高三导数与函数的极值

高三导数与函数的极值第1页，共39页，2023年，2月20日，星期四二、函数的极值与导数1．函数的极小值函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在x＝a附近其它点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧

，右侧

，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．f′(x)＜0f′(x)＞0第2页，共39页，2023年，2月20日，星期四2．函数的极大值函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近的其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧

，右侧

，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．极小值点，极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．f′(x)＞0f′(x)＜0第3页，共39页，2023年，2月20日，星期四解析：∵f′(x)＝3x2＋2ax＋3，f′(－3)＝0，∴a＝5.答案：D1．若函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9在x＝－3时取得极值，则a等于(

)A．2

B．3C．4 D．5第4页，共39页，2023年，2月20日，星期四3．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点(

)A．1个 B．2个C．3个 D．4个变式上述图像为f(x)的图像则该函数的极值情况如何？第5页，共39页，2023年，2月20日，星期四解析：若f′(x)>0，则f(x)单调递增；若f′(x)<0，则f(x)单调递减．极小值点应有先减后增的特点，即f′(x)<0→f′(x)＝0→f′(x)>0.由图象可知只有1个极小值点．答案：A第6页，共39页，2023年，2月20日，星期四1．f′(x)>0与f(x)为增函数的关系：f′(x)>0能推出f(x)为增函数，但反之不一定．如函数f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上单调递增，但f′(x)≥0，所以f′(x)>0是f(x)为增函数的充分不必要条件．第7页，共39页，2023年，2月20日，星期四2．可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，即f′(x0)＝0是可导函数f(x)在x＝x0处取得极值的必要不充分条件．例如函数y＝x3在x＝0处有y′|x＝0＝0，但x＝0不是极值点．此外，函数不可导的点也可能是函数的极值点．3求函数极值的步骤第8页，共39页，2023年，2月20日，星期四1已知函数f(x)＝x2＋3x－2lnx，求函

数f(x)的极值第9页，共39页，2023年，2月20日，星期四第10页，共39页，2023年，2月20日，星期四第11页，共39页，2023年，2月20日，星期四第12页，共39页，2023年，2月20日，星期四(2)若f(x)为R上的单调函数，则f′(x)在R上不变号，结合①与条件a>0，知ax2－2ax＋1≥0在R上恒成立，因此Δ＝4a2－4a＝4a(a－1)≤0，由此并结合a>0，知0<a≤1.第13页，共39页，2023年，2月20日，星期四第14页，共39页，2023年，2月20日，星期四思考若函数在某个区间上没有极值点则该函数在该区间上的图像情况如何？第15页，共39页，2023年，2月20日，星期四例3已知a∈R，讨论函数f(x)＝ex(x2＋ax＋a＋1)的极值点的个数．第16页，共39页，2023年，2月20日，星期四即此时f(x)有两个极值点．

(2)当Δ＝0即a＝0或a＝4时，方程x2＋(a＋2)x＋(2a＋1)＝0有两个相同的实根x1＝x2.由题易知f(x)无极值．

(3)当Δ<0即0<a<4时，同理可得f(x)此时无极值．第17页，共39页，2023年，2月20日，星期四第18页，共39页，2023年，2月20日，星期四答案：D第19页，共39页，2023年，2月20日，星期四函数f(x)在区间（a,b)上有极值等价于方程

在该区间上有根且非等根第20页，共39页，2023年，2月20日，星期四第21页，共39页，2023年，2月20日，星期四解：(1)f′(x)＝－3x2＋2ax.依题f′(x)≥0在(0,2)上恒成立，即2ax≥3x2.∵x>0,2a≥3x，∴2a≥6.∴a≥3.即a的取值范围是[3，＋∞)．第22页，共39页，2023年，2月20日，星期四第23页，共39页，2023年，2月20日，星期四第24页，共39页，2023年，2月20日，星期四第25页，共39页，2023年，2月20日，星期四[冲关锦囊]求函数极值的步骤(1)确定函数的定义域．(2)求方程f′(x)＝0的根．(3)用方程f′(x)＝0的根和不可导点的x的值顺次将函数的定

义域分成若干个小开区间，并形成表格．(4)由f′(x)＝0的根左右的符号以及f′(x)在不可导点左右的符号来判断f′(x)在这个根或不可导点处取极值的情况.第26页，共39页，2023年，2月20日，星期四[精析考题][例3]

(2012·兰州调研)已知实数a>0，函数f(x)＝ax(x－2)2(x∈R)有极大值32.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)求实数a的值．第27页，共39页，2023年，2月20日，星期四第28页，共39页，2023年，2月20日，星期四第29页，共39页，2023年，2月20日，星期四第30页，共39页，2023年，2月20日，星期四[冲关锦囊]1．求函数单调区间与函数极值时要养成列表的习惯，可

使问题直观且有条理，减少失分的可能．2．如果一个函数在给定定义域上的单调区间不止一个，这些区间之间一般不能用并集符号“∪”连接，只能用“，”或“和”字隔开．第31页，共39页，2023年，2月20日，星期四解题样板（三）导数应用问题的规范解答第32页，共39页，2023年，2月20日，星期四第33页，共39页，2023年，2月20日，星期四第34页，共39页，2023年，2月20日，星期四第35页，共39页，2023年，2月20日，星期四第36页，共39页，2023年，2月20日，星期四[高手点拨]在解答本题时，易误点是：一是求导后不会因式分解；二是由增函数得出3ax2＋3ax－1<0；三是对a的值不加讨论；四是当a<0时，不会求a的范围．在解答解答题时，要注意以下几点：第37页，共39页，20