信号与系统复旦通信科学工程系

signalssignalsand复旦大学通信科学与工程系胡蝶计算中心hxt1Xjejt2Xj xte 分析方法之所以在信号与LTI变换是以复指数函数中的特例，也即ejt为基分解信号。对于更一般的复指数函数est 2通过本章会看到拉氏变换具有很多的重要性质。拉氏变换不仅能适用变换相变换的法可以解决的信号与系统分析问题，而且还能解叶分析方法不适用的许多方面。拉氏变换分析方法是傅里叶分析法的推广， 分析是它的特例。3五、用拉氏变换分析与表征LTI七、单边变4——复指数信号eLTI系统的特征函数。如果LTI统的单位冲激响应为h(t)，则系统对est产生的响应是y(t)H(s)e，其中H(s) h(t)esj时，就1.双边拉氏变换的定义X(s)x(t)ex(t)的双边拉氏变换sj5—若0，sj则有:X(j)x(t j这就是x(t)变换表明：的特例由于X(s)x(t)estdt=x(t)ete[ [x(t)et t6—所以—所以x(t)的拉氏变换就是x(t)et变换。只要有合适的存在，就可以使某些本来不满足狄条件的信号在引入et后满足该条件。即有些信号的傅氏变换不收敛而它的拉氏变换存在。7—例9.1：x(ta0时，x(tX(j)edta(aX(s)eedt e 1ajsRe[saa0Re[sa，包括了0（即j轴）。8——X(s)Xj)，显然有X(s)sjX当a0时 x(t)eatu(t)sa0时Re[s]例9.2x(t)X(s)eedt e0at0(a)tRe[s]s9—与例9.1比较，区别仅在于收敛域例9.1的收敛例9.2的收敛——由以上例子，可以看出1.拉氏变变换一样存在收敛问题,不是所信号都存在拉氏变换，也不是s平面上的任何使拉氏变换收敛2.使拉氏变换积分收敛的那S的集合，称为拉氏变换的收敛域ROC，拉氏变换的ROC（Regionof—不同的信号可能会有完全相同的拉氏变换表达式，只是它们的收敛域不同。只有拉氏变换表达式连同相应的收敛域，才能和信号建立一一对应的关系。如果拉氏变换的ROC包含j轴，则X(j)X(s)—2—2.拉氏变换的ROCj例 etu(t)1s,Re[s]je2tu(t) ,Re[s]1s—∴ܺݏൌ1൅12ݏ൅3൅1ݏ൅2ݏଶ൅3ݏjRe[s]2该例中拉氏变换的收敛域是各个收敛域的公共部分。总是以平行于j——(si若X(s)是有X(s)N (siiM 分子多项式的根称为零点，分母多项式的根称为极点将s)的全部零点和极点表示在S平面上就构成了零极点图。零极点图及其收敛域可以表示一个)，最多与真实的s相差一个常数因子M。因此，零极点图是拉氏变换的图示方法五、用拉氏变换分析与表征LTI七、单边变ROCROC的性质.X(s)[x(t)e]edt[x(t)e]只与实部有ROC内无任何极若x(t)为时限信号且绝对可积，则ROC是整个S平面若x(t)是右边信号，且Re{s这条线位于收敛则Re{s的全部值也一定在收敛域内。也即信号的ROCS平面内某一条平行于j轴的直线的若x(t)是左边信号，且Re{s这条线位于收敛域内，则Re{s的全部值也一定在收敛域内。也即左边信号的ROC是S平面内的一j轴的直线的若x(t)是双边信号Re{s这条线位于收敛域内，Re{s位于带中。也即双边信号的ROC如果存在，s平面内平行于j轴的带形区 例9.6x(t)eat0൅ݐ其X(s) eedt dt sሺሻ有极点ݏൌ(sa)Tj2saj2由于ܺሺݏሻݏൌൌܺ也有一阶零点，零极点相抵消，所T例例9.7x(t)ejx(t)ebtu(t)bebtu(t)1sRe[s]ebtu(t)1sRe[s]当b0时，上述ROC有公共部分X(s)1s sbRe[s]b0时，上述ROC无公共部分，表明X(s)不存在当X(s)是有理函数时，其ROC总是由X(s)的极点分右边信号的ROC一定位于X(s)最右边极点的右左边信号的ROC一定位于X(s)最左边极点的左边双边信号的区域。