正确；故选：B.11．已知点为抛物线：的焦点，过点F且倾斜角为60°的直线交抛物线于A，B两点，若，则（

）A． B．1 C． D．2【答案】C【分析】通过抛物线焦点坐标及点斜式即可求解出直线的方程，代入的方程，设，根据根与系数关系即可得出与的关系，通过抛物线上的点到焦点的距离与该点到抛物线准线距离相等可知，代入即可转化为关于的二元一次方程，即可求解.【详解】由题意知的方程为，代入的方程，得，设，则；因为，且，所以，整理得，所以，结合，解得.故选：C12．已知中，设角、B、C所对的边分别为a、b、c，的面积为，若，则的值为（

）A． B． C．1 D．2【答案】B【分析】首先根据正弦定理将等式中的角转化成边得：，通过余弦定理可将等式化简整理为，通过三角函数图像可知，同时通过基本不等式可知，即得，通过取等条件可知，，将其代入问题中即可求解答案.【详解】已知由正弦定理可知：，，整理得：，两边同除得：，根据余弦定理得：，即，，，，当且仅当，即时等号成立.又，当且仅当时，等号成立.综上所述：且，故得：，此时且，，.故选：B二、填空题13．嫦娥九号的成功发射，实现了中国航天史上的五个“首次”，某中学为此举行了“讲好航天故事”演讲比赛．若将报名的30位同学编号为01，02，…，30，利用下面的随机数表来决定他们的出场顺序，选取方法是从随机数表第1行的第4列和第5列数字开始由左到右依次选取两个数字，重复的跳过，则选出来的第7个个体的编号为_______________．45