jj例9.8X(s) (s1)(s可以形成三种ROC：Re[s]1，此时x(t)是右边信号ROCRe[s2，此时x(t)是左边信号ROC2Re[s]1，此时x(t)是双边信号五、用拉氏变换分析与表征LTI七、单边变三1.三1.定义：sj在ROC内，则有X(s)X(j)[x(t)et X2j)ex(t) X(2)etsj得ds当时sj三x(t)2jjX(s)eX(s)拉氏反变换表明x(t)可以被分解成复指数信号est三三拉氏反变换的求法对有理函数形式的X(s)求反变换一般有两种方法,即部分分式展开法将X(s)根据X(s)的ROC，确定每一项的ROC利用常用信号的变换对与拉氏变换的性质项进行反变换。三例:Xs)1(s1)(s2ROC:2Re[s]X(s)11s sROC:Re[s]1etu(t)s11ROC:Re[s]2,e2tu(t)sx(t)etu(t)五、用拉氏变换分析与表征LTI七、单边变四拉氏变换与傅氏变换一样具有很多重要的性质。这里只重于ROC的讨论1.线性 x1(t)X1x2(t)X2ROC:ROC:则ax1tbx2taX1sbX2ROC包括R1R1与R2无交集时，表明X(s)不存四例:四例:x(t)teux(t)etL{tt)edt1ROC为整个SX(s)11s2s1sROC:X(s)12sROC:x1(tx2(tt1ROC为整个S四2.时移性质若x(t)X ROC:则x(tt)X ROC03.S域平移若x(tXROC:则x(t X(sss),ROC:RRe[s00表明X(ss0)的ROC是将X(s)的ROC平移了一个Re[s0]四四例:x(t)etutX(s)1 sX(s2)1sx(t)e2te3tu显然ROC四4.时域尺度变换 x(t)X ROC:则x(at)1X(s ROC:信号在时域尺度变换，其拉氏变换的ROC在S平面上作相的尺度变换。特别地：x(t)X(s),ROC例.x(t)etutX(s1,x(t2et2ut的拉氏变换及X(s)2s12s ROC: 变换的性5.若x(tX(s),ROCRx(t)X(s),ROC:x(t)为实x(t)X(s)由此可得以下结论则X(s一定在s也有极点或零点。这表明：实信如果x(t)是实信号，且X(s在s0有极点（或零点0拉氏变换其复数零、极点必共轭成对四6.卷积性质若x1(t)X1(s),ROC:x2tX2s),ROCR2x1(tx2tX1(sX2 ROC包括R1例.X1(s) 1sROC:R1X(s) s ,2s2s3ROC:R2显然有:R1R2四X四X1(s)X2(s)s2s312,ROC原因是1()与2()相乘时，发生了零极点相抵消的现象。当被抵消的极点恰好在的边界上时，就会使收敛域扩大。7.时域微分若x(t)X ROC:则dx(t)sXROC包括R,四8.S域微分:若x(tXROC:则tx(t)dX(s) ROC:例9.14:x(teatu(t)L1,Re{s}asateatu(t)Ld1dssasaRes重复上述过 ,Re{s}t1 (s可得一般形 1(n(sRe{s}四9四9.时域积分若x(t)X( ROC:则t1x()d X(sROC包括R(Re[s x(tx(t) xt1 X(ssROC:R(Re[s]四10.初值与终值定理如果x(t)是因果信t0不包含奇异函数，则x(0limsX(s)——初值定limx(tlimsX ——终值定t 基本函变换（五、用拉氏变换分析与表征LTI七、单边变五用拉氏变换分析与表征LTI系1.系统函数的概念：以卷积特性为基础，可以建立T分析方法，即Y(s)X(s)H其中H(s)是h(t)的拉氏变换，称为系统函数或转移函数如果Y(s)的ROC包括j轴，则X(s)和H(s)的ROC必定包括j轴，以sj代入，即有Y(j)X(j)H(j这就是LTI系统 分析。H(j)即是系统的频率响应五用拉氏五用拉氏变换分析与表征LTI系统的许多重要特性在H(s)及其ROC2.用系统函数表征LTI(1t0h(t0，则系统是因果的如果t0h(t)0，则系统是反因果的。是某个右半平面。由于反因果系统的h(t是左边信号，其H(s)的ROC是某个左半平面。五用拉氏变换分析与表征LTI应是否因果。只有H(s是有理函数时，逆命题才成立，效于ROC例9.19:考虑系统H esReseutsReseut1 Res Leshte(t1)ut可见当H(s)不是有五五用拉氏变换分析与表征LTI系(2)稳定H(s)的收敛域还可以与系统的稳定性联系起来。系统稳定，则h(t)dt，因此Hj必在。意味着H(s)的ROC必然包括j轴当系统H(s)的收敛域包含j轴，则该LTI系综合以上两个性质，可以得到：对于一个具有有理数H(s)的因果稳定系统，其全部极点必须位于S平面五用拉氏变换分析与表征LTI系例9.20:已知一个LTI系统的系统函s1s2s1s如果有关于系统因果性或稳定性方面的信息，则可以确定冲激响应。Hs s 2313若已知系统因果ht eeu 13t-注意此时对应的系统是不五五用拉氏变换分析与表征LTI系若已知系统稳定ht2etut1e2tut 若系统是反因果且不稳定ht 1e3t五用拉氏变换分析与表征LTI系如果T系统的系统函数是有理函数，若系统因果，则系统函数的C是最右边极点的右边；若系统反因果，则系统函数的是最左边极点的左边。反之亦成立。如果LTI系统是稳定的，则系统函数的ROC必然包括轴如果一个具有有理系统函数的LTI因果系统，其全部极点位于平面的左半边，则系统是稳定的。五用拉氏五用拉氏变换分析与表征LTI 由线性常系数微分方程描述的LTINdkMkdkk NMasYk bsXkkkMkH(s)Y(s)Xbk Na,kk其零点 bs0的解，极点 as0的MNkkkkk k五用拉氏变换分析与表征LTIH(s)的ROC则(s)的必是最右边极点的右边。如果已知线性常系数微分方程则H(s)的C必包括轴。五五用拉氏变换分析与表征LTI系例9.23:考虑一个LTI系dy(t)3y(t)x(t)H(s)Y(s)1X(s)s若系统是因果的Res3hte3tut若系统是反因果的，则Res3hte3tut例9.25-9.27五、用拉氏变换分析与表征LTI七、单边变六六系统并级h(t)h1(t)hH(s)H(s)Hh(t)h1(t)*h2H(s)H1(s)H2ROC:包括R1ROC:包括R1六反馈互E(s)X(s)ZY(s)Z(s)H2(s)YY(s)H(s)[X(s)H(s)YH(s)Y(s)XH11H1(s)H2例9.30:考虑一因果LTI例9.30:考虑一因果LTIH(s)11(s1)(s2)s23sdy(t)3dy(t)2y(t)dt H(s)1(s1)(s2)s1s1H(s) (s1)(s1s1s例9.31例9.31考虑系统H(s2s4s六s23s可写为H(s (2s4ss23s22s+4s-6 y(t)2dz(t)4dz(t)6z(t)2e(t)4f(t) 六+++直接六六还可将H(s)写H(s)2(s1)s3 s2s1级联或H(s)26s2s并联五、用拉氏变换分析与表征LTI七、单边变变变1.定义(s) x(t)e0如果x(t)变单边拉氏变换也同样存在ROC。其ROC号双边拉氏变换时的要求，即：其。x(t)1j(s)e2j例9.33:x(t)ea(t1)u(t做双边拉氏变换X(s)做单边拉氏变换变1sRe[s](s)0 ea(t1) dt (sa1seRe[s]X(s)与(s)不同，是因为x(t)t0的部分对X有作用而对(s)没有任何作用变例9.36:考虑如下单边拉氏(s)