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81【答案】【分析】根据随机数表法求得正确答案.【详解】依题意可知，选出的个体编号为：等等，所以选出来的第7个个体的编号为.故答案为：14．已知单位向量，，且，则___________.【答案】【分析】根据向量垂直的数量积表示化简，再由模的性质运算即可得解.【详解】因为单位向量，，且，所以，即，因为，所以，故答案为：.15．对任意实数，都有恒成立，则的取值范围为______________．【答案】【分析】利用二倍角公式将式子变形可得恒成立，令，则问题转化为，在上恒成立，对分类讨论，参变分离，结合函数的单调性计算可得.【详解】解：由得，即恒成立，令，，则原式变形为，在上恒成立，当时恒成立；当时，令，则在上单调递减，所以，所以；当时，又在上单调递减，所以，所以；综上可得，即的取值范围为.故答案为：16．已知数列为等差数列，数列为等比数列且公比.数列和数列的前和分别为和，且满足，则等差数列的通项公式为_____________.【答案】【分析】分别令，得到，设的公差为，化简得到，解方程组可得答案.【详解】由已知得，令得，，根据等比数列求和公式，得到，故，设的公差为，则，化简得，故答案为：三、解答题17．数列满足，且(1)证明：数列为等比数列；(2)求数列的前n项和．【答案】(1)见详解(2)【分析】（1）利用定义法即可证明等比数列.（2）利用等比数列求和公式化简即可.【详解】（1）由已知，，所以故，又因为，所以所以数列是首项为，公比为的等比数列（2）由（1）知，令，所以所以故18．如图，正三棱柱中，E，F分别是棱，上的点，平面，且M是的中点．(1)证明：平面平面；(2)若，求四面体的体积．【答案】(1)证明见解析；(2).【分析】（1）在平面中构造与平面垂直的直线，通过证明面，即可由线面垂直证明面面垂直；（2）由，利用等体积法求出四面体的体积即可.【详解】（1）过作的平行线交分别于点，连接，如下所示：因为是正三棱柱，故可得面面，故；又三角形为等边三角形，为中点，故；又面，，故面；因为，则确定一个平面，即面，又面，面面，故可得，则面，又面，故面面.（2）根据（1）中所证，可得，故四边形为平行四边形，在△中，因为，且点为中点，故可得，又，则，所以，又正三棱柱中到平面的距离为，即到平面的距离，所以.19．中国共产党第二十次全国代表人会于2022年10月16日在北京召开，某地教育局党委组织了全市党员教师学习会议报告，并组织了相关知识竞答．此次知识竞答共有100名教师参赛，成绩均在区间内，现将成绩制成如图所示频率分布直方图（每组均包括左端点，最后一组包括右端点）．(1)教育局计划对成绩不低于平均分的参赛教师进行奖励，若同一组中的数据用该组区间的中点值为代表，试求受奖励的分数线的估计值；(2)对这100名参赛教师的成锁按参赛者的性别统计，成绩不低于80分的为“良好”，低于80分的为“不良好”得到如下未填写完整的列联表．良好不良好合计男8女52合计①将列联表填写完整：②是否有以上的把握认为参赛教师的成绩是否良好与性别有关？附：【答案】(1)(2)①列联表见解析；②没有【分析】（1）根据频率之和为1求得，再根据平均数的求法求出平均数即可；（2）①分别求出成绩不低于80分的人数和成绩低于80分的人数，再完成列联表即可；②根据公式求出，再对照临界值表即可得出结论.【详解】（1）解：，平均分为，所以受奖励的分数线的估计值为分；（2）解：①解：成绩不低于80分的人数为，成绩低于80分的人数为，列联表如下：良好不良好合计男84048女163652合计2476100②，所以没有以上的把握认为参赛教师的成绩是否良好与性别有关.20．已知椭圆，长轴是短轴的倍，点在椭圆上，且点在轴上的投影为点．(1)求椭圆的方程；(2)设过点的且不与轴垂直的直线交椭圆于、两点，是否存点，使得直线，直线与轴所在直线所成夹角相等？若存在，请求出常数的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)【分析】（1）依题意，即可得到椭圆的方程即为，再将点代入方程，求出，即可得到，从而得解；（2）设直线为，，，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，依题意，即可得到方程，解得即可.【详解】（1）解：依题意，即，所以椭圆即，又椭圆过点，所以，解得，所以，所以椭圆方程为；（2）解：因为直线不与轴垂直，所以设直线为，，，由，消去整理得，，所以，，因为，所以，所以，即，即，即，解得.21．已知函数，其中a为大于0的常数，若．(1)讨论的单调区间；(2)若在取得极小值，求的最小值．【答案】(1)当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在和上单调递增，在上单调递减；当时，在和上单调递增，在上单调递减；(2)【分析】（1）求出，分类讨论当时，和时，研究的正负，进而判断函数的单调区间；（2）由（1）知，当时，在处取得极小值，即，得到，其中，利用导数研究函数的单调性，进而求得最值.【详解】（1），求导，由，令，得，（1）当时，，当和时，，所以在和上单调递增；当时，，所以在上单调递减；（2）当时，，当时，，所以在上单调递减；当时，，所以在上单调递增；（3）当时，，当和时，，所以在和上单调递增；当时，，所以在上单调递减；综上，当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在和上单调递增，在上单调递减；当时，在和上单调递增，在上单调递减；（2）由（1）知，当时，在处取得极小值，不符合题意；当时，在处取得极小值，即，则，其中令，即求求导令，得，即当时，，所以在上单调递减；当时，，所以在上单调递增；故在处取得极小值，即最小值所以的最小值为22．在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为：．(1)求的普通方程和直角坐标方程；(2)若，交于A、B两点，点P的极坐标为，求的值．【答案】(1)：；：.(2)【分析】（1）消去参数可得的普通方程，利用极坐标与直角坐标的互化公式可得的直角坐标方程.（2）把的参数方程化为标准形式后,代入的普通方程,利用参数的几何意义以及韦达定理可得.【详解】（1）消除参数可得直线的直角坐标方程为，曲线的极坐标方程为：，可得，即（2）由点的极坐标可得直角坐标为直线的参数方程（为参数）代入曲线的直角坐标方程得：设交点